《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习课 线性方程组

第四章线性方程组 复习课线性方程组 线性方程组的解的判别 ·齐次线性方程组的解的结构 ·非齐次线性方程组解的结构

第四章 线性方程组 复习课 线性方程组 齐次线性方程组的解的结构 线性方程组的解的判别 非齐次线性方程组解的结构

第四章线性方程组 一、引入 n元线性方程组 411x1+412X2+.+41nXn=b1 21x1+22x2++02mxn=b2 (4-1) mx1+m2X2+.+AmnXn=bm 记 1 12 . n 1 012 . b A= 421 42 ,A= 42 M22 A2n m2 bm

第四章 线性方程组 n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =  −    + + + = 11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b             = =             记 一、引入

第四章线性方程组 b X= b= b2 ·:: 于是，这个非齐次方程组可以记为Ax=b

第四章 线性方程组 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b             = =             于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax = b

第四章线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是R(A)=R() 证： 对于一般线性方程组（4-1)，设 w 2 b 21 22 A2n C1= ,C2= ,B= B2 。 bn】 则线性方程组（4-1)可写为 x101+x2C2+.+xnn=B(4-3)

第四章 线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1 (4 1) ( ) ( ). 线性方程组 − = 有解的充分必要条件是R A R A 证： 对于一般线性方程组（4-1），设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b                             = = = =                             则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x x x     + ++ = −

第四章线性方程组 并且 A=[a1a2.an] A=[a a2.an B 必要性 若方程组有解，则(4-3)知B可由a,a2.,a线性 表示，于是向量组%，2，n与向量组g,2,.,Cn,B 等价.由性质2.3.1知秩{C,2,an}=秩{a1,02,n,}, 所以R(A)=R(A)

第四章 线性方程组 1 2 1 2 n n A A        =      =      并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                   −      = 若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性

第四章线性方程组 充分性 若R(A)=R(A),则向量组a41,2,an与向量组4,2， ,&n,B有相同的秩，所以向量组C,2,a,的最大无关 组一定是g,a2,C,的最大无关组，因此B可由向量组 4,2,an线性表示4-3)知方程组(4-1)有解

第四章 线性方程组 充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                   =      − − 若 ，则 向 量组 与 向 量组 有相 同 的 秩，所 以 向 量组 的 最 大 无 关 组一 定 是 , 的 最 大 无 关 组，因 此 可 由 向 量组 线 性表示 由 知 方程组 有解

第四章线性方程组 x1-2x2+33-x4=1 例1、判断方程组3x1-x2+5x3-3x4=2是否有解。 2X1+x2+23-2x4=3 解： 1 -23-11132-3r 1 -2 3 -11 A- 3 -1 5 -32 0 5 -4 0 -1 212 -2 35-2r 0 5 一4 0 Γ1 -2 3 -1 0 5 -4 00 0 0 2 可见R(A)=2,R(A)=3,所以方程组无解

第四章 线性方程组 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A   − −   = − −       − 2 1 3 1 3 ~ 2 r r r r − − 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1   − −   − −       − 3 2 ~ r r − 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2   − −   − −       解： 可见R A R A ( ) 2, ( ) 3, . = = 所以方程组无解 . 2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 例1、判断方程组 是否有解      + + − = − + − = − + − = x x x x x x x x x x x x

第四章线性方程组 x1-2x2+3x3-4x4=4 例2判断线性方程组 X2一X3+X4=-3 X1+3x2-3x4=1 解的情况 -7x2+3x3+X4=-3 解：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 1-2 -4 4 1 -2 3 -4 01 -1 1 -3 0 1 -1 1 -3 A- 1 3 0 -3 1 0 5 -3 -3 0 -7 3 1 -3 0 -7 -3 1 -2 3 -4 4 1 -2 3 4 -3 0 -1 0 0 2 -4 12 0 0 0 0 8 24 0 0

第四章 线性方程组 解：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换               − − − − − − − = 0 7 3 1 3 1 3 0 3 1 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4 A               − − − − − − − → 0 0 4 8 24 0 0 2 4 12 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4               − − − − − − − − → 0 7 3 1 3 0 5 3 1 3 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4               − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 6 0 1 1 1 3 1 2 3 4 4

第四章线性方程组 于是原方程组的同解方程组为 X1-2x2+3x3-4x4=4 x2-北3+X4=-3 X3-24=6 所以，原方程组有无穷解

第四章 线性方程组      − = − + = − − + − = 2 6 3 2 3 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 于是原方程组的同解方程组为 所以，原方程组有无穷解

第四章线性方程组 2X1+X2+X3=-2 例3、方程组 x1-2x2+x3=2当2取何值时有解？ X1+X2-2x3=22 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， -2 11-2 1 -2 23 A= 1 -2 1 -2 1 1 -2 22 -2 1 -2 2- 1 1 -2 22 + 1 -2 22 0 3 1-元2 0 -3 3 2-12 5+2r 03 3 -2+222 0 0 0 -2+1+λ2

第四章 线性方程组 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 A     − −   = −       − 1 3 ~ r r  2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2     −   −     − −   2 1 3 1 ~ 2 r r r r − + 解： 对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 2 2 2 1 1 2 0 3 3 0 3 3 2 2       −   − −     − − +   3 2 ~ r r + 2 2 2 1 1 2 0 3 3 0 0 0 2        −   − −     − + +   例3、方程组 当取何值时有解？        + − = − + = − + + = − 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x