第20卷第4期 大学物理实验 Vol. 20 No 4 2007年12月出版 PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE Dec. 200 文章编号:1007-2934(2007)04-0066-04 用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理 刘竹琴 (延安大学,延安,716000 摘要提出用最小二乘法验证转动惯量平行轴定理的新方法,并通过实验证明了该 方法的可行性 关键词转动惯量;平行轴定理;最小二乘法;扭摆 中国分类号:0241.2 文献标识码:A 1引言 目前,各高校大学物理实验课普遍开设“物体转动惯量的测定”这一实验(1,使用的仪 器是TH-1型智能转动惯量测试仪。利用该仪器是通过测量扭摆的周期来计算物体的转 动惯量,同时还可以验证转动惯量的平行轴定理(2。为了拓宽测量方法,本文提出利用最 小二乘法验证转动惯量的平行轴定理,方法简单,又具有很强的说服力,下面介织实验原 理和实验方法。 2实验原理 2.1系统转动惯量与扭摆周期的关系 扭摆装置如图1所示,在垂直轴1上装有一根片状的螺旋弹簧2,用以产生恢复力矩 在轴的上方可以装上各种待测物体垂直轴与支座间装有轴承,以降低摩擦力矩.3为水 平器,用来调整系统平衡 将物体在水平面内转过一角度后,在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作 往返扭转运动根据虎克定律,弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度8成立 比,即 M 式中,K为弹簧的扭转系数 又根据转动定律,转动系统所受合外力矩M合与角加速度B的关系为 M合=尕 式中,I为该系统对回转轴的转动惯量,合外力矩M。主要由弹簧受扭转而产生的恢 收稿日期:2007-09-16 万方数据
第20卷 第4期 2007年12月出版 大学物理实验 PHYSICAL EXPEKIMENT OF COLUECE V01．20 No．4 Dec．2007 文章编号：1007—2934(2007)04一0066—04 用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理 刘竹琴 (延安大学，延安，716000) 摘要提出用最／b-乘法验证转动惯量平行轴定理的新方法，并通过实验证明了该 方法的可行性。 关键词 转动惯量；平行轴定理；最小二乘法；扭摆 中图分类号：0241．2 文献标识码：A 1 引言 目前，各高校大学物理实验课普遍开设“物体转动惯量的测定”这一实验…，使用的仪 器是TH—l型智能转动惯量测试仪。利用该仪器是通过测量扭摆的周期来计算物体的转 动惯量。同时还可以验证转动惯量的平行轴定理[21。为了拓宽测量方法，本文提出利用最 小二乘法验证转动惯量的平行轴定理，方法简单，又具有很强的说服力，下面介织实验原 理和实验方法。 2实验原理 2．1 系统转动惯量与扭摆周期的关系 扭摆装置如图1所示，在垂直轴1上装有一根片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩． 在轴的上方可以装上各种待测物体．垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩．3为水 平器，用来调整系统平衡 将物体在水平面内转过一角度后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作 往返扭转运动．根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩|jIf与所转过的角度0成立 比，即 M：一肋 (1) 式中，K为弹簧的扭转系数． 又根据转动定律，转动系统所受合外力矩膨合与角加速度卢的关系为 』lf合=筘 (2) 式中，，为该系统对回转轴的转动惯量，合外力矩膨。主要由弹簧受扭转而产生的恢 收稿日期：2007—09一16 —66— 万方数据
复力矩M和轴承的摩擦阻力力矩构成,若忽略轴 承的摩擦阻力力矩,则M合=M,即 ,则B (4) 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性,角 加速度与位移成正比,且方向相反此方程的解为 8= Acos( 式中,A为简谐振动的角振幅,P为初相位,a 为角速度,此简谐振动的周期为 2 (6) 1扭装置 2.2平行轴定理的验证 将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上,将两个大小、质量均相等的金属滑块对 称地套在金属杆上,设金属滑块质心轴C距扭摆转轴O的距离为d金属滑块的质量为 m,相对于质心轴C的转动惯量为Lc,根据平行轴定理,金属滑块对扭摆转轴O的转动惯 量为 又设夹具对扭摆转轴O的转动惯量为l2,金属细杆对扭摆转轴O的转动惯量为l3 则整个系统对扭摆转轴O的转动惯量为 1+l2+l3=2l+12+l3+2r (8) 因I、l2、l3均为常数,故令J=21+l2+l3, 则式(8)可表示为 =l0+2md2 (9) 又由式(6得,系统的转动惯量I与系统的摆动周期T的关系为 K 由式(9)、(10)得, 72 uut-d2 上式反映出金属滑块的位置d改变时对转动的影响,用最小二乘法作线性拟合,令y= 则式(11)变为 y= a+bx (12) 从n组(x,y)值,可求得a、b值及相关系数r,若r接近1说明7与d线性显著相关 平行轴定理得到了验证 3实验方法与测量举例 3.1实验装置的调节 万方数据
复力矩M和轴承的摩擦阻力力矩构成，若忽略轴 承的摩擦阻力力矩，则jIf合=M，即 卢=一钿 (3) 令cc，2=芋测卢=害=一争=。0 (4) 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角 加速度与位移成正比，且方向相反．此方程的解为： 0=Acos(wt+9) (5) 式中，A为简谐振动的角振幅，9为初相位，cc， 为角速度，此简谐振动的周期为 弘2∞tr=2丌√专 (6) CU Y A 2．2平行轴定理的验证 圈1扭撄装置 将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上，将两个大小、质量均相等的金属滑块对 称地套在金属杆上，设金属滑块质心轴C距扭摆转轴O的距离为d，金属滑块的质量为 m，相对于质心轴C的转动惯量为，c，根据平行轴定理，金属滑块对扭摆转轴O的转动惯 量为 ，l=L+利2 (7) 又设夹具对扭摆转轴0的转动惯量为，2，金属细杆对扭摆转轴0的转动惯量为13， 则整个系统对扭摆转轴0的转动惯量为 ，=21l+如+13=2L+，2+，3+2md2 (8) 因，c、，2、，3均为常数，故令to=2L+厶+，3。 则式(8)可表示为 ，=Io+2md2 (9) 又由式(6)得，系统的转动惯量，与系统的摆动周期r的关系为 ，=—盒P (10) 由式(9)、(to)得， 严=4Tre2”．警d2 …) 上式反映出金属滑块的位置d改变时对转动的影响，用最／,b--乘法作线性拟合，令Y= 7,2．髫=d2。 4玎2，， 8，研2 口。Too，6 2]r 则式(11)变为 Y=口+如 (12) 从r／,组(茗；，Y1)值，可求得口、b值及相关系数r，若r接近1，说明严与d2线性显著相关， 平行轴定理得到了验证． 3 实验方法与测量举例 3．1实验装置的调节 一67— 万方数据
智能刚体转动惯量测试仪是由扭摆、主机和光电传感器三部分组成主机采用新型的 单片机作控制系统,用于测量物体转动和摆动的周期,能自动记录、存贮多组实验数据并 能够精确地计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接受管组 成,将光信号转换为脉冲电信号,送人主机工作。首先应调节扭摆下面的底脚螺旋,使圆 水准器的气泡居中,然后将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上,启动扭摆,检查记 时器是否开始记数和到预定周期数时,是否停止记数调节光电传感器在固定支架上的高 度,使金属细杆能自由往返地通过光电门,并能准确挡光。 3.2测量方法及测量举例 3.2.1验证转动惯量的平行轴定理 (1)用物理天平称量金属滑块的质量为m=238.40g (2)将金属滑块对称地套在金属细杆两边的靠近扭摆转轴的一对凹槽内,(金属细杆 两边对称分布着5对凹槽,它们的中心离扭摆转轴的距离分别为500cm,10,00cm,15 00cm,20.00cm,25.00cm),记录金属滑块中心距扭摆转轴的距离d,测定扭摆转动的周期 T (3)将金属滑块分别对称地套在金属细杆的其余凹槽内,同上测定扭摆转动的周期测 量数据见表1 褒1验证平行轴定理的测量效据 d/ m 0x102 15x102 20×10-2 2.361 3.905 4.865 5.867 2/m2 r/:2 5.5743 5.2490 23.6682 34.42 取x=d2,y=7,按y=a+bx用最小二乘法求a、b值得 a=4.37552,b=481.928292/m2,r=0.99996 由相关系数显著性检查表得,n=5(n为测量次数),a=0.01(a为显著性水平),r=0 959为显著性标准21,现在r=0.99990.959,是显著相关,即回归直线的直线性是很好 的,说明2与d2完全线性相关,平行轴定理得到了验证 3.22根据b的值计算弹簧的扭转系数K 由 =39018×10-2kg 因不确定度的B类评定较小,略去不计, 则u(b)=s(b)=0.8s32/m2 K=su(b) 8 n a(b)=0.006×10-2kg:m2/s2 K=(3.902±0.006)x10-2kg:m2/s2 3.23测量金属载物盘的转动惯量l 将金属细杆取下,装上金属载物盘,并调整光电探头的位置使载物盘上的档光杆处于 其缺口中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔,测定摆动周期T,测量结果见表2。 万方数据
智能刚体转动惯量测试仪是由扭摆、主机和光电传感器三部分组成．主机采用新型的 单片机作控制系统，用于测量物体转动和摆动的周期，能自动记录、存贮多组实验数据并 能够精确地计算多组实验数据的平均值。光电传感器主要由红外发射管和红外接受管组 成，将光信号转换为脉冲电信号，送人主机工作。首先应调节扭摆下面的底脚螺旋，使圆 水准器的气泡居中，然后将金属细杆中心通过夹具固定在扭摆转轴上，启动扭摆，检查记 时器是否开始记数和到预定周期数时，是否停止记数．调节光电传感器在固定支架上的高 度，使金属细杆能自由往返地通过光电门，并能准确挡光。 3．2测量方法及测量举例 3．2．1验证转动惯量的平行轴定理 (1)用物理天平称量金属滑块的质量为m=238．409． (2)将金属滑块对称地套在金属细杆两边的靠近扭摆转轴的一对凹槽内，(金属细杆 两边对称分布着5对凹槽，它们的中心离扭摆转轴的距离分别为5．00era，10，00em，15． 00era，20．00em，25．00era)，记录金属滑块中心距扭摆转轴的距离d，测定扭摆转动的周期 T． (3)将金属滑块分别对称地套在金属细杆的其余凹槽内，同上测定扭摆转动的周期测 量数据见表1． 衷1 验证平行轴定理的翻量数据 取石=d2，Y=7’2，按Y=口+k用最小二乘法求o、b值得 口=4．3755 s2，b=481．9282s2／m2，r=0．999996 56。0．8s2／m2，5。=003s2 由相关系数显著性检查表【4】得。n=5(n为测量次数)，口=0．01(口为显著性水平)，，=0． 959为显著性标准[2】，现在r=0．999996>0．959，是显著相关，即回归直线的直线性是很好 的，说明严与d2完全线性相关，平行轴定理得到了验证． 3．22根据b的值计算弹簧的扭转系数X 由b：下8mzt-2侍，．：K。T8 rr圻2：3．9018×10—2kg-m／s2 因不确定度的曰类评定较小。略去不计， 则Ⅱ(b)=s(b)=0．8s2／m2 K=筹啪)一等州6)-o．006×10-2kg．m2／82 ．·．K=(3．902-t-O．006)x10．2 kg·m2／s2 3．23测量金属载物盘的转动惯量矗 将金属细杆取下，装上金属载物盘，并调整光电探头的位置使载物盘上的档光杆处于 其缺1：3中央且能遮住发射、接收红外光线的小孔，测定摆动周期％，测量结果见表2。 一68— 万方数据
衰2金属物盘转动周期测量数据 次数 0.716 0.7167 0.7169 0.7167 0.7166 T=0.716748 由式(10)得 To 47=30x10-2 0.716742=5.076×10-4k 3.24测量实心塑料圆柱体的转动惯量I 将塑料圆柱体垂直放在载物盘上,测量摆动周期T测量结果见表3. 衰3盟料国柱体放在敢物盘上的转动周期测量效撸 次 0.9826 0.9822 0.9819 0.9826 T=0.9824 lo=4.462×10-4kg 根据m圈埭=375.20g,D直径=10x10-2m 可求得圆柱体对柱体轴线的转动惯量的理论值r为 r=m8357.20×10-3×(10×10-2)2=4.465×10kgmn2 测量结果I与理论值r相比,其相对误差为=007%,测量结果较满意 参考文献 枥述武主编普通物理实验(一力学及热学部分)M北京,高等教育出版社0 [2]白泽生等,大学物理实验(第二版)[M]西安,陕西人民出版社,2006 [3]邱菊等.用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法[大学物理,2006 [4]龚镇雄.普通物理实验中的数据处理[M]西安,西北电讯工科学院出版社,1985 [5]漆安慎、杜婵英,力学基础[M]高等教育出版社,1987 THE VERIFICATION OF THE PARALLEL AXIS THEOREM WITH LEAST SQUARE METHOD Liu Zhuqin (Yan'an University, Yan'an, 716000) Key words: moment of inertia; parallel axis theorem; least square method; torsion pendulum 万方数据
裹2金一载绚盘转动周期测量数据 To=0．71 674s 由式(10)得 如=毒严=黜x 0．716742=5．076 x 10-4kg·m2 3．24测量实心塑料圆柱体的转动惯量I 将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测量摆动周期T，测量结果见表3． 裘3塑辩圆柱体放在囊物盘上的转动周期测量觳据 T=0．9824s ，=寿严一如=4·462×10一kg‘m2 根据m圆球=375．209，D直径=10x10—2m 可求得圆柱体对柱体轴线的转动惯量的理论值[5】，，为 ，’=丢柏2=iI×357．20×10_3×(10×10-2)2=4．465×lo“kg·m2 测量结果，与理论值，’相比，其相对误差为s=0．07％，测量结果较满意． 参考文献 【l】杨述武主编．普通物理实验(一．力学及热学部分)．[M]：lt京．高等教育出版社，2000 [2] 白泽生等．大学物理实验(第二版)[M]西安．陕西人民出版社，2006 [3]邱菊等．用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法[J]大学物理，2006 [4]龚镇雄．普通物理实验中的数据处理[M]西安．西北电讯工科学院出版社，1985 [5]漆安慎、杜婵英．力学基础[M】高等教育出版社，1987 THE VERIFICATION OF THE PARALLEL AX峪 THEOREM wHH LEAST SQUARE METHOD Liu Zhuqin (Yah’all University，Yah’蛆，716000) Abstract：A new method using least square method to very the parallel axis tIleomm is reported Key words：moment of inertia；pared]el axis theorem；least square method；torsion penddum 一69— 万方数据
用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理 旧万数据 文献链接 作者 作者单位 延安大学,延安,716000 大学物理实验 英文刊名: PHYS ICAL EXPERIMENT OF COLLEGE 年,卷(期): 2007,20(4 1.杨述武普通物理实验(一.力学及热学部分)2000 2.白泽生大学物理实验2006 3.邱菊用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法[期刊论文]-大学物理2006(9) 1.龚镇雄普通物理实验中的数据处理1985 5.漆安慎;杜婵英力学基础1987 引用本文格式:刘竹琴 Liu Zhuqin用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理[期刊论文]-大学物理实验2007(4)
用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理 作者： 刘竹琴， Liu Zhuqin 作者单位： 延安大学,延安,716000 刊名： 大学物理实验 英文刊名： PHYSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE 年，卷(期)： 2007,20(4) 参考文献(5条) 1.杨述武 普通物理实验(一.力学及热学部分) 2000 2.白泽生 大学物理实验 2006 3.邱菊 用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新办法[期刊论文]-大学物理 2006(9) 4.龚镇雄 普通物理实验中的数据处理 1985 5.漆安慎;杜婵英 力学基础 1987 引用本文格式：刘竹琴.Liu Zhuqin 用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理[期刊论文]-大学物理实验 2007(4)
