中山大学：《电动力学》课程教学资源（完整电子讲义，共六章）

第一章电磁现象的普遍规律楼内容提要解未喜K克斯书方程社誉社新方3.泊检方程、育好霍苗方5.达期贝尔方程等库仑定律和静电场21有源、无源、养2：#821.1库仑（Coulomb）定律31.2电荷产生的静电场手外质：复杂！线性、购保：超点可保、好带：1.33高斯（Gauss）定理选格监像；并放的、电41.4电荷对电场作用的局域性地养车1.54高斯定理的证明二楼食型：干板、柱、单、51.6静电场的旋度G、额率：工规、射、做51.7液、可见光、你马射线？静电场高斯定理的直接证明7、参考系：静止、运动？61.8静电场无旋性的直接证明61.9小结62毕奥一萨伐尔定律与静磁场电流密度62.172.2电荷守恒定律2.3Savart)定律8毕奥一萨伐尔（Biot）2.48磁场的环量和旋度2.58磁场的散度92.6磁场散度的证明92.7磁场旋度的证明2.8小结11麦克斯韦（Maxwell)方程组113113.1静电场和静磁场的方程组3.212法拉第电磁感应定律123.3位移电流3.413真空中Maxwell方程组3.513麦克斯韦方程组的自由度3.613洛仑兹（Lorentz)力3.7小结144介质的电磁性质14144.1介质的极化154.2极化电场4.315介质的磁化164.4介质中的磁场164.5介质中的麦克斯韦方程组174.6小结1

第一章 电磁现象的普遍规律 本章由静止和变化的电磁场 实验定律出发，总结出描述 电磁场变化规律的麦克斯韦 方程组及洛仑兹力的公式。 这些方程是宏观电磁场论的 理论基础。在以后各章中将 应用它们来解决各种与电磁 场有关的问题。 1、物理问题（方程）：麦 克斯韦方程、拉普拉斯方 程、泊松方程、亥姆霍兹方 程、达朗贝尔方程等； 2、源项：有源、无源、静 止、动态？ 3、介质：复杂！线性、均 匀、各向同性？铁磁、导 体、超导、等体、灯管. 4、边界条件：开放的、电 边界、磁边界？ 5、位型：平板、柱、球、 一般？ 6、频率：工频、射频、微 波、可见光、伽马射线？ 7、参考系：静止、运动？ 内 容 提 要 1 库仑定律和静电场 2 1.1 库仑(Coulomb)定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 电荷产生的静电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 高斯(Gauss)定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 电荷对电场作用的局域性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 高斯定理的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 静电场的旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 静电场高斯定理的直接证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 静电场无旋性的直接证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.9 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 毕奥{萨伐尔定律与静磁场 6 2.1 电流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 电荷守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 毕奥|萨伐尔(Biot|Savart)定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 磁场的环量和旋度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 磁场的散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 磁场散度的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 磁场旋度的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 麦克斯韦(Maxwell)方程组 11 3.1 静电场和静磁场的方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 法拉第电磁感应定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 位移电流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 真空中Maxwell方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5 麦克斯韦方程组的自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.6 洛仑兹(Lorentz)力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.7 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 介质的电磁性质 14 4.1 介质的极化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2 极化电场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 介质的磁化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.4 介质中的磁场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5 介质中的麦克斯韦方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1

电磁场边值关系175175.1积分形式的麦克斯韦方程组175.2法向分量的跃变5.3切向分量的跃变18小结195.419电磁场的守恒定律66.1电磁场和带电粒子间的能量守恒196.2电磁场的能量密度与能流密度20216.3电磁场的动量密度与动量流密度6.4小结25电磁场的观念电磁场是物质存在的一种形态；P表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用：特点：分布于广域空间；描述方法：两个失量函数；完多？唯一？。电场强度：E(t,y,z,t)·磁感应强度：B(r,y,z,t)运动规律：麦克斯韦方程组、洛仑兹力、本构关系式：研究方法：求解E、B所满足之偏微分方程。第一节库仑定律和静电场库仑（Coulomb）定律$1.1位，食界带美新壳r真空中静止点电荷Q对另一个静止点电荷Q的作用力F1新问题Q常用符号约定：源点，场的大小和方向点、坐标QQrQ'QTF== E(α,)Q(α)4元0°3=4元0r2其中0为介电常数，又称电容率。对库仑定律的两种物理解释：。两电荷之间的作用力是超距作用：电荷一电荷：在静止情观下是无法分期的。近距作用：电荷一电场一电荷；电场是物理实在的2

5 电磁场边值关系 17 5.1 积分形式的麦克斯韦方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 法向分量的跃变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 切向分量的跃变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 电磁场的守恒定律 19 6.1 电磁场和带电粒子间的能量守恒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2 电磁场的能量密度与能流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 电磁场的观念 I 电磁场是物质存在的一种形态； I 表征：与其它带电物质以一定形式发生相互作用； I 特点：分布于广域空间； I 描述方法：两个矢量函数； 完备？唯一？ • 电场强度： E(x, y, z, t) • 磁感应强度： B(x, y, z, t) I 运动规律：麦克斯韦方程组、洛仑兹力、本构关系式； I 研究方法：求解 E 、 B 所满足之偏微分方程。 第一节 库仑定律和静电场 § 1.1 库仑(Coulomb)定律 1785，库仑定律是基本实 验定律，并没有解决物理本 质问题 常用符号约定：源点，场 点、坐标 I 真空中静止点电荷 Q0 对另一个静止点电荷 Q 的作用力 F 的大小和方向 F = QQ0 4πε0 · r r 3 = Q0Q 4πε0r 2 · r r = E(x 0 , x)Q(x) 其中 ε0 为介电常数，又称电容率。 Q0 0 Q ~x0 ~x ~r I 对库仑定律的两种物理解释： • 两电荷之间的作用力是超距作用：电荷|电荷； 在静止情况下是无法分辨的 • 近距作用：电荷|电场|电荷； 电场是物理实在的 2

电荷产生的静电场8 1.2电荷产生的电场：?电场的特征是对电荷有作用Q'点电范所受的E(r,r)=电场装用4元E0r2的克限比定售：美高炸发的极限值2.7×10-15【讨论】Fα，为车，哈密提量，川觉其系数定又了电荷的单位这里的形式是需际单位制分离电荷分布产生的静电场性量加性原理：实验原理，现力的叠加性导致静电场的叠加性先点电荐：再分离的电手到多秘手术和，再到体1 qiri门E(a,a)=请注意积分区城4TEOrri空间一点的电场与其邻适的T地荷的椎互关系：静电场微分形式对连续的电荷分布产生的静电场：p(a)rdE(α) =734元E0【讨论】该公式成立条件是电荷静止，此时场也不随时间改变。个参考系？81.3高斯（Gauss）定理电通量总是正比于干电量，高斯定理积分形式：积分区城V及S是住意的dE.dsodE0s其中V由S所包围。由散度的定义：$f.dsV.f=limAV△V0可得高斯定理微分形式：PV.E=-E0【讨论】局域性：电场的散度仅仅与当地的电荷相关南远处的场则是通过场本房传递过去的有源场：电荷为电场之源没有电荷，散度为掌普适性：库仑定律为静电场下的结论，但高斯定理却始终成立。3

§ 1.2 电荷产生的静电场 I 电荷产生的电场： 电场的特征是对电荷有作用 力，故可利用之描述电场： 定义单位点电荷所受的力为 电场强度 平方反比定律：是高斯定律 的基础，且蕴含着光子质量 为零。哈密顿量，汤川势. 其系数定义了电荷的单位， 这里的形式是国际单位制 叠加性原理：实验原理，线 性理论 先点电荷、再分离的电荷、 再连续分布：数学上从单粒 子到多粒子求和、再到体积 分 请注意积分区域 空间一点的电场与其邻近的 电场及电荷的相互关系：静 电场微分形式 E(x 0 , x) = Q0 4πε0r 2 · r r 【讨论】 F ∝ 1 r (2+δ) ， δ 的极限值 2.7 × 10−15 I 分离电荷分布产生的静电场 力的叠加性导致静电场的叠加性 E(x 0 , x) = 1 4πε0 X i q 0 i r 2 i · ri ri I 对连续的电荷分布产生的静电场： E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z V ρ(x0 ) r 3 rdV 0 ρ(~x0) 0 P(~x) ~x0 ~x ~r V 【讨论】 该公式成立条件是电荷静止，此时场也不随时间改变。 哪个参考系？ § 1.3 高斯(Gauss)定理 电通量总是正比于电量。 I 高斯定理积分形式： I 积分区域 V 及 S 是任意的 S E · dS = 1 ε0 Z Z Z V ρdV 其中 V 由 S 所包围。 由散度的定义： ∇ · f = lim ∆V →0 H f · dS ∆V I 可得高斯定理微分形式： ∇ · E = ρ ε0 【讨论】 I 局域性：电场的散度仅仅与当地的电荷相关； 而远处的场则是通过场本身 传递过去的 I 有源场：电荷为电场之源 没有电荷，散度为零 I 普适性：库仑定律为静电场下的结论，但高斯定理却始终成立。 3

电荷对电场作用的局域性$1.4plasma area anode sheathdouble sheath气体放电一维平板模型dvdE=P=-E，drdrEO会E0VA电压曲线的曲率表征该处是富电子还是富离子性。axis81.5高斯定理的证明【已知】p(a')1rdyE(a) =4元E023【求证】E.ds=pdvEO【证明】(p(a')E.ds=rdv'l.dsPn4eor3S1. p(a(dp.ds)dv4元0JX如图所示er·ds=sin0deo=r2故当a在S范围之外时（S），有.dS=0r3而a在S范围之内（ES)，有r3·dS = 4元-将0tsfdslrES4元带入即可得：bE.dS=/pdvE0.4

§ 1.4 电荷对电场作用的局域性 气体放电一维平板模型 dV dx = −E , dE dx = ρ ε0 d 2V dx2 = − ρ ε0 电压曲线的曲率表征该处是富电子还是富离 子性。 Vd V p V vc x vc x p x d x as double sheath plasma area anode sheath Potential axis § 1.5 高斯定理的证明 【已知】 E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 【求证】 I S E · dS = 1 ε0 Z Z Z V ρdV 【证明】 I S E · dS = 1 4πε0 I S [ Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 ] · dS = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )(I S r r 3 · dS)dV 0 如图所示 er · dS r 2 = sin θdθdφ = dΩ 故当x0在S范围之外时(x 0 ∈/ S)，有 I S r r 3 · dS = 0 而x0在S范围之内(x 0 ∈ S)，有 I S r r 3 · dS = 4π dΩ r dS E Q S 将 1 4π · I S r r 3 · dS = ½ 0 x0 ∈/ S 1 x0 ∈ S 带入即可得： I S E · dS = 1 ε0 Z Z Z V ρdV 4

静电场的旋度8 1.6度是失量场性质的小失量肠，模丽健端防球浇特膜成所皮rp(a)E.dl-rdv'l-dlr34元E0/p(e)(dl)dv4元E0Jp(a')(d rdr)dv34元0[ p(a)[d a(-1)] dv'= 04EOJTX其中推导过程中利用了dl=dr，以及r·dr=rdrL选取的任意性由斯托克斯(Stokes)定理ff·dl=JJ(V×f)·dS可得：LS福静电场是无旋场：√×E=0只是静电场才是无凝的81.7静电场高斯定理的直接证明【已知】1p(c)rdyiE(α) =r34元E0【求证】V.E=PEO【证明】-JdvV.E-p(a') [V .4元E0我们知道：当r≠0时有3±3-2V.-G()13=0):r+r334r3故此上面体积分只需对r=-a≤e的小球进行，这时可取p(a'）=p(a)，并抽出积分号外可得：p(a)p(a)Slav:5)avv.V-E=[V.4元E04元E0rSr<ep(a)Tds4元E0TSE又因为r=-/与面元ds反向，且：d2=4元dsr35

§ 1.6 静电场的旋度 旋度是矢量场性质的一个方 面，要确定一个矢量场，还 需要给出共旋度。旋度所反 映的是场的环流性质 I L E · dl = 1 4πε0 I L [ Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 ] · dl = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )(I L r r 3 · dl) dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )(I L r r 3 · dr) dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )[I L d(− 1 r )] dV 0 = 0 L Q r dl dr 其中推导过程中利用了 dl = dr ，以及 r · dr = rdr L 选取的任意性 由斯托克斯(Stokes)定理 H L f · dl = RR S (∇ × f) · dS 可得： I 静电场是无旋场： ∇ × E = 0 只是静电场才是无旋的 § 1.7 静电场高斯定理的直接证明 【已知】 E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 【求证】 ∇ · E = ρ ε0 【证明】 ∇ · E = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x 0 ) [∇ · r r 3 ]dV 0 我们知道：当r 6= 0时有 ∇ · r r 3 = ∇( 1 r 3 ) · r + 1 r 3 (∇ · r) = − 3 r 3 + 3 r 3 = 0 故此上面体积分只需对r = |x − x0 | ≤ ε的小球进行，这时可取ρ(x0 ) = ρ(x)，并抽出积分 号外可得： ∇ · E = ρ(x) 4πε0 Z Z Z r≤ε [∇ · r r 3 ]dV 0 = ρ(x) 4πε0 Z Z Z r≤ε (−∇0 · r r 3 )dV 0 = ρ(x) 4πε0 Z Z r≤ε (− r r 3 )dS0 又因为r = x − x0与面元dS0反向，且： I S r r 3 · dS = I dΩ = 4π 5

故此PV.E=EO静电场无旋性的直接证明$1.8【已知】p(a')rdy'E(a)r34元E0X【求证】VxE=0【证明】p(a')(V×3dyVxE-4元E01p(a)v)xr+(V×r)]dv4元E013rp(a)[-+0a4元E0=0中间也可利用= 0Vx-VXVs小结$1.9连续电荷分布产生的静电场为：p(a')1rdvE(α) =r34元E0电场强度满足叠加性原理：信电场是有源场：V.E=品；静电场是无旋的：√×E=0；【习题】Page45:1,2,3第二节毕奥一萨伐尔定律与静磁场桃位电无羽笑：跑得端镜笔电流密度82.1流分布？电流密度的定义实健春康装验个社6

故此 ∇ · E = ρ ε0 § 1.8 静电场无旋性的直接证明 【已知】 E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 【求证】 ∇ × E = 0 【证明】 ∇ × E = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )(∇ × r r 3 )dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )[∇( 1 r 3 ) × r + 1 r 3 (∇ × r)]dV 0 = 1 4πε0 Z Z Z ∞ ρ(x 0 )[− 3r r 5 × r + 1 r 3 × 0]dV 0 = 0 中间也可利用 ∇ × r r 3 = −∇ × (∇ 1 r ) = 0 § 1.9 小结 I 连续电荷分布产生的静电场为： E(x) = 1 4πε0 · Z Z Z ∞ ρ(x0 ) r 3 rdV 0 I 电场强度满足叠加性原理； I 电场是有源场：∇ · E = ρ ε0 ； I 静电场是无旋的：∇ × E = 0； 【习题】 Page 45：1,2,3 第二节 毕奥{萨伐尔定律与静磁场 磁、电不可分。稳恒磁场与 稳恒电流相关。如何描述电 § 2.1 电流密度 流分布？ I 电流密度的定义 举例：直流电流均匀分布； 交流则有趋肤效应，I太粗 糙 6

dIdQJ=erel:ds cosadtdScos电流的分布（空网、时间）J.ds电流密度的微观解释J=pu=nqy多种成分的电流密度J=>Pivi=niqivi12电荷守恒定律82.2系统总电荷保持不变：。电荷是物质的基本属性之一什么是基本属性？有本在除范声量件也费。电荷守恒定律是一条精确、基本的实验定律：无论在化学反应还是原子核反应过程中，电荷守恒定律普遍成立；电荷守恒定律的描述方法：T。电流的连续性方程积分形式产生皮消天电话）：教此洗p入流出的量应该等于变化室dvJds洗续修方程违用振广：电Ots。电流的连续性方程微分形式OpbJ.ds=V.JdV:dvOtdp+V.J=0ot【讨论】全空间总电荷守恒从供微分到全微分的区到pdV=0dt稳恒电流下的情况动平衡，随时间的偏微分为ap=0→V.J=0稳保电流是无课的、也印ot是间合的7

J = dQ dt dS cos θ · eI = dI dS cos θ · eI 电流的分布（空间、时间） I = Z S J · dS I 电流密度的微观解释 J = ρv = nqv I 多种成分的电流密度 J = X i ρivi = X i niqivi § 2.2 电荷守恒定律 I 系统总电荷保持不变； • 电荷是物质的基本属性之一； 什么是基本属性？有基本作 用才成为基本属性，适当时 才能体现。质量、电荷、自 I 电荷守恒定律是一条精确、基本的实验定律； 旋 I 无论在化学反应还是原子核反应过程中，电荷守恒定律普遍成立； I 电荷守恒定律的描述方法： • 电流的连续性方程积分形式 任一闭合曲面，可以流进流 出，但由于没有源项（不能 产生或消灭电荷），故此流 入流出的量应该等于变化率 连续性方程适用很广：电 流、粒子流、能流 I S J · dS = − Z Z Z V ∂ρ ∂t dV • 电流的连续性方程微分形式 I S J · dS = Z Z Z V ∇ · J dV = − Z Z Z V ∂ρ ∂t dV ∂ρ ∂t + ∇ · J = 0 【讨论】 I 全空间总电荷守恒 从偏微分到全微分的区别 d dt Z Z Z ∞ ρ dV = 0 I 稳恒电流下的情况 动平衡，随时间的偏微分为 零 稳 恒 电 流 是无 源的 、 也 即 是闭合的 ∂ρ ∂t = 0 ⇒ ∇ · J = 0 7

毕奥—萨伐尔(Biot—Savart)定律82.3电流之间的作用力一一电流激发磁场一一磁场的特征性质一磁感应强度实验定律dF=Idl × B恒定的体电流激发的磁感应强度大小和2成及比J(a)xrpio-dvB(α) =r34元其中μo为真空磁导率线电流激发的磁感应强度要求性致的情况，贴适场的#务场康汉#皮示驾1Jdv'= J (ds.dl) = (J dSn)dl = Idl5场网关系：微分形式/Idl ×rμoB(a) = r34元／82.4磁场的环量和旋度安培（Ampere）环路定律。载流导线产生的磁场，沿任意闭合曲线的环量与通过该闭合曲线所围曲面的电流成正比忘样的抽面？B.dl = μoI。不通过闭合曲线所围曲面的电流对环量没有贡献。写英您选赶助的带除其绝地方流过的电流连续电流分布的环量定律生彩响B-dl =J.ds磁场的旋度从吾路的住意遗取，以及Stokes定理，可得出×B=μoJ82.5磁场的散度磁力线是闭合曲线，磁感应强度是无源场磁场无源性的积分形式：B.dS=0S上式对任意闭合曲面都成立。磁场无源性的微分形式：V.B=0【讨论】磁场的无源性是普适的2原因就是磁单极子■寻找磁单极子：素存颜变方智购对舞瑞祛8

§ 2.3 毕奥|萨伐尔(Biot|Savart)定律 I 电流之间的作用力|电流激发磁场|磁场的特征性质|磁感应强度 实验定律 dF = Idl × B I 恒定的体电流激发的磁感应强度 大小和r 2成反比 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) × r r 3 dV 0 其中µ0为真空磁导率 I 线电流激发的磁感应强度 这是磁场分布的积分形式； 要求细致的情况，贴近场的 特点，需要了解电流元与邻 近磁场关系、邻近磁场与磁 场间关系：微分形式 JdV 0 = J (dS · dl) = (J dSn) dl = I dl B(x) = µ0 4π Z Idl × r r 3 § 2.4 磁场的环量和旋度 I 安培(Ampere)环路定律 • 载流导线产生的磁场，沿任意闭合曲线的环量与通过该闭合曲线所围曲面的电流 成正比 I 怎样的曲面？ L B · dl = µ0 I • 不通过闭合曲线所围曲面的电流对环量没有贡献。 安培定律可以用来导出电流 与其邻近磁场的环量关系， 排除其他地方流过的电流产 I 连续电流分布的环量定律 生影响。 I L B · dl = µ0 Z Z S J · dS I 磁场的旋度 从 回 路 的 任 意 选 取 ， 以 及Stokes定理，可得出 ∇ × B = µ0J § 2.5 磁场的散度 I 磁力线是闭合曲线，磁感应强度是无源场 I 磁场无源性的积分形式： I S B · dS = 0 上式对任意闭合曲面都成立。 I 磁场无源性的微分形式： ∇ · B = 0 【讨论】 I 磁场的无源性是普适的 原因就是磁单极子 I 寻找磁单极子： 麦克斯韦方程的对偶性、无 源时成立，有源时对偶性破 坏 8

磁场散度的证明82.6【已知】J(') ×rdv'B(α) =r34元【求证】V.B=0【证明】B(α) = 10[/ J(a) ×dvAT--, (a) ×()a-尝JJ(aav=J [(a)av[[[ (a av')= V×[04元1=VXA其中J(a)av'理oA=4元／r所以：V.B=V.(VxA)=082.7磁场旋度的证明【已知】学羊的生rHo丁积分号外A=dvB=V×A4元【求证】×B=μoJ【证明】由于V×B=V×(V×A)=V(V.A)-?A先求解√·A(advoV.V.A=4元/O/ J(a').v- dvi4元，由于r=[-r=V(-r)2 +(-y)2 +(z-2)29

§ 2.6 磁场散度的证明 【已知】 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) × r r 3 dV 0 【求证】 ∇ · B = 0 【证明】 B(x) = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) × r r 3 dV 0 = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) × ∇( 1 r )dV 0 = µ0 4π Z Z Z ∇( 1 r ) × J(x 0 ) dV 0 = µ0 4π Z Z Z ∇ × [J(x 0 ) 1 r ]dV 0 = ∇ × [ µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 ] = ∇ × A 其中 A = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 所以： ∇ · B = ∇ · (∇ × A) = 0 § 2.7 磁场旋度的证明 【已知】 用A的好处是：比起biot定 律，积分号中的叉乘移动到 B 了积分号外。 = ∇ × A , A = µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 【求证】 ∇ × B = µ0J 【证明】 由于 ∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A I 先求解∇ · A ∇ · A = µ0 4π Z Z Z ∇ · [ J(x0 ) r ]dV 0 = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) · ∇ 1 r dV 0 由于 r = |x − x 0 | = q (x − x0) 2 + (y − y 0) 2 + (z − z 0) 2 9

因此对r的函数而言，对的微分与对的微分仅差一个负号，故而HO[ J(a') .vil dviV.A=-4元/JHo/{V"-[J(α')-] -=v".J())dv4元／v.J(a)-o J(aas+dv-：4元，4元JTs。由于积分区域V包含了整个电流区域，故以V为边界的闭合曲面S上，J（a）点点为零，故此上式中的第一项为零：。又因电流稳恒，故由电荷连续性方程可知：ap(a')V".J(a')=-2元0t故此上式中的第二项为零综上所述V.A=0■再来看√?A[ J(a') av']?A=4元reaavμo4元/／>Ho[[/ J(a) >?| dv"4元／-HO/J(a)v.dv4元／我们知道：当r0时有其实2是-4折5面数--()++(V-)=-(-(er )+=0故上述体积分只需对r=-<《1的小球进行，此时J(a)~J(a)由此可得：2A= -O J(n)dv14元r3TSEμo J(α)V'.ade4元TSE4μoJ(a) ddsr34元T=E10

因此对r的函数而言，对x的微分与对x0的微分仅差一个负号，故而 ∇ · A = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) · ∇0 1 r dV 0 = − µ0 4π Z Z Z {∇0 · [J(x 0 ) 1 r ] − 1 r ∇0 · J(x 0 )} dV 0 = − µ0 4π I S J(x 0 ) 1 r dS 0 + µ0 4π Z Z Z V ∇0 · J(x0 ) r dV 0 I • 由于积分区域V 包含了整个电流区域，故以V 为边界的闭合曲面S上，J(x0 )点点 为零，故此上式中的第一项为零； • 又因电流稳恒，故由电荷连续性方程可知： ∇0 · J(x 0 ) = − ∂ρ(x0 ) ∂t = 0 故此上式中的第二项为零； 综上所述 ∇ · A = 0 I 再来看∇2A ∇2A = ∇2 [ µ0 4π Z Z Z J(x0 ) r dV 0 ] = µ0 4π Z Z Z ∇2 J(x0 ) r dV 0 = µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) ∇2 1 r dV 0 = − µ0 4π Z Z Z J(x 0 ) ∇ · r r 3 dV 0 我们知道：当r 6= 0时有 其实∇2 1 r 是 −4πδ 函数 ∇ · r r 3 = ∇( 1 r 3 ) · r + 1 r 3 (∇ · r) = − 3 r 4 (er · r) + 3 r 3 = 0 故上述体积分只需对r = |x − x0 | ≤ ε ¿ 1的小球进行，此时 J(x 0 ) ≈ J(x) 由此可得： ∇2A = − µ0 4π J(x) Z Z Z r≤ε ∇ · r r 3 dV 0 = µ0 4π J(x) Z Z Z r≤ε ∇0 · r r 3 dV 0 = µ0 4π J(x) I r=ε r r 3 · dS0 10