山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.7 不变子空间
7.7 不变子空间
山求濯工大深 定义1设A是数域P上线性空问V的线性变换，W是V的 子空间.如果W中的向量在A下的像仍在W中，即对于 W中任一向量，有Aξ∈W,则称W是A的不变子空间， 简称A-子空间. 例1 整个空间V和零子空问{0}，对于每个线性变换凡 来说都是凡子空问. 例2凡的值域与核都是凡-子空间
子空间
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3 任何一个子空问都是数乘变换的不子空间. 例4若线性变换凡与B是可交换的，则B的核与值域 都是几-子空间. f(A)与凡可交换，所以f(A)的值域与核都是A-子空问. 例5设V中向量1,2，.，Cs都是V的线性变换凡的特征向量， 那么，L(1,2,.,Qs)是A-子空间. 特别地，V也是凡-子空间
例3 任何一个子空间都是数乘变换的不子空间
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·特征向量与一维不变子空间的关 W是一维A-子空间台W=L(飞)，是A的一个特征向量， ·W=L(a1,a2,.,as)是A-子空间台Aa1,Aa2,.,AC∈W ·凡-子空间的和与交还是凡-子空间
• 特征向量与一维不变子空间的关系
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ◆几在不变子空问上引起的变换 设A是线性空问V的线性变换，W是几的不变子空间. 由于W中向量在A下的像仍在W中，这就使得有可能不必 在整个空问V中来考虑A,而只在不变子空间W中考虑几， 即把几看成是W的一个线性变换，称为A在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用待号A川W来表示；
上引起的变换
山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY B→0 四B→口 VB0 ξ→(AIW) 若n庄W,则(AW)n没有意义 例如 cAA-1(0)=0 AV%=C(由数入决定的数乘变换)
ᵰ :ᵰ⟶ᵰ ᵰ|ᵰ :ᵰ⟶ᵰ 例如 ∀ᵰ↦ᵰ = ᵰ
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY U不变子空间与矩阵化简之间的关系 定理11)设A是n维线性空问V的线性变换，W是V的 c凡-子空间.在W中取一组基E1,E2,.,k,并且把它扩充 成V的一组基 1,e2,·,k,ek+1,.,en (1) 那么，凡在这组基下的矩阵就具有下列形状
u 不变子空间与矩阵化简之间的关系 成 V 的一组基
山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY C11 aik a1,k+1 01m aki akk @k,k+1 akn /A1 2 0 0 ak+1,k+1 ak+1n 0 (2) 0 0 An,k+1 ann 并且左上角的k级矩阵A1就是AIW在W的基E1,E2,.,Ek 下的矩阵.反之，如果几在基(1)下的矩阵是(2)，那么 日.旺贝 W=L(e1,.,Ek)是A-子空间
下的矩阵. ᵰ1, ⋯ ᵰ,ᵰ∈ ᵰ
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2)设V可以分解成两个凡·子空间的直和： G口口2] 那么，选取W1的一组基E1,E2.,em和W2的一组基Em+1,.,En, 基胜一由V欢卧虚来S趺合 E1,E2.,Em,em+1,.,en (3) 则凡在这组基下的矩阵具有准对角形状
ᵰ= ᵰ1 ᵰ ᵰ2
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (4) 其中A1是m阶方阵，它是W1在基E1,E2.,em下的矩阵， A2是n阶方阵，它是W2在基Em+1,.,n下的矩阵. 反之，如果在基(3)下的矩阵是(4)，则Ae1,.,Aem∈W1 AEm+1,.,Aen∈W2,图此W=L(e1,E2.,em), W=L(em+1,.,en)都是A-子空问，且V=W1⊕W2