加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.7 子空间的直和
6.7 子空间的直和
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。定义 。直和的充分必要条件 ●直和的性质 。多个子空问的直和
主要内容 定义 直和的充分必要条件 直和的性质 多个子空间的直和
加求翟王大 设V=V+V2,则对；∈V,都有 ξ=a+B,a∈V,B∈V2 1)在V=R3中，设V1为x0y平面，V2为y0z平面，即 V1={(x,y,0)lx,y∈R,V2={(0,y,z)y,z∈R} 那么对ξ=(1,1,1)∈V,有 ξ=(1,1,1)=(1,2,0)+(0，-1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)
设𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2，则对∀𝜉 ∈ 𝑉，都有 1) 在𝑉 = 𝑅 3中，设𝑉1为𝑥𝑜𝑦平面，𝑉2为𝑦𝑜𝑧平面，即 𝑉1 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑉2 = 0, 𝑦, 𝑧 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 那么对𝜉 = 1,1,1 ∈ 𝑉，有 𝜉 = 1,1,1 = 1,2,0 + (0, −1,1) = 1,1,0 + (0,0,1) 𝜉 = 𝛼 + 𝛽, 𝛼 ∈ 𝑉1 , 𝛽 ∈ 𝑉2
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2)在V=R3中，设V1为x0y平面，V2为z轴，即 V1={(x,y,0)川x,y∈R,V2={(0,0,z1z∈R(0,0,z) 那么对5=(x,y,z)∈V,有专=(x,y,0)+(0,0,z) ·子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形
2) 在𝑉 = 𝑅 3中，设𝑉1为𝑥𝑜𝑦平面，𝑉2为𝑧轴，即 𝑉1 = 𝑥, 𝑦, 0 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑉2 = 0,0, 𝑧 𝑧 ∈ 𝑅 0,0, 𝑧 那么对∀𝜉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉，有 𝜉 = 𝑥, 𝑦, 0 + 0,0, 𝑧 • 子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 定义1设V1,V2是线性空间V的子空间，如果和 V1+V2中每个向量的分解式 0=01+02, a1eV1,2∈V2, 是唯一的，这个和就称为直和，记为V1田V2·
一、定义 定义 1 设 𝑉1 , 𝑉2 是线性空间 𝑉 的子空间，如果和 𝑉1 + 𝑉2中每个向量 的分解式 = 1 + 2 ， 1 𝑉1 , 2 𝑉2 , 是唯一的，这个和就称为直和，记为 𝑉1 𝑉2
山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、直和的充分必要条件 定理1和V1十V2是直和的充分必要条件是零向量 的分解式是唯一的.即等式 C%1+02=0, 41∈V1,o2∈V2, 只有在心1,02全为零时才成立. 证明 这个条件显然是必要的 下面来证这个条件的充分性
二、直和的充分必要条件 定理 1 和 𝑉1 + 𝑉2 是直和的充分必要条件是零向量 的分解式是唯一的.即等式 1 +2 = 0， 1 𝑉1 , 2 𝑉2 , 只有在𝛼1 , 𝛼2全为零时才成立. 证明 这个条件显然是必要的. 下面来证这个条件的充分性
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设x∈V1十V2,它有两个分解式 a=a1+2=B1+B2, c1,B1∈V1,2,B2∈V2 于是 (1-f1)+(a2-B2)=0 其中1-B1∈V1,a2-B2∈V2·由定理的条件，有 a1-β1=0,2-B2=0,即a1=B1,02=B2· 这就是说，向量的分解式是难一的
设 𝛼 𝑉1 + 𝑉2，它有两个分解式 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛽1 + 𝛽2 , 𝛼1 , 𝛽1 ∈ 𝑉1 ,𝛼2 , 𝛽2 ∈ 𝑉2 于是 (𝛼1 − 𝛽1 ) + (𝛼2 − 𝛽2 ) = 0 其中𝛼1 − 𝛽1 𝑉1 , 𝛼2 − 𝛽2 𝑉2 . 由定理的条件，有 𝛼1 − 𝛽1 = 0 , 𝛼2 − 𝛽2 = 0 , 即 𝛼1 = 𝛽1 , 𝛼2 = 𝛽2 . 这就是说，向量 的分解式是唯一的
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 推论 和V1十V2为直和的充分必要条件是 V1nV2={0}. 证明 先证充分性.假设有等式 c1+a2=0,1∈V1,2∈V2, 那么 a1=-a2∈V1nV2: 由假设V1∩V2={0},得a1=-Q2=0. 这就证明了V1+V2是直和
推论 和 𝑉1 + 𝑉2为直和的充分必要条件是 𝑉1 ∩ 𝑉2 = { 0 } . 证明 先证充分性. 假设有等式 𝛼1 + 𝛼2 = 0， 𝛼1 𝑉1 , 𝛼2 𝑉2 , 那么 𝛼1 = − 𝛼2 𝑉1 ∩ 𝑉2 . 由假设 𝑉1 ∩ 𝑉2 = { 0 } ，得 𝛼1 = − 𝛼2 =0. 这就证明了 𝑉1 + 𝑉2 是直和
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 再证必要性.任取向量EV1∩V2·于是零向量可以表示成 0=+(-),a∈V1,-a∈V2. 因为是直和，所以=一=0.这就证明了 V1nV2={0}. 在第六节的例3☐中的和就是直和
再证必要性. 任取向量 ∈ 𝑉1 ∩ 𝑉2 .于是零向量可以表示成 0 = 𝛼 + (−𝛼) ， 𝛼 ∈ 𝑉1 , −𝛼 ∈ 𝑉2 . 因为是直和，所以 𝛼 = −𝛼 = 0. 这就证明了 𝑉1 ∩ 𝑉2 = { 0 } . 在第六节的 例3 中的和就是直和
山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3 设V1,V2分别是R3过原点的直线和平 面（直线不在平面上）上的全体向量构成的子空间， 求V1∩V2和V1+V2,并指它们的几何意义. 解 由定义容易求得 V1nV2={0}, 2 V1+V2=L(1,2,43)=R3. 其几何意义如图6-7所示 图6-7
例3 设 𝑉1 , 𝑉2 分别是 𝑅3 过原点的直线和平 面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间， 求 𝑉1 ∩ 𝑉2 和 𝑉1 + 𝑉2，并指它们的几何意义. 解 由定义容易求得 𝑉1 ∩ 𝑉2 = { 0 }， 其几何意义如图 6-7 所示 V V1 2 1 2 3 x o y z 图 6-7 𝑉1 + 𝑉2 = 𝐿(𝛼1 ,𝛼2 , 𝛼3 ) = 𝑅3