热力学与统计物理 金晓峰 复旦大学物理系 2005-5-25 2021/8/21
2021/8/21 1 热力学与统计物理 金晓峰 复旦大学物理系 2005-5-25
考虑N个频率为U的光子分布在A个单元中的可能分布。 1个光子 将A.个单元分类,分成2个光子的单元P 3个光子 发3 比对Bo1tman的推导 Boltman (气3 232 M 2 2个光子 1个光子 0个光子 ∑ N- ∑a,,-E 总光子数N-∑M Bose的推导很类似,但问题的提法不一样。 可能的分布W“!P"!P!A A.! 要达到最大,且保 P-A,1-exp () ∑P:(hv.) exp( kT)-1 三点新意:(相对 Boltz 1)光子数不守恒(没用到光子数守恒条件,只利用了状态数守恒) 2)问多少粒子数在一个相格中P,而不是城些粒子在一个相格中。 3)相格而不是粒子统计 Bose 量子统计)一 Planck定律
Einstein 子相〉一量子气体 (2+P2+P2) 之 在A空间中.能量 E+c的相空圓体积 v·4xP2dP-2mv(2m)%E与dE 相应的相格数A,=2mV(2m)EE 将N,个全同的粒子分布在A个相格中,可能性为W :∵= ·②··· (类似卫anck的振子推导) 总分配数W-1W 取极大,同时售 呆证 (对光子数不守恒,则c=0) 自旋为整数的粒子适用Bose一 Einstein统计 白旋为半整数的粒子适用 Fermi Diract统计 Bose导anck定律的方法 3 holtzman:理想气体 Bose:光子气体 2}N个粒子 1个光动 所的相体积 有r个光子数的单元数
,E,·E A,个单元的分配数w, FM!P1∧ 变分法 HL-e-a-le 体系总的分配数(U=9∞) W-∏IW《对取变分 shu,-E 尸-?(得 Planck定律) Bose(统计) Einstein1光子相似性 量子矫计性 考虑:M,个全同粒子的量子理想气体,每个粒子的E 2m 体系在E→E,+CE 的相格数A,-2v(2m)EdE 挂一步,考虑M全同粒子在这A,个格子中的分配法,显然W !(A,-1y 现在考虑体系是 取W-IW,的极大 →N,--m 质量m(而不是0) 总粒予数守恒 BE统计:有N个全同粒子,总能为E,每个粒子存在一组能级E,相的简并度为g; 间平衡时的n, Bose子两个粒子交换一下,波函数是对称的)
De (g2)e (g1) 对一组{},一个n,的分配法,(, (+g,-1) m!(x,-12·存在 {n- 例 oNeEinste凝结(理想iose气体 (-uk7 对所有的能级成立 对最低能级E。-0也成立 即化学势-O ”一4n√m √kdE 问题:当k↓时,N会变化,则叫必须下降,但下降至O,E-M=E+|A 因此有问题,N不会守恒 4√2m- A E (r)%6v2s N 问题出在 上,求和时 能级上有粒子,但积分却为O。 在了T时,君-0得贡献很大
1 (*- -.Y"。m RaO) 4v√2m G 只有在濕度较低时,0点是否加入才有影响,温度较高时,没有影响。 331n2(N)3 rnk 临界点为T,与粒子浓度和质量有关 N G 为相变点,T≤时,粒子在动量空间凝结,即有粒子为O动量 19384 LOndon:-mo子cH-rerm子 测量比热有一个姚变 此时粒子浓度n-12/cm3,此时粒子与粒子间相互作用不能忽赠(已不再是白由 EB 子凝结),即除了量千相互作用外,还有其它作用。因此找到白由 E-Bose子一直是梦想 1995 E.A. Cornell Nist& Veio of lolarador n-1012/cm3较理想的ose子 时微第的在Mmw中,观察,是在拿走磁时以后,用 me resolved laser 登在(关于B统计) Collins. c. Physics" Today(1995)(P1 ② R. G. Hullet( Rice veil)L
Boltzmann统计:有N个经典粒子,总能为E,每个粒子存 在一组能级;相应的简并度为g,问平衡时的n,* 对-组{n},一个n的分配法:(g,) (g4)k4-n4 M-B (g2 g n,=N 8.=E B e g1箱子,每个粒子都有g种放法
Boltzmann统计：有N个经典粒子，总能为E，每个粒子存 在一组能级 i ,相应的简并度为 ，问平衡时的 i g ni * ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 g n g n g n g n = = n E n N i i i ( ) ni i i i M B g n N W − = ! ! i gi n e i −− = gi,箱子，每个粒子都有gi种放法 对一组{ } ni ，一个 ni 的分配法： ( ) ni gi
Bose-Einstein统计:有N个全同粒子,总能为E,每个粒 子存在一组能级相应的简并度为8问平衡时的n1* 对一组{}一个n的分配法 (n+g1-1)(g):—n (g2 n1+g; B-E一 g 8.=E →n Ba LLLI LII 123 g1gg1箱子,g-1挡板
Bose—Einstein统计：有N个全同粒子，总能为E，每个粒 子存在一组能级 ,相应的简并度为 i ，问平衡时的 i g ni * ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 g n g n g n g n ( ) !( 1)! 1 ! − + − i i i i n g n g ni i 对一组 ， 一个 n 的分配法： ( ) ( − ) + − − = ! 1! 1! i i i i B E n g n g W = = n E n N i i i 1 * − = + i e g n i i ..I.I..I.I I..I I. 1 2 3 gi -1 gi gi,箱子，gi -1挡板
例: Bose einstein和 Boltzmann统计之间的差别 若 2 Bose Einstein Boltzmann 1○2○ 1 b2a 1○○2 l a2b 12○○ lab2 lab 8;+n n, !8
例：Bose—Einstein和Boltzmann统计之间的差别 若 gi = 2 ， ni = 2 1○2○ 1b2a 1○○2 1a2b 12○○ 1ab2 ( ) ( ) 3 ! 1! 1! = − + − i i i i n g g n ( ) i = 4 n gi 12ab Bose—Einstein Boltzmann
Fermi-Dirac统计:有N个全同粒子,总能为E,每个粒子 存在一组能级相应的简并度为平衡时的n* F-D n=N →n n8=E +1 ∑EE 4 4 g (g1-n1)个 2
Fermi—Dirac统计：有N个全同粒子，总能为E，每个粒子 存在一组能级 ,相应的简并度为 i ，问平衡时的 i g ni * ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 g n g n g n g n = = n E n N i i i 1 * + = + i e g n i i ( − ) − = i i i i F D n g n g W ! ! ! … ni 个 (gi − ni )个 i g ni gi