山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 第六章线性空间 + 6.1集合映射 6.5线性子空间 + 6.2线性空间的概念 + 6.6子空间的交与和 + 6.3维数、基、坐标 + 6.7子空问的直和 ◆ 6.4基变换与坐标变换 6.8线性空间的同构
第六章 线性空间 6.1集合 映射 6.2线性空间的概念 6.3维数、基、坐标 6.4基变换与坐标变换 6.5线性子空间 6.6子空间的交与和 6.7子空间的直和 6.8线性空间的同构
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.1 集合·映射
6.1 集合·映射
加素理2大名 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 一、集合 二、映射 1、映射的概念 2、映射举例 3、映射的乘积 4、单射、满射、双射
主要内容 一、集合 二、映射 1、映射的概念 2、映射举例 3、映射的乘积 4、单射、满射、双射
山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、集合 1、集合的概念 2、元素 3、集合的运算（相等、集合的并、集合的交） 4、空集、子集
一、集合 1、集合的概念 2、元素 3、集合的运算（相等、集合的并、集合的交） 4、空集、子集
山求濯工大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、映射 1.映射的定义 定义1设M,M'是非空集，所谓集合M到集合M'的一个映射 就是指一个法则O,它使M中每一个元素a都有M'中一个确 定的元素α'与之对应.记为 σ(a)=a',或o:a→a'. a'称为a在映射o下的像，而a称为a'在映射o下的一个原像
二、映射 1. 映射的定义 定义1 设𝑀, 𝑀′是非空集，所谓集合𝑀到集合𝑀′的一个映射 就是指一个法则 ，它使𝑀中每一个元素𝑎都有𝑀′中一个确 定的元素𝑎 ′与之对应. 记为 𝜎 𝑎 = 𝑎 ′ ，或 ： 𝑎 → 𝑎 ′ . 𝑎 ′ 称为 𝑎 在映射 下的像，而𝑎称为 𝑎 ′在映射 下的一个原像
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换 集合M到集合M'的两个映射o和T,如果对M的每一个元素a 都有σ(a)=t(a),则称它们相等，记作o=t. 2.映射的例子 例1M是全体整数的集合，M'是全体偶数的集合，定义 o(n)=2n,n∈M. 这是M到M'的一个映射
• 𝑀到 𝑀自身的映射，有时也称为𝑀到自身的变换 2. 映射的例子 例 1 𝑀是全体整数的集合，𝑀′是全体偶数的集合，定义 (𝑛) = 2𝑛，𝑛 ∈ 𝑀. 这是𝑀到𝑀′的一个映射. • 集合𝑀到集合𝑀′的两个映射𝜎和𝜏，如果对𝑀的每一个元素𝑎 都有𝜎 𝑎 = 𝜏(𝑎)，则称它们相等，记作𝜎 = 𝜏
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2M是数域P上全体肌阶矩阵的集合，定义 O1(A)=IA,A∈M. 这是M到P的一个映射. 例3M是数域P上全体n阶矩阵的集合，定义 02(a)=aE,a∈P. E是n阶单位矩阵，这是P到M的一个映射
例 2 𝑀是数域𝑃上全体𝑛阶矩阵的集合，定义 𝜎1 𝐴 = 𝐴 ，𝐴 ∈ 𝑀. 这是 𝑀 到𝑃的一个映射. 例 3 𝑀是数域𝑃上全体𝑛阶矩阵的集合，定义 𝜎2 𝑎 = 𝑎𝐸，𝑎 ∈ 𝑃. 𝐸是 𝑛阶单位矩阵，这是𝑃到𝑀的一个映射
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4对于f(x)EP[x],定义 o(f(x)=f(x)'. 这是P[x]到自身的一个映射. 例5设M,M'是两个非空的集合，a0是M'中一个固定的元素 定义 o(a)=ao,a∈M. 即o把M中的每个元素都映射到a0,这是M到M'的一个映射
例 4 对于𝑓(𝑥) ∈ 𝑃[𝑥]，定义 𝜎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 ′ . 这是 𝑃[𝑥]到自身的一个映射. 例 5 设 𝑀, 𝑀′ 是两个非空的集合， 𝑎0 是𝑀′ 中一个固定的元素， 定义 𝜎 𝑎 = 𝑎0，𝑎 ∈ 𝑀. 即𝜎把𝑀中的每个元素都映射到𝑎0，这是𝑀到𝑀′的一个映射
山东濯王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例6设M是一集合，定义 o(a)=a,a∈M. 即0把每个元素映到它自身，称为集合M的恒等映射或 单位映射，记为1M· 倒7任意一个定义在全体实数上的函数 y =f(x) 都是实数集合到自身的映射.因此，函数可以认为是映射 的一个特殊情形
例 6 设𝑀是一集合，定义 𝜎 𝑎 = 𝑎 ，𝑎 ∈ 𝑀 . 即𝜎把每个元素映到它自身，称为集合 𝑀 的恒等映射或 单位映射，记为1𝑀 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 都是实数集合到自身的映射. 因此，函数可以认为是映射 的一个特殊情形
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.映射的乘积 1)定义 定义3 设O、t分别是集合M到M'和M'到M"的两个映射 乘积T0定义为 (to)(a)=t(σ(a),a∈M 即相继施行0和T的结果，T0是M到M”的一个映射
3. 映射的乘积 1) 定义 定义3 设𝜎、𝜏 分别是集合 𝑀到𝑀′和 𝑀′到𝑀′′的两个映射 乘积𝜏𝜎定义为 即相继施行𝜎和𝜏的结果， 𝜏𝜎 是𝑀到𝑀′′的一个映射. 𝜏𝜎 𝑎 = 𝜏(𝜎 𝑎 )，𝑎 ∈ 𝑀