第三章静磁场及其边值问题3.1静磁场方程和矢势3.2磁偶极矩的势和磁场3.3静磁能外磁场对电流的作用能3.4矢势的量子效应3.5静磁场边值问题3.6超导体的电磁性质3.1静磁场方程和矢势恒定电流遵从方程√.J=0,它产生静磁场，电流和磁场的分布均与时间无关毕奥一萨伐尔定律4[(x)xav"B(x)= 4(3.1)4元JV73是恒定电流激发磁场的规律.磁场方程为(3.2)VxB=μoJ,V.B=0J一般地包括物质内的传导电流密度J.和磁化电流密度JM.由于磁场的无源性，可引入矢势函数A，使(3.3)B=VxA将此式对任意非闭合曲面s积分,并由斯托克斯定理,有JB.ds=JVxA.ds=A.dl(3.4)即矢势A沿任意闭合路径L的环量，等于通过以L为边界的曲面s之磁通量，可见只有失势的环量才有物理意义，一点上势的绝对值没有明确意义由于对任意标量场，均有×V=0，因此当A→A'=A+Vy仍有VxA'=Vx(A+V)=VxA=B可见有任意多个矢势A可以描述同一个B场.原因在于作为量场的A,只由(3.3）式给出它的旋度，没有限定其散度V·A.故A未确定.对V·A的每一种选择称为一种规范例1.均匀磁场B的矢势1
第三章 静磁场及其边值问题 3.1 静磁场方程和矢势 3.2 磁偶极矩的势和磁场 3.3 静磁能 外磁场对电流的作用能 3.4 矢势的量子效应 3.5 静磁场边值问题 3.6 超导体的电磁性质 3.1 静磁场方程和矢势 恒定电流遵从方程 J =⋅∇ 0 ,它产生静磁场,电流和磁场的分布均与时间无关. 毕奥一萨伐尔定律 V V r ′ ′ × = ∫ d )( 4 )( 3 0 rxJ xB π μ (3.1) 是恒定电流激发磁场的规律.磁场方程为 ∇× = μ 0 JB ，∇ ⋅ B = 0 (3.2) J 一般地包括物质内的传导电流密度 Jf 和磁化电流密度 JM.由于磁场的无源性,可 引入矢势函数 A ,使 B = ∇ × A (3.3) 将此式对任意非闭合曲面S 积分,并由斯托克斯定理,有 ∫ ∫ ⋅=⋅×∇=⋅ S L S d dd lASASB ∫ (3.4) 即矢势 A沿任意闭合路径 的环量,等于通过以 为边界的曲面 之磁通量.可见 只有矢势的环量才有物理意义,一点上矢势的绝对值没有明确意义. L L S 由于对任意标量场ψ ,均有∇ ×∇ψ = 0 ，因此当 → ′ = AAA + ∇ψ 仍有 ×∇ ′ = ∇× AA + ∇ψ )( = ∇× = BA 可见有任意多个矢势 A 可以描述同一个 B 场.原因在于作为矢量场的 A ,只由(3.3) 式给出它的旋度,没有限定其散度∇⋅ A ,故 A未确定.对∇⋅ A的每一种选择称为一种 规范. 例 1.均匀磁场 B 的矢势. 1
【解】令B=Be.由VxA=Be.在直角坐标系中,有4-4-B, --0, 90A._cA:=0axay-Dyαax有无穷多个A场可以满足这组方程，例如(1)A =0, A, = Bx,A. =C(2)A, =-By, A, =0,A. =C1 Bx,A, = C(3) A =By, A, =222C为任意常数，可取C=0.分别作上述A的图将(3.3)代入(3.1)的第一式,并选择库仑规范V·A=0,可得失势方程V?A=-μoJ(3.5)(V·A=0)它在无界空间中的解为A(x) = 40 , (2av(3.6)4元Jrr是电流分布点x到场点x的距离，积分遍及电流分布区域v.其中已把无穷远处选择为A的零值参考点.这积分意味着矢势A与静电势β一样遵从叠加原理.对(3.5)求场点的旋度,即给出毕奥一萨伐尔定律(3.1)式.只要给定电流分布函数J(x),由(3.6)式可求出矢势,再由(3.3)式可求出磁场B.若已知B或A的分布,由(3.2)的第一式或(3.5)式,可求出电流分布J(x)例2.圆电流圈的矢势和磁场【解】如图，以=为电流圈的对称轴，电流圈的中心为坐标原点.选择球坐标令电流沿e方向.于是电流分布便有z轴对称性,它的矢势A和磁场B也有同样的对称性.任一点的矢势A(x) = Ho f Idl(1)4元re均只有e.分量，而且与坐标无关，即(2)A= Ag(R,0)eg AR =Ag =0因此,任意半径r=Rsino的圆周各点上A值相等.故可以计算xz平面上P点的Ag，2
【解】令 由 = BeB z =×∇ BeA z ,在直角坐标系中,有 B y A x Ay x = ∂ ∂ − ∂ ∂ , = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ z A y Az y , = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ x A z Ax z 有无穷多个 A场可以满足这组方程,例如: (1) = 0 , , Ax y = xBA z = CA (2) ByA , , x −= Ay = 0 z = CA (3) x ByA 2 1 −= , y BxA 2 1 = , z = CA C 为任意常数,可取 C = 0.分别作上述 A 的图. 将(3.3)代入(3.1)的第一式,并选择库仑规范∇ ⋅ A = 0 ,可得矢势方程 0 JA2 −=∇ μ ∇ ⋅ A = )0( (3.5) 它在无界空间中的解为 V V r ′ ′ = ∫ d )( 4 )( 0 xJ xA π μ (3.6) r 是电流分布点 x′到场点 的距离,积分遍及电流分布区域 .其中已把无穷远处 选择为 A 的零值参考点.这积分意味着矢势 A 与静电势ϕ一样遵从叠加原理.对(3.5) 求场点的旋度,即给出毕奥一萨伐尔定律(3.1)式.只要给定电流分布函数 ,由 (3.6)式可求出矢势,再由(3.3)式可求出磁场 B.若已知 B 或 A 的分布,由(3.2)的第一 式或(3.5)式,可求出电流分布 . x V xJ ′)( xJ )( 例 2.圆电流圈的矢势和磁场. 【解】如图，以 z 为电流圈的对称轴,电流圈的中心为坐标原点.选择球坐标, 令电流沿 方向.于是电流分布便有 z 轴对称性,它的矢势 A 和磁场 B 也有同样的 对称性.任一点的 φ e 矢势 φ π μ xA e ∫ ′ = L r dlI 4 )( 0 (1) 均只有 分量 eφ ,而且与坐标φ无关,即 φ θ φ A = RA , )( e , R = AA θ = 0 (2) 因此,任意半径 = Rr sinθ 的圆周各点上 A 值相等.故可以计算 xz 平面上 P′点的 , Aφ 2
此处e,=ey,Ag=A,由r2 ==2 +L? =22 +x2 +2-2xacosg*=R°cos?0+R'sin0+a?-2Rasincos0=R?+a?-2Rasin&cos4dl'=ade',dl,=dl'cosg'=acostds因此有Mol f dl,cos'ds'Hola2元Ag(P)=(3)4元r4元Jo（R2+a2-2Rasincosg)1/2用椭圆积分可得到结果.讨论当2Rasina>a，即在远处,(5)和(6)成为HomA=MomHomsing;BR=-coso,Ba=-(8)sing,Ba=04元R22元R34元R3这是电流圈的磁矩m=Ia2e.(其值为m=l元a2)在远处产生的矢势和磁场.B写成失量即为3
此处 φ = ee y , . φ = AA y 由 φθ θθ φθ φ −+= ′ = −++ ′ −++=+= ′ cossin2 cos sin cossin2 cos2 22 22222 222222 RaaR R RaaR xaaxzLzr ′ = al dd φ′， ′ = ′cosdd ′ = all ′dcos φφφ ′ y 因此有 ∫∫ −+ ′ ′′ = ′ ′ = π φ φθ φφ π μ π μ 2 0 22 2/1 0 0 ( )cossin2 dcos 4 d 4 )P( RaaR Ia r I l L y A (3) 用椭圆积分可得到结果. 讨论当 的情形,可以计算出近轴场和远 场.此时被积函数的分母可展开为级数 22 Rasin2 θ +> a ，即在远处, (5)和(6)成为 θ μ sin 0m A = ； 4 2 πR θ μ BR = cos 2 3 0 R m π , θ μ θ sin 4 3 0 R m B π = , = 0 Bφ (8) z π= aI em ( 这是电流圈的磁矩 2 其值为 在远处产生的矢势和磁场 π= aIm 2 ) .B 写成矢 量即为 3
B= Hol(2costeR +sinde)(9)4元R33.2磁偶极矩的势和磁场在上例的积分式3)中，我们略去了2Rasincosd'(R?+a2）3次以上的奇次项.在远处看来这个圆电流圈可以看成一个典型的磁偶极子.其实，如同电荷系统在其外部的电场那样任何电流系统在其外部的磁场，也可表示成一系列多极矩场的叠加.在远处,如同对静电势做多极展开一样,亦可将(3.6)式中的1/r展开为级数，因而有A(x) = 40 , (x2av*4元JVrOa11-x++x(3.7)+Jdv4元JVRi.j=l= A(0) +A() +...R是原点到场点的距离.因为恒定电流的流线都是闭合的，任何恒定电流都可以看为由许多闭合电流管I组成故上式右方第一项一一即矢势的单极项为零A(0)=0l(xaV'=40Z1fdl,=0(3.8)4元RZ4元RJ磁场的单极项B(O)自然亦为零,这与认为不存在磁单极的磁场散度方程V·B=0是一致的.偶极项为A()_omxR(3.9)4元R3R=x是坐标原点到场点的矢径.m为电流系统的磁偶极矩：1.x'xJ(x)dv21-(3.10)它的磁场为B(x)=V×A() = 40|3(m-R)R_ m(3.11)4元RR3若磁矩沿z轴,即m=me.(3.11)便与例2中的(9)式一致在电流密度J=0的单连通区域内，磁场旋度方程为V×B=0,因而可引入磁标势，使(3.12)B=-μoVp于是磁偶极矩m的标势为4
(2cos )sin 4 3 0 θθ θ μ B + ee π = R R m (9) 3.2 磁偶极矩的势和磁 略去了 次以上的奇次项.在 远处 场 在上例的积分式(3)中, 我们 )/(cossin2 22 Ra φθ ′ + aR 3 看来,这个圆电流圈可以看成一个典型的磁偶极子.其实,如同电荷系统在其 外部的电场那样,任何电流系统在其外部的磁场,也可表示成一系列多极矩场的叠 加.在远处,如同对静电势做多极展开一样,亦可将(3.6)式中的 /1 r 展开为级数,因而 有 ⋅⋅⋅++= ⋅⋅⋅+ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ = ′′ +∇⋅ ′′ ′ ′ = ∫ ∑ ∫ = )1()0( 3 1 0 0 ]d) 1 ( 2 111 )[( 4 d )( 4 )( AA xxJ xJ xA V Rxx xx RR V r ji ji, ji V V - π μ π μ (3.7) 是原点到场点的距离.因为恒定电流的流线都是闭合的,任何恒定电流都可以看 为 R 由许多闭合电流管 Ii组成,故上式右方第一项——即矢势的单极项为零: 0d 4 d)( 4 0)0( 0 ′′ ∫ I μ μ = = ∑ = ( ∫ Li i i i V l R V πR π A xJ 3.8) 磁场的单极项 B(0)自然亦为零,这与认为不存在磁单极的磁场散度方程 B =⋅∇ 0是 一致的.偶极项为 3 (1) 0 4 R Rm A × = π μ (3.9) = xR 是坐标原点到场点的矢径 为电流系 . m 统的磁偶极矩： ∫ = ′× ′′ V xJxm )d( V 2 1 (3.10) 它的磁场为 ] )3( [ 4 )( 5 3 (1) 0 RR mRRm AxB - ⋅ =×∇= π μ (3.11) 若磁矩沿 z 轴,即 z = mem , (3.11)便与例 2 中的(9)式一致. 在电流密度 J = 0 的单连通区域内,磁场旋度方程为∇ × B = 0 ,因而可引入磁标 势ϕ ,使 B = −μ 0∇ϕ (3.12) 于是磁偶极矩 的标势为 m 4
o()_m.R(3.13)4元R3将磁偶极矩m的磁场表达式(3.11)与电偶极矩p的电场表达式加以比较,可知当p→mlc2,有E→B,这代换反映了p与m的场有对偶性3.3静磁能外磁场对电流的作用能静磁能在线性均匀介质内，磁能密度为w=B·H/2,其中B=μH.真空中B=HoH.磁场一般地分布于全空间,因此总磁能是磁场分布的所有区域内能量之和，即总能量一般地由积分B·HdV(3.15)N=给出.由V×H=J及B=V×A,下述积分fAdlW=(3.16)也可给出总磁能，积分只需遍及电流分布区域外磁场对电流的作用能设V内的电流分布J,激发的矢势为AI,V,内的电流分布J激发的矢势为A2,由(3.15),总静磁能为W=[,(1:A +J2-A2+J1-A2+J2 A)dv(3.17)被积函数中第三、四两项反映了两个电流的互作用能，而这两项是相等的.因此当分布于区域V内的电流J(x)处于另一电流产生的外磁场中,外场的矢势记为A.(x),则外磁场对这电流系统的作用能为W, =[, J(x)A.(x)d)(3.18)此式没有考虑到相互作用过程引起电磁感应所产生的效果.事实上，相互作用过程必然会引起电磁感应（见教材P89-90，或讲稿）.因此，外磁场对磁偶极子m的作用能，作用力，和作用力矩为(3.19)W, =-m·B.(3.20)F=-VW,=m·VBL=mxB(3.21)5
3 (1) 4πR ϕ ⋅ Rm = (3.13) 将磁偶极矩 m 的磁场表达式(3.11)与电偶极矩 p 的电场表达式加以比较,可知当 2 → mp /c ,有 E → B ,这代换反映了 p与m 的场有对偶性. 3.3 静磁能 外磁场对电流的作用能 静磁能 在线性均匀介质内,磁能密度为 w = ⋅ HB /2 ,其中 = μHB .真空中 B = μ 0H .磁场一般地分布于全空间,因此总磁能是磁场分布的所有区域内能量之 和,即总能量一般地由积分 W dV 2 1 ⋅= HB ∫∞ (3.15) 给出.由 =×∇ JH f 及 B ×∇= A ,下述积分 ∫ ⋅= V W dV 2 1 f AJ (3.16) 也可给出总磁能,积分只需遍及电流分布区域. 布 激发的矢势为 内的电流 分布 2 2 总静磁能为 外磁场对电流的作用能 设V1内的电流分 J1 A1 ,V2 J 激发的矢势为 A ,由(3.15), ∫ ( ⋅= ⋅+⋅+⋅+ 1 JAJAJ V W )dV 2 AJA 12212211 (3.17) 被积函数中第三、四两项反映了两个电流的互作用能,而这两 e (3.18) 此式没有考虑到相互作用过程引起电磁感应所产生的 项是相等的.因此, 当分布于区域V 内的电流 xJ )( 处于另一电流产生的外磁场中,外场的矢势记为 xA )( ,则外磁场对这电流系统的作用能为 ∫ = J V Wi e xAx )d()( V 效果.事实上,相互作用过程 必然会引起电磁感应（见教材 P89-90，或讲稿）.因此,外磁场对磁偶极子m 的作 用能,作用力,和作用力矩为 i Bm e W = − ⋅ (3.19) i Be F = −∇W = m ⋅∇ (3.20) = × BmL e (3.21) 5
3.4矢势的量子效应见讲稿经典电动力学把电场强度E和磁感应强度B作为描写电磁场的基本物理量标势β与失势A只是作为数学手段而引入的辅助量.但A-B效应以及超导现象等实验事实表明，描写磁场对带电粒子的作用时，仅用B的局域作用理论显示出其局限性，在微观电磁现象中失势有客观的物理效应.由于微观带电粒子的状态由波函数描写,因此,磁场对粒子作用的物理量是相因子e,其中0=%A.dl(3.22)hJLe是粒子的电荷，L为任意闭合路径.当L可以缩小为任意一点的无限小路径，B对带电粒子的局域作用描述等价于相因子描述.若L不可以缩小为任意一点的无限小路径，例如A-B效应中电子通过双缝后干涉条纹的移动现象，以及超导环的磁通量子化现象，都表明B的局域作用理论不能反映磁场对微观带电粒子的作用.在微观电磁现象中，失势A比B有更基本的地位3.5静磁场边值问题在有不同介质分布时，已知电流的磁场将使介质出现磁化电流，磁化电流反过来又激发磁场，而磁化电流通常不能预先求出.因此，必须根据给定介质的电磁性质和边界条件，求解磁场或势的微分方程，才能求出磁场分布.如同静电场边值问题一样，寻找静磁场边值问题解的依据，是唯一性定理静磁场方程和边值关系连续介质内的静磁场方程为(3.23)VxH=Jr,V.B=0J，为传导电流密度.在两种介质分界面上，一般情况下的边值关系为(3.24)en(B2-B))=0, e.×(H2-H))=α由磁场强度的定义H=Blμo-M,而一般情况下界面两边磁化强度M的跃变关系为en×(M-M)=αM，故第二个边值关系与en×(B2-B)=o(αr+αm)等价,αr是界面的传导电流面密度，αM是磁化电流面密度在非导电介质的分界面上，一般有αr=0.6
3.4 矢势的量子效应 见讲稿 经典电动力学把电场强度 E 和磁感应强度 作为描写电磁场的基本物理量, 标势 B ϕ 与矢势 A只是作为数学手段而引入的辅助量.但 − BA 效应以及超导现象等 实验事实表明 写磁场对带电粒子的作用时,仅用 B 的局域作用理论显示出其局 限性,在微观电磁现象中矢势有客观的物理效应.由于微观带电粒子的状态由波函 数描写,因此,磁场对粒子作用的物理量是相因子 ,其中 ,描 iφ e ∫ ⋅= L dlA h φ e (3.22) 是粒子的电荷 为任意闭合路径.当 可以缩小 带电粒子的局域作用描述等价于相因子描述 e , L 都表明 L 为任意一点的无限小路径, B 对 .若 L 不可以缩小为任意一点的无限 小路径,例如 − BA 效应中电子通过双缝后干涉条纹的移动现象,以及超导环的磁 通量子化现象 B 的局域作用理论不能反映磁场对微观带电粒子的作用.在 微观电磁现象中,矢势 , A比 B 有更基本的地位. 3.5 静磁场边值问题 在有不同介质分布时,已知电流的磁场将使介质出现磁化电流,磁化电流反过 来又激发磁场,而磁化电流通常不能预先求出.因此,必须根据给定介质的电磁性 质和边界条件,求解磁场或势的微分方程,才能求出磁场分布.如同静电场边值问 题一样,寻找静磁场边值问题解的依据,是唯一性定理. 静磁场方程和边值关系 连续介质内的静磁场方程为 ∇× = JH f ，∇ ⋅ B = 0 (3.23) J f 为传导电流密度.在两种介质分界面上,一般 况下的 情 边值关系为 0)(⋅ − BBe 12n = , f12n × − HHe )( = α (3.24) 由磁场强度的定义 /μ 0 −= MBH ,而一般情况 界面两边磁化强 下 度 M 的跃变关系 为 M12n MMe )( =−× α ，故第二个边值关系与 ()( Mf012n × − BBe = μ α +α ) 价, 等 α f 是界 面的传导电流面密度,α M 是磁化电流面密度 面上,一般有 f = 0 .在非导电介质的分界 α . 6
矢势的微分方程和边值关系当介质是分区线性均匀的，则在区域i内,B=μ,H,由(3.12)的第一式和B=V×A,此区域内矢势的方程为?A=-μJ（辅助条件V.A=0)(3.25)若这区域内传导电流密度J=0,便有v?A=0.在线性均匀区域i和j的分界面上，由(3.24),得矢势一般的边值关系A,=4,ea×(二V×A,-4,)=ar(3.26)JMiHj磁标势方程和边值关系在J=0的单连通区域内，磁场强度的旋度VxH=0,故可引入磁标势m，使H=-Vm又由H=B/μo-M可知V.H=-V.MM为介质的磁化强度.若引入假想磁荷密度Pm，使(3.27)Pm=-MoV.M则在J，=0的区域内,从磁场方程(3.12)可得磁标势方程(3.28)V2m=-Pm/o（或v20m=0,当pm=0)它与静电势的方程相似.在两种介质分界面上,由(3.24)，一般的边值关系为(3.29)enx(-Vp2 +Vo1)=αf B2n =Bin若两种介质线性均匀,且界面上α=0,则边值关系为p2=2p(3.30)P2=91,H20nian在各种连续介质分布的区域内,满足磁场方程(3.23),或矢势方程(3.25),或标势方程(3.28),在介质分界面上又满足给定的边值关系及边界条件的解,才是静磁场唯一正确的解例1.→α的介质（高μ值磁介质，如铁磁质）的表面为等磁势面。（教材P83，自习）例2.均匀磁化铁球的磁场（教材P83）【解】见讲稿例3.半经为R。的薄导体球壳，均匀地带有电荷q，这球壳绕其自身某一直7
矢势的微分方程和边值关系 当介质是分区线性均匀的,则在区域 内 i , B = μiH ,由(3.12)的第一式和 B = ∇ × A ,此区域内矢势的方程为 2 A =∇ −μ i J f (辅助条件∇ ⋅ A = 0 ) (3.25) 若这区域内传导电流密度 f 便有 关系 J = 0 , 0 2A =∇ .在线性均匀区域i 和 j 的分界面上, 由(3.24),得矢势一般的边值 = AA ij , n f ) 1 1 ( i =×∇−×∇× α i j j e A μ μ A (3.26) 磁标势方程和边值关系 在 J f = 0 的单连通区域内,磁场强度的旋度 ×∇ H = 0 ,故可引入磁标势ϕ m ,使 H = −∇ϕ m .又由 = /μ 0 − MBH ,可知 H ⋅−∇=⋅∇ M , M 为介质的磁化强度.若引入 想磁 假 荷密度 ρ m ,使 ρ = −μ 0m ∇⋅ M (3.27) 则在 f 的区域内,从磁场方程(3.12)可得磁标势 当 J = 0 方程 m 0m 2 −=∇ /μρϕ (或 m 0 2 ϕ =∇ , ρ m = 0 ) (3.28) 它与静电势的方程相似.在两种介质分界面上,由(3.24),一般的边值关系为 n f12 e ×(-∇ϕ + ∇ϕ ) = α , = BB n1n2 (3.29) 若两种介质线性均匀,且界面上α f = 0 ,则边值关系为 1 ∂nn ∂ = ∂ ∂ 1 2 2 μ ϕ ϕ 2 = ϕ ，μ ϕ1 (3.30) 在各种连续介质分布的区域内,满足磁场方程(3.23),或矢势方程(3.25),或标势方程 (3.28),在介质分界面上又满足给定的边值关系及边界条件的解,才是静磁场唯一 正确的解. 例 1．μ → ∞ 的介质（高μ 值磁介质，如铁磁质）的表面为等磁势面。（教 材 P ） P83） 的薄导体球壳，均匀地带有电荷 ，这球壳绕其自身某一直 83，自习 例 2．均匀磁化铁球的磁场（教材 【解】见讲稿 0 例 3．半经为 R q 7
径以角速度の转动，求磁场分布。【解】以球心为坐标原点,转轴为轴.球壳电荷面密度α=q/4元R,因球壳自转而形成的面电流密度为qoq(1)sine00.xRoeRαr=0V=4元R04元R【方法一】磁标势法球内外两区域均无传导电流分布，磁标势均满足方程2=0,边界条件为(2)R=0，9有限；R→0，P2→0R=R处,B2R=BiR,eR×(H2-H,)=α100+101-qo002-00即(3)singRORRR04元由=轴对称性,及(2)的两个条件,磁标势方程的解写为(4)Za,R"P,(cos0),(RRo)RI+由条件(3),解出mm·Rqo(6)Rcoso,COS0=P2P1 =6元Ro4元R24元R3Hoqo(7)BI = μo(-Vpl)=e.6元R。Ho3(m-R)R_mB2 =μo(-V@2)= 4(8)R3RS4元球内为均匀场，球外为磁偶极场，球面电流形成的磁矩为qoR?(Roer ar)ds =2(9)m2J3【方法二】如(9)式先计算出球面电流的磁矩m，得球外的磁标势和磁场m·Rm02:-coso4元R34元R2JomB2=Ho(-V2)= 4(10)(2cosQeR+singe)4元R3因R=0处g有限,故球内标势方程V2e,=0的解如(4)式,再由R=R处B2R=BiR,即00Hom2cos0=(11)-μoR=RoaR4元R8
径以角速度ω 转动，求磁场分布。 【解】 以球心为坐标原点,转轴为 z 轴.球壳电荷面密度 因球壳自 转而 2 f 0 = /4πσ Rq , 形成的面电流密度为 θ φ π ω ω π σ v ee sin e 4 4 0 0 2 0 f R q R R q α f == Rz =× (1) 【方法一】 磁标势法 球内外两区域均无传导电流分布 ， 1 ,磁标势均满足方程 2 ϕ =∇ 0 ,边界条件为 有限 ； R → ∞， 2 R = 0 ϕ ϕ → 0 (2) 0 处, = RR B = B12 RR ， 2 1 f eR × H − H )( = α 即 θ π ω θ ϕ θ ϕ in 2 ∂ ∂ ∂R ∂ = ϕ ∂R ∂ϕ 12 , s 4 11 0 1 0 0 R q RR = ∂ ∂ +− (3) 由 z 轴对称性 及, (2)的两个条件,磁标势方程的解写为 ϕ θ )cos( nPRa 1 n n = ∑ n , )( RR 0 (5) 由条件(3),解出 θ π ω ϕ cos 6 0 1 R R q −= , 2 3 2 4 cos 4 R R m π θ π ϕ ⋅ Rm = = (6) z R q B e 0 0 101 6 )( π ωμ = μ −∇ϕ = (7) ] ) 3 R m − (8) 3( [ 4 )( 5 0 202 RR Rm B ⋅ =−∇= π μ ϕμ 球内为均匀场 球外为磁偶极场 , ,球面电流形成的磁矩为 z S m R e S e R 3 ( )d 2 0 = f0 =× ∫ α 1 Rq 2 ω (9) 【方法二】 如(9)式先计算出球面电流的磁矩m ,得球外的磁标势和磁场 θ ππ ϕ cos 44 3 2 2 RR = ⋅ m = Rm (2cos )sin 4 )( 3 0 202 θθ θ π μ B ϕμ ee =−∇= R + R m (10) 因 处 R = 0 ϕ1有限,故球内标势方程 的解如(4)式,再由 处 = BB 12 RR 2 ϕ1 =∇ 0 R = R0 ,即 0 1 0 3 0 4 RR R R = ∂ −μ π (11) 0 2cos m ∂ = ϕ θ μ 8
解得mqoan=0，当n￥1ar2元Rg6元R由此得球内的标势和磁场0 Reos0, B = 4l(-V0)= 40g(12)91=e6元R06元R。【方法三】矢势法球面电流密度如(1)式.因球内外两区域传导电流J，均为零,故矢势的全部定解条件为(13)V?A=0,(V.A=0), (RRo)(14)R=0,A有限；R→0,A2→0R=Ro处二×A)=LV×A2qo(15)sinQeA,=A2,eRX(4元Rooo球面电流形成的磁矩m如(9)式，故球外矢势为A, = Ho mxRHom singee，(R>Ro)(16)4元R34元R2由轴对称性及R=Ro处A,=A，,可知球内矢势函数应当为(17)A =Ag(R,O)eo,AR =Ag =0将(16)和(17)式代入边值关系(15)的第二式,并由球坐标旋度公式,可解出HogRsinges, (R<Ro)(18)Ai =12元R。可以验证，A和A,满足条件(14),以及V.A=0.于是得B,=-4i = f0g0e:(19)6元R。o,3(m·R)Rm(20)B, =V×A2 =P3R54元3.6超导体的电磁性质伦敦唯象理论在μμo,6=6的超导体内，磁化电流与极化电流可以忽略，9
解得 0 3 0 1 2 6 R q R m a π ω π −=−= ；an = 0，当n ≠ 1 由此得球内的标势和磁场 z R q B e 0 0 101 6 )( π ωμ θ ϕμ =−∇= π ω cos 6 0 R R q ϕ − , 1 = (12) 【方法三】 矢势法 球面电流密度如(1)式.因球内外两区域 为零 传导电流 J f 均 ,故矢势的全部定解条件为 0 2 A =∇ , ∇ ⋅ A = )0( , ( > RRRR ) RR 0 = RR 0 = AA 21 , φ θ φ A RA ),( e , R = AA θ = 0 1 = (17) 将(16)和(17)式代入边值关系(15)的第二式,并由球坐标旋度公式,可解出 θ φ π μ ω A sin e 12 0 0 1 R R = , )( RR 0 q < (18) 可以验证 和 满足条件 , A1 A2 (14),以及∇ ⋅ A = 0 .于是得 z AB e 1 ×∇= 1 R q 0 0 6π ωμ= (19) ] ) 5 3 RR m − (20) (3[ 4 0 2 2 RR m AB ⋅ =×∇= π μ 3.6 超导体的电磁性质 伦敦唯象理论 在 μ ≈ μ 0 , 的超导体内,磁化电流与极化电流可以忽略. 0 ε ≈ ε 9
正常传导电流遵从欧姆定律J.=cE，c为材料的电导率.超导电流密度J。=-nseu，其中n，为超导电子密度，e为电子电荷量，为超导电子的平均速度.以经典力学和麦克斯韦电磁理论为基础的伦敦方程ai=αE，(3.28)V×J,=-αBat可以唯象地解释超导体的超导电性(零电阻效应)和抗磁性(迈斯纳效应)其中(3.29)α=n,e?/mm为电子质量.在恒定情形下，aJ，/at=0,由伦敦第一方程超导体内电场E=0,正常传导电流J。=0只有超导电流因而电阻为零；此时超导体内的磁场和超导电流遵从的麦克斯韦-伦敦方程组为(3.30)V.B=0,V×B=HoJs(3.31)V.J,=0,VxJ,=-αB在伦敦规范(3.32)V.A=0,en Al, =0下（第二式限定超导体表面S上A的法向分量A,=0),势A可唯一确定.由伦敦第二方程可以推出，仅在单连通的超导体内部，超导电流与矢势才有确定的局域关系(3.33)J,(x)=-αA(x)从方程组(3.30)和(3.31)，可得到超导体内部的磁场与超导电流遵从同一形式的方程：V?B =V?J(3.34)B.12第一个方程可以解释超导体的抗磁性磁场随着透入超导体内部深度的增加而衰减.其中1m(3.35)ALVHon,e?Juoa10
正常传导电流遵从欧姆定律 n = σEJ ,σ 为材料的电导率.超导电流密度 J −= ss en v , 其中ns 为超导电子密度, e为电子电荷量,v 为超导电子的平均速度.以经典力学和 麦克斯韦电磁理论为基础的伦敦方程 = αE ∂t s , ∂J ∇× s = −αBJ ( 可以唯象地解释超导体的超导电性 效应)和抗 为电子质量.在恒定情形下 3.28) .29) ( , / s 零电阻 磁性(迈斯纳效应).其中 /mens 2 α = (3 m ∂J ∂t = 0 ,由伦敦第一方程,超导体内电场 E = 0 ,正常 传导电流J n = 0 ,只有超导电流因而电阻为零；此时超导体内的磁场和超导电流遵 从的麦克斯 伦敦方程组为 韦- ⋅∇ B = 0， ( 3.30) ∇× = μ JB s0 ， (3.31) ∇⋅ Js = 0 ∇× s = −αBJ 在伦敦规范 ⋅ A = 0， n e 0 s ∇ A =⋅ ( 下(第二式限定超导体表面S 3.32) 上 A的法向分量 An = 0 ),矢势 A可唯一确定 超导电 .由伦敦第 二方程可以推出，仅在单连通的超导体内部, 流与矢势才有确定的局域关 系 ( ) x)( s xJ = −αA ( (3.30)和(3.31) 内 的 3.33) 从方程组 ，可得到超导体 部 磁场与超导电流遵从同一形式的方 程: BB 2 L 2 1 λ =∇ s 2 L s 2 1 JJ λ , =∇ ( 第一 方程可以解释超 体的抗磁 3.34) 个 导 性——磁场随着透入超导体内部深度的增加 而衰减.其中 2 0 s0 L 1 en m μ λ = ( α μ = 3.35) 10