中国科学技术大学：《数据结构及其算法》课程教学资源（课件讲稿）Ch7 图（2/3）.pdf_大学文库

§7.4.2最小生成树(Minimum Spanning Tree) ■MST性质一大多数算法都利用了此性质 ■设G是连通图，G的生成树不唯一设G=(N,E)是一连通图，U是V的真子集，若 (u,v)是所有连接U和V-U的边中权最小的边 ■MST:权最小的生成树，树的权是各边上轻边)，则一定存在G的一棵最小生成树包括此的权值之和边 ·应用 P:设G的任何一棵最小生成树均不包括u,V: ◆n个城市之间的通信网，可构建n(n-1)/2条线路 ◆n个城市连通至少要n-1条线路，G的生成树是 1个可行的方案最小生成树是最经济的可行方案构造MST: 1、Prim算法就是找轻边扩充到当前生成的树打=(U,TE)中 ■特点 ◆U一红点集、红边桌，的成。当前形成的集合T=(U,TE)始终是一棵树 VU一白点集、白边集。T中的顶点和边均为红色 ◆戴边集一连接红点和白点的边 ◆轻边一权量轻的素边，或最短紫边（若权为长度）（山，V) ■基本思想（贪心法） ◆设V(G={0,1,n-1} 算法的每一步均是在连接红、白点集的紫边中选一轻边扩充到T(贪心)，T从任意一点r开始(r为根)，直至U=V为止。 MST性质保证了贪心选择策略的正确性。 . 1、Prim算法 1、 Prim算法 ■如何找轻边？ ■如何维护候选轻边集？冬可能的款边集当把轻边(，v)扩充至T中时，设红点集U=k,白点集V-U=n-k,则可能的紫边数为：knk小： v由白点变为红点，紫边(u,v)变为红边：在此戴边集中选择轻边效率太低。对每个剩余白点j,边(，j)由白变紫，此 ◆构造候选轻边巢新紫边的长度可能小于白点原来所关联的最短构造较小的紫边集，但保证轻边在其中。紫边。因为，Vy∈自点集，从y到各红点的紫边中，只须调整候选轻边集，用更短的新紫边(V,) 有最短的那一条才可能是轻边，所以只须保留所有一k个白点所关联的最短薰边作为轻边候选集即可。取代原来关联于的最短紫边。显然，轻边是该候选集中权量轻的边。可以针对红点集来构造候选轻边集吗？ 1

1 1 §7.4.2 最小生成树（ Minimum Spanning Tree）设G是连通图，G的生成树不唯一 MST：权最小的生成树，树的权是各边上的权值之和应用 n个城市之间的通信网，可构建n(n-1)/2条线路 n个城市连通至少要n-1条线路，G的生成树是 1个可行的方案最小生成树是最经济的可行方案 2 MST性质－大多数算法都利用了此性质设G＝(V，E)是一连通图，U是V的真子集，若（u，v）是所有连接U和V-U的边中权最小的边（轻边），则一定存在G的一棵最小生成树包括此边。 Pf：设G的任何一棵最小生成树均不包括(u，v)； T’ u v u’ v’ u v u’ v’ T U U V-U V-U 3 构造MST：就是找轻边扩充到当前生成的树T＝（U，TE）中 U－红点集、红边集，构成T V-U－白点集、白边集紫边集－连接红点和白点的边轻边－权最轻的紫边，或最短紫边(若权为长度):（u1，v1） u1 v1 U V-U 5 50 15 u 23 2 u3 v2 v3 4 1、Prim算法特点当前形成的集合T＝（U，TE）始终是一棵树 T中的顶点和边均为红色基本思想（贪心法）设V(G)={0,1,…,n-1} 算法的每一步均是在连接红、白点集的紫边中选一轻边扩充到T（贪心），T从任意一点r开始（r为根），直至U＝V为止。 MST性质保证了贪心选择策略的正确性。 5 1、Prim算法如何找轻边？可能的紫边集设红点集|U|=k, 白点集|V-U|=n-k，则可能的紫边数为：k(n-k)。在此紫边集中选择轻边效率太低。构造候选轻边集构造较小的紫边集，但保证轻边在其中。因为，∀v∈白点集，从v到各红点的紫边中，只有最短的那一条才可能是轻边，所以只须保留所有n －k个白点所关联的最短紫边作为轻边候选集即可。显然，轻边是该候选集中权最轻的边。可以针对红点集来构造候选轻边集吗？ 6 1、Prim算法如何维护候选轻边集？当把轻边（u，v）扩充至T中时， v由白点变为红点，紫边（u，v）变为红边； ∵对每个剩余白点j，边（v，j）由白变紫，此新紫边的长度可能小于白点j原来所关联的最短紫边。 ∴须调整候选轻边集，用更短的新紫边（v，j）取代原来关联于j的最短紫边

2 7 1、Prim算法算法梗概 PrimMST(G,T,r) { //求以r为根的MST InitCandidateSet(…); //初始化，置初始的候选轻边集，置T＝（{r },φ） for (k=0; k<n-1; k++) { //求T的n-1条树边 (u,v)=SelectLightEdge(…); //选轻边，可能不唯一 TE＝TE∪{(u,v)}; //将(u,v)涂红加入树中，白点v加入红点集 ModifyCandidateSet(…); //根据新红点v调整候选轻边集 } } 算法终止时U＝V，T=(V,TE) 8 1、Prim算法实例 0 2 3 4 5 1 6 5 1 7 3 2 4 5 5 6 0 2 3 4 5 1 6 5 1 ∞ ∞ 0 2 3 4 5 1 5 5 1 4 5 0 2 3 4 5 1 5 2 1 4 5 0 2 3 4 5 1 5 2 1 4 5 0 2 3 4 5 1 5 2 1 4 3 9 1、Prim算法存储结构＃define Infinity INT_MAX //表示最大整数＃define n 100 typedef int AdjMatrix[n][n]; //邻接矩阵 typedef struct { //树边 int fromvex, tovex; //起点、终点 int len; //边长度，权值 } MST[n-1]; 设邻接矩阵初值：不存在的边其权值为Infinity 10 1、Prim算法算法求精－初始化将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。 void InitCandidateSet (AdjMatrix G, MST T, int r) { int i, k=0; for (i=0; i<n; i++) //依次形成白点i初始的最短紫边存放在T[k]中 if ( i != r ) { T[k].fromvex=r; //紫边起点为红点 T[k].tovex=i; //紫边终点为白点 T[k++].len=G[r][i]; //紫边长度，权值 } } ; 11 1、Prim算法算法求精－选轻边在当前候选轻边集 T[k..n-2] 中，选长度最短的紫边。 (Note:T[0..k-1]是红边集，T也是树，为什么针对白点构造候选集更好？) void SelectLightSet ( MST T, int k) { int i, minpos, min=Infinity; for (i=k; i<n-1; i++) //遍历候选集找轻边 if ( T[i].len < min ) { min=T[i].len; //紫边起点为红点 minpos=i; //记录当前最短紫边的位置 } if (min==Infinity ) error( “G不连通”）; return minpos; //轻边为T[minpos] } ; 12 1、Prim算法算法求精－调整候选轻边集设轻边（u,v）涂红后加入到树边中，T[k..n-2]是待调整的候选轻边集，则须根据新红点v调整T[k..n-2] 。 void ModifyCandidateSet ( AdjMatrix G, MST T, int k, int v) { int i, d; //v是新红点 for (i=k; i<n-1; i++) { //遍历候选集 d=G[v][T[i].tovex]; //T[i]的终点是白点，d是新紫边的长度 if ( d<T[i].len ) {//d小于白点T[i].tovex原关联最短紫边长度 T[i].len=d; T[i].fromvex=v; //新紫边取代T[i].tovex原来的最短紫边 } } } ;

1、Prim算法 1、Prim算法 ■算法求精一最终算法 void PrimMST(AdjMatrix G,MST T,int r){ ■时间分析 int k,m,v; 初始化：O(n) InitCandidateSet(G,T,r);彻蛤候选集To.,n2 在k循环中： for(k=0;k<n-1;k+){求n-1条衡边中的k条 Select中循环次数为n-k-1∥在Tk.n-2选轻边Tm m=SelectLightEdge(T,k); Modify中循环次数为n-k-2 ∥在Tk.n-2习选轻边Tm间 Tk+1-2]是新候选集，报据斯红点v词整候选轻边、 T[m]→T[k灯；轻边和紫边T的交换，将其扩充至树中因此： y=T[K].tovex;交换后红边集为TO.的，v是斯红点时间为0，与边无关，适合稠密图。 ModifyCandidateSet(G,T,k+1,v); 厅k+1-2习是新候选第，根据新红点候选轻边编 2、Kruskal算法 2、Kruskal算法（续） ■特点：当前形成的集合T除最终结果外，始终是森林，无环。 ■算法：例子：略 ■时间： KruskalMST(G){ T=,):包含n个顶点，不含边的森林： ◆对边排序O(elge) ◆for循环中：依权的增序对E(G)中边排序，设结果在E0.e-1小：检测每条边的两个顶点是否在同一连通分量（制）上 for(=0;i长e;it+)( 取E中第条边(u,店只要采用合适的败据结构，检测时间为O(g) if(u和v分黑森林T中两棵不同的树)then 因此，此时间亦为o(elge)。 $总计： T=TU((u,v):否则产生回路，放弃此边 f(T已是一棵树)then return T: O(elge) M/endfor ■结论：时间性能主要取决于边数，适合稀琉图。 1、相关概念 ■集合与关系 §7.5拓扑排序 ◆信吉是公意记到为成的集合（《eAy 有向无环图DAG(Directed :必的减美泽个完关系，他酒了教合A中行两 Acyclic Graph)的应用个完意之间的关系，若区，yR,则称x和y有关系R,亦可记为xRy, 香和没有关系R,记为xRy。 ◆算合A上的关系R是自反的（反身的），若对x∈A,都有xRx, ◆算合A上的关系R是对物的，着xRy,则yRx,其中，x,y∈A ◆算合A上的关系R是反对察的，若xRy,yRx,则必有x=y其中xy∈A。 ◆桌合A上的关系R是传遭的，若xRy,yRZ,则XR.其中x,y2∈A 数之向的相够关暴，具有自反性，对称性，传递性，反对称性败之闻的小于关暴，具有传递性，反对称性：数之间的小于等于关系，具有自反性，传递性，反对称性： 3

3 13 1、Prim算法算法求精－最终算法 void PrimMST(AdjMatrix G, MST T, int r) { int k,m,v; InitCandidateSet(G, T, r);//初始候选集T[0..n-2] for (k=0; k<n-1; k++) { //求n-1条树边中的kth条 m＝SelectLightEdge(T,k); // 在T[k..n-2]选轻边T[m] T[m]↔T[k];//轻边和紫边T[k]交换，将其扩充至树中 v＝T[k].tovex; //交换后红边集为T[0..k],v是新红点 ModifyCandidateSet(G,T,k+1,v); //T[k+1..n-2]是新候选集，根据新红点v调整候选轻边集 } } 14 1、Prim算法时间分析初始化：O(n) 在k循环中： Select中循环次数为n-k-1 // 在T[k..n-2]选轻边T[m] Modify中循环次数为n-k-2 //T[k+1..n-2]是新候选集，根据新红点v调整候选轻边集因此：时间为O(n2)，与边无关，适合稠密图。 15 2、Kruskal算法特点：当前形成的集合T除最终结果外，始终是森林，无环。算法： KruskalMST(G){ T=(V, φ)；//包含n个顶点，不含边的森林；依权的增序对E(G)中边排序，设结果在E[0..e-1]; for (i=0; i<e; i++) { 取E中第i条边(u,v); if （u和v分属森林T中两棵不同的树） then T＝T∪{（u,v）}; //否则产生回路，放弃此边 if （T已是一棵树）then return T； }//endfor } 16 2、Kruskal算法（续）例子：略时间：对边排序O(elge) for循环中：检测每条边的两个顶点是否在同一连通分量（树）上只要采用合适的数据结构，检测时间为O(lge) 因此，此时间亦为O(elge)。总计： O(elge) 结论：时间性能主要取决于边数，适合稀疏图。 17 §7.5 拓扑排序有向无环图DAG（Directed Acyclic Graph）的应用 18 1、相关概念集合与关系笛卡儿积：设A、B是两个集合，所有序偶(x,y)构成的集合（x∈A, y ∈B ），称为A，B的笛卡儿积，记为A×B。二元关系：集合A×B的一个子集R，称为集合A与B上的一个二元关系，简称关系。若B＝A，则R称为A上的一个二元关系，他刻画了集合A中两个元素之间的关系。若(x，y)∈R，则称x和y有关系R，亦可记为xRy，否则x和y没有关系R，记为x y。集合A上的关系R是自反的（反身的），若对∀x ∈A，都有xRx。集合A上的关系R是对称的，若xRy，则yRx。其中，x，y ∈A。集合A上的关系R是反对称的，若xRy，yRx,则必有x＝y.其中x,y ∈A。集合A上的关系R是传递的，若xRy，yRz，则xRz。其中x,y,z ∈A。例子：数之间的相等关系，具有自反性，对称性，传递性，反对称性；数之间的小于关系，具有传递性，反对称性；数之间的小于等于关系，具有自反性，传递性，反对称性； R

4 19 1、相关概念偏序（部分序）设R是集合A上的一个关系，若R具有自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的偏序关系，A是偏序集（对于R）。偏序关系R一般记为≤，若将关系看作是比较，则偏序关系是指集合中仅有部分元素是可以比较的。全序（线性序）设R是集合A上的一个偏序关系，若对 ∀x,y ∈A，必有xRy或yRx，则称R是A上的全序关系，A是全序集（对于R）。数集合上的大小关系是全序关系全序关系是指集合中全体成员之间均可比较。 20 1、相关概念拓扑排序将一个dag图G＝（V，E）中的所有顶点排成一个线性序列，使得对G中任意一对顶点u和v，若 ∈E，则在线性序列中u在v之前。这种给顶点定序的操作称为拓扑排序。拓扑（有序）序列：上述顶点的线性序列称为拓扑序列。唯一吗？几何意义：将G中顶点按拓扑序列的次序排成一行，则G中所有的有向边的指向均为从在到右例子： v2 v v1 3 v4 v3 v1 v2 v4 21 1、相关概念拓扑排序拓扑排序成功的充要条件：无环。例子：应用背景有向图G可表示事件之间的先后关系，顶点表示事件，边表示事件之间的依赖关系： ∈E(G)表示u先于v发生，u完成后才能开始v。若G表示施工图、生产流程图、学习计划安排，则在只能串行工作时，拓扑序列是一种可行的方案或计划。 v4 v3 v2 v1 v v1 3 v2 v4 22 2、求拓扑序列？ (1) 无前驱的顶点优先算法思想：输出当前入度为0的顶点。 NonPreFirstTopSort（G）{ while( G中有入度为0的顶点 ) do { 从G中选1个入度为0的顶点v输出之；从G中删v及其出边，出边终点的入度减1； } if ( 输出的顶点数 p->next)//扫描i的出边表 indegree[p->adjvex]++; //将的终点j入度加1，j=p->adjvex InitStack(&S); for (i=0; i<G.n; i++) if ( !indegree[i] ) Push(&S,i);//入度为0的顶点入栈