安培定律是如何建立起来的 、前言 安培定律是有关恒定电流元之间相互作用的基本定律,目前采用的表达式为 dF=k I,I2dl,x(dl, xi 式中比例系数k与单位选择有关,r12是由1指向2的矢径,dF12是电流元1给电流元2的 力。仿照在静电学中把库仑定律 9142 12 拆成 F12=q2E(电场强度E的定义式) q112 E=km点电荷的场强公式) 两部分,也可将(1)式拆成两部分 dF2=l2dl2xdB(磁感强度B的定义式) (2) dB=k 1, d2, xr, 2(毕奥-萨伐尔公式 (3) 但恒定电流元不同于点电荷,它不能单独在实验里实现,只有闭合载流回路相互作用的规 律才能由实验来检验。所以类似(1)式的电流元相互作用公式,并不能直接从实验得到。 要得到它,还需将实验的结果做理论上的加工,并且得到的结果不是唯一的。其实安培本 人最初发表的公式就与(1)式不同。本文的目的,就是想通过历史的回顾,来说明目前通 用的表达式(1)是如何建立起来的。 二、安培的四个实验和一个假设 安培公式是在1820年年底得到的。在这一年内关于电流的磁效应有一系列重大 发现: 7月丹麦物理学家奥斯特发表了他的著名实验。 9月11日阿拉果在法国科学院介绍了这一成果,安培从这一实验中得到很大的 启发。 9月18日安培在法国科学院报告了他关于平行载流导线之间相互作用的研究。 10月30日法国科学家毕奥和萨伐尔发表了载流长直导线对磁极的作用反比于距离 的实验结果,不久经数学家拉普拉斯的参与,得到上述公式(3),现在此公式以他们的名 字来命名
12月4日安培得到电流元相互作用公式。 安培得到电流元相互作用公式基于四个有名的实验和一个假设。这四个实验采用的 都是示零法,设计思想十分精巧,堪称物理学史上不朽之作。 1.实验一 安培用硬导线作成如图1所示形状的线圈,这线圈由两个形状和大小相同,电流方向 相反的平面回路固连在一起,整个有如一个刚体。线圈 的端点A、B通过水银槽和固定支架相连。这样,线圈既 B定支架 可通人电流,又可自由转动。这种装置叫做无定向秤 ( astatic balance),它在均匀磁场(如地磁场)中不受力和 力矩,随时可以平衡,但对于非均匀磁场将会作出反应。 安培的第一个实验用图2(a)所示的对折导线,在其 两段中通入大小相等的、反平行的电流。把它移近无定 向秤附近的不同部位,在接通或切断电流的瞬间,观察无 定向秤的反应,以检验它是否会对无定向秤产生作用力。 实验证明,这种作用是不存在的。这个实验表明: 当电流反向时,它产生的作用力也反向。 2.实验二 把图2(a)中载有反向电流的一段导线换成绕另一段的螺旋线[图3(a)],实验结果 同前,即它也对无定向秤不产生作用。实验表明 电流元具有矢量的性质,即许多电流元的合作用是单个电流元产生作用的矢量叠加 [图3(b)和图2(b 图2 图3 图4 1.弧形导体;2.绝练柄; 3、4.水银槽 3.实验三 如图4所示,将一圆弧形导体架在水银槽上。导体与一绝缘柄固连,柄架在圆心C处 的支点上。这样,既可给弧形导体通电,弧形导体又可绕圆心转动,从而构成一个只能沿 自身长度方向移动,但不能作横向位移的电流元。安培用这样一个装置检验各种载流线
圈对它产生的作用力结果发现都不能使弧形导体运动。实验表明 作用在电流元上的力是与它垂直的。 4.实验四 如图5所示,I、Ⅱ、Ⅲ是三个几何形状相似的线圈,它们线度之比是:1:n,I与 Ⅱ和Ⅱ与Ⅲ之间距离之比是1:n。I和Ⅲ两线圈固定 并串联在一起,通入相同电流l1;线圈Ⅱ可以活动,通人 另一电流l2。由于线圈Ⅰ、Ⅲ位于线圈Ⅱ两侧,它们对 线圈Ⅱ的作用力的方向应是相反的。安培用这样的装 置检验Ⅰ、Ⅲ两线圈是否对线圈Ⅱ有作用力。实验结果 是否定的。实验表明: 所有几何线度(电流元的长度,相互距离)增加同 倍数时,作用力不变。 图5 安培在以上四个实验的基础上作了如下一个假设 两个电流元之间的相豆作用力沿它们的连线。这假设在当时看来是比较自然的,但 不是必需的。根据上述四个实验和这个假设,安培推导出电流元之间相互作用力的公式 下面介绍推导过程。 三、原始的安培公式 下面叙述的推导采用了现代的矢量语言。这虽不是安培的原始推导,但实质是相 同的 如图6所示,令r1代表由电流元Idl到电流元l2dl2的矢径,dF2代表电流元1施加 于电流元2的作用力。假设dF12是与l、l2成正比的(已有实验证明)。因为在这里电流 元1的位置是源点,电流元2的位置是场点,下面的推导过程中场点固定不变,而源点将 沿闭合回路变化,故用r=-r1代替r2更为方便(图7)。 Ids h22 图6 图7 满足上述实验一、二的结论和安培的假设,dF2的普遍表达式可写成: dF2=I1l2r[(dl1·dl2)φ(r)+(dl1·r)(dl2r)ψ(r) (4) 式中巾(r)和ψ(r)是r的绝对值的任意函数。不难看出,当d1或dl2之一反向时,dFl2反 向。此外,dF2是沿r方向的,且当下标1,2对调时,2=-r12,整个式子反号
根据实验四,中(r)和(r)应具有如下形式: d(r)= A B (5) 这里A,B是两个常数。因为只有这样,才能使(4)式中dl1、dl2、r增大同一倍数n时,dFa2 不变。把(5)式代人(4)式,得 dFn=l,I2 A(dl1·dl2)B(dl1·r)(dl2·r) (6) 下面根据实验三来确定(6)式中A、B两个常数之间的关系。该实验表明,将(6)式对 d4沿任意闭合回路L1积分时,中dF2与2垂直即 dF12·dl2=0 (7) 满足(7)式的必要条件是将dF2的表达式中的d1写成d后,dF12·dl2成一全微分。根 据(6)式, dF12·dl2=l1l2(r·dl2) A(dr·dl2)B(dr:r)(cl2·r) l{a3d[(r:al2)2] B(dr·r)(d2·r)2 A,(r·dl2)13A B(dr dl2·r) 因为dr=,故上式又可化为 dFa∵d1=,JAAI(r·d)213Aa)(d:p)(吗:r (8) 上式右端第一项已是全微分,若要整个式子为全微分,必须第二项的系数为0,即 B A B 则(6)式中的两个常数A,B便归并为一个。令K?3,且将(6)式中的r还原为 得 dF12=-Mln2(1·)-3(·r2)(d1·rn (9) 此式便是安培最初发表的公式。式中只剩下一个比例系数k,它与单位的选择有关。 四、安培公式的其他可能形式 鉴于一对偶极子之间的相互作用力一般不沿连线,上述安培的假设并非必要的。下 面考虑一下,当我们放弃这条假设对dF2表达式的限制时,它应具有怎样的普遄形式? 由于实验中dl1总是某个闭合载流回路中的一小段,(9)式中加一对dl1沿任意闭合 回路积分得零的项,并不影响与实验可对比的结果。将d1写成dr,这样的项必能用一全
微分表示。全微分必与dr即dl1成线性关系,我们进一步假设它与d2也成线性关系。 这样的全微分可写成如下形式 d(di r)rE(r)+dL, n(r)] =[dr(d2·r)+(dl2·dr)r]f(r)+(dl2·r)r'(r)dr+dl2n(r)dr =[dr(2·r)+(吗·d)rls()+(吗2·P)(r·d、+(rd)dl2y(r) 在上式中(r)和7(r)是r的绝对值r的任意函数,"(r)和n(r)是它们对r的导数,dr r·二,把上式中dr和r分别还原为d1和-r12,加到(9)式上,得到下列普遍表达式: dF2=-M1!r12(dl·d2)-3(dl·r12)(d2·r2) r2(d1·dl2)(r12)-r12(dl1·ra2)(dl2r12) '(ra2) dl1(dl2·r12)E(r1)-dl2(dl1·r1 下面看几个特例。 (i)由于r21=-r12,(10)式除最后两项外,对于下标1、2反对称(即1、2对调时,数值 不变,正负反号)。如果坚持认为dF2=-dF12,则要求(10)式最后两项也具有对于下标 1、2反对称的性质,亦即要求 (r12) 最简单的选择是 5(r2) T’(r2)k1l2 E'(r2)3kl2 (11) 代人(10)式,经简化,得 dFn2=2-n(d1,d)+a(d1…2)+出(d,r) kL.I [dl2×(dl1xr12)+d2(dl·r2)] (12) 2)式的前一步表明,它对于下标1、2反对称,因此dF1=-dF2 (i)(12)式并不是目前通用的安培公式(1)。要得到(1)式,必须选n(r2)=0,而 f(r12)同前,这样一来,(12)式中最后一项消失,与此同时dF21=-dF12将不成立。 五、总结和讨论 由于在稳恒条件下不存在孤立的电流元,所以安培公式无法用实验直接验证,它是根 据安培的四个实验从理论上推导出来的。在这四个实验中,产生磁场的载流线圈都是闭
合的,仅仅根据这四个实验的结果,我们只能得到(10)式这样一个普遍的表达式,其中包 含两个任意函数占(r2)和η(π2),从而安培公式可以选择多种不同的形式。选择 丌'(r12)=0,就得到安培的原始公式(9),这公式给出的dF12既沿两电流元线,又满足 dF21=-dF12,选择f(r12)和(12)如(11)式,得公式(12),这公式给出的dF12不沿连线, 但仍满足dF21=-dF12;若选择(r2)如(11)式,而(r12)=0,得公式(1),这公式给出的 dF12既不沿线,也不满足dF21=-dF10各公式之间的差别,在稳恒条件下不表现出来。 然而在非稳恒情形下可以有孤立的电流元。例如单个运动的电荷就是。它们的相互作用 力可直接用实验来确定。这类实验的结果是与(1)式(即现在通用的公式)符合的。那么 这时怎样理解dF21=-dF12呢?牛顿第三定律即动量守恒定律,它是任何封闭的物体系普 遍遵守的定律。问题在于电磁场本身也是物质,它也具有一定的动量。在稳恒状态下电 磁场的动量是不变的;在非稳恒情形下电磁场的动量将随时间而变化。运动电荷之间的 电磁相互作用不满足牛顿第三定律,表明它们的动量之和不守恒。但它们不是封闭系,因 为每个运动电荷与电磁场之间还要交换动量。电荷动量的增减,正好由电磁场动量的改 变给予补偿。运动电荷和电磁场一起组成的封闭系统总是满足牛顿第三定律(即动量守 恒定律)的。把电流元相互作用力写成(1)式的形式,可把稳恒和非稳恒情形统一起来。 在稳恒情形下虽然因电磁场动量不变而要求电流间相互作用满是牛顿第三定律,但对于 个别电流元dF12≠-dF21也是无关紧要的。因为恒定电流只存在于闭合载流回路之中, (1)式以及普遍的(10)式对闭合载流回路积分而得到的合力,总是与安培的原始公式(9) 一样,满足牛顿第三定律。 (本文原載《物理教学》1980年第1期。) 88
对镜像对称电流元的合成磁场 在普通物理课程中证明无限长螺线管或螺绕环外部的磁场B=0,通常利用安培环路 定理。但这里有个问题就是首先应利用对称性来证明:无限长螺线管的磁场只能平行于 管轴,而螺绕环的磁场只能沿角向。笔者在现行的教科书中尚未见到此结论的简单证明。 本文提供一个定理利用它可十分简捷地证明上述结论。 定理:一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场B必与此面垂直。 此定理的证明不难。取此对称面为直角坐标系的xy面,原点在其上,则毕奥-萨伐尔 公式 dB;=4丌 (i=1,2为电流元编号)中电流元与矢径的分量形式分别为 dl=(dx, dy, dz), dI,=(dx, dy, -dx) r2 代入(1)式,立即得到(dB,dB,dB)=(-dB2,-dB2,dB2),故两者的合成只可能有z 分量。 今以螺绕环为例,利用此定理,证明外部磁场为零(无限长螺线管的情况是完全类似 的)。通过任一场点和环的对称轴作一平面。不难看出,此面两侧电流元的分布呈镜像对 称(当然绕线的螺距是忽略的),故合成磁场与此面垂直,即沿角向。有此结论,下面的步 骤就是常规的了,利用安培环路定理和轴对称性即可证明外部B=0。 (本文原载《大学物理》1983年第1期。)
