《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 复习矩阵的秩 矩阵的秩 二、 矩阵秩的求法 三、 向量组的极大无关组的求法 四、矩阵秩的第二种定义

第二章 矩阵与向量 复习 矩阵的秩 一、 矩阵的秩 二、 矩阵秩的求法 三、向量组的极大无关组的求法 四、矩阵秩的第二种定义

第二章矩阵与向量 一、矩阵的秩 1.定义设m×矩阵A,称A的行向量组的秩称为矩 阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩 101 例1求矩阵A= 012的行秩和列秩 214 解：A的行向量%1=(1,0,1)，2=(0,1,2)，3=(2,1,4) 101 由行列式012=0，知向量组a,2,a,线性相关， 214

第二章 矩阵与向量 1.定义 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称为矩 阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A     =       例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量   = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组   线性相关， 解：

第二章矩阵与向量 又c,线性无关，故a,a,是4的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵4的行秩等于2. 同样方法可以求出A的列秩等于2. 「1131 例2求矩阵A= 02 -14的行秩和列秩」 0005 解：4的行向量，=(1,1,3,1)，2=(0,2，-1,4)， a3=(0,0,0,5) 去掉第三个分量的a=(1,1,1),2=(0,2,4), 3=(0,0,5)

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又    线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A    = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A     = −       例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5).      = =  = 去掉第三个分量的

第二章矩阵与向量 111 由行列式02 4=10≠0， 知向量组a,a,a线性无关 00 5 由S2.3例5知，向量组a,a2,也线性无关， 所以A的行秩为3 的列向量组B, = B 4个三维向量必线性相关，而其中BB,B线性无关

第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 =  ，知向量组     线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组   也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A                     = = = − =                         的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关

第二章矩阵与向量 因为 100 1 、 0=10≠0 145 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的： 为了证明这一点，我们有以下两个定理。 2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响。 定理初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩。 证明：此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩

第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 =  因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩。 2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响

第二章矩阵与向量 设m×n矩阵4的行向量组a,a2,am’且 01 01 di a;+kaj A= 地 =B j j am m

第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

第二章矩阵与向量 由 a1=C1 。0.00 a;=(a;+ka;)-kaj am=dm 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示， 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不 改变矩阵的行秩

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 改变矩阵的行秩。 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不

第二章矩阵与向量 定理初等行（列变换不改变矩阵列（行）向量间的线性 关系 3 0 例3设矩阵A= 0 2 -1 5 其列向量 6 0 2 4 %1,a2,0,a,间有线性关系：a4=a1+2C2-43? 矩阵B油矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B3

第二章 矩阵与向量 定理 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的线性 关系. 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下： 1 3 0 1 3 0 3-61 5+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 0 -6 -16 4 0 0 -19 19 3 0 「1 1 3 r-331 0 2 5 0 2 0 2+3 0 -1 0 0 -1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −

第二章矩阵与向量 2 1-2 01 0 02=B 001-1 00 1-1 容易看出，B的列向量B,B2,B,B,间也有 线性关系B4=乃，+2P2-B· 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话，B的列向量间同样存在上述线性关系 推论1初等行变换不改变矩阵的行秩及列秩。 推论2初等变换不改变矩阵的行秩及列秩

第二章 矩阵与向量 2 1 2 1 1 0 3 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r            − 1 2 1 0 0 1 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r r B −     =       − 1 2 3 4 4 1 2 3 , 2 . B         = + − 容易看出， 的列向量 间也有 线性关系 实际上，如果把以上每作一次初等行变换所得到的 矩阵叫做B的话,B的列向量间同样存在上述线性关系. 推论1 初等行变换不改变矩阵的行秩及列秩. 推论2 初等变换不改变矩阵的行秩及列秩