S2.3拉普拉斯方程，分离变量法Laplace'seguationmethod of separate variation·知识要点本章主要研讨解析求解Poisson方程的方法。一拉普拉斯描述的静电场是带电导体所决静电场定的。自由电荷只能分布在导体的表面上；一能用分离变量法在没有电荷分布的区域求解的拉氏方程的V里,Poisson's equation特点就转化为Laplacesequation。一举例
• 知识要点 –拉普拉斯描述的 静电场 –能用分离变量法 求解的拉氏方程的 特点 –举例 • 本章主要研讨解析求解 Poisson 方程的方法。 • 静电场是带电导体所决 定的。自由电荷只能分 布在导体的表面上 ； • 在没有电荷分布的区域 V里, Poisson΄s equation 就转化为 Laplace ΄ s equation。 §2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation, method of separate variation
1.无自由电荷区域的静电场许多实际问题中，静电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上，导体以外空间没有自由电荷。选择导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度等于零，泊松方程化为拉普拉斯方程：β= 0产生电场的电荷分布在区域V的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。do(1) ls2 (2)dndn>因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解
1. 无自由电荷区域的静电场 ➢ 许多实际问题中，静电场是带电导体所决定的。自由电 荷只能分布在导体的表面上，导体以外空间没有自由 电荷。选择导体表面作为区域V的边界，则在V内部自 由电荷密度等于零，泊松方程化为拉普拉斯方程： 0 2 = ➢ 产生电场的电荷分布在区域V的边界上，它们的作用通 过边界条件反映出来。 ➢ 因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条 件的解。 Q n S S n S = − (1) , (2) ，(3)
Laplace'sequation可以用分离变量法求通解，其求解条件是：①方程是齐次的；②边界规则。2.分离变量法求Laplace'sequation的通解1）在直角坐标系中：apQ@7200axQz设 Φ(x, y,z) = X(x)Y(y)Z()通解为（参加《数学物理方法》p(x, y, z) = (A, cos k,x + A, sin k,x系数A、B、·(B, cosk,y+ B, sin k,y)C由边值待定.(C cos k,z +C2 sin k,z)
Laplace's equation可以用分离变量法求通解，其求解条件 是：① 方程是齐次的；②边界规则。 2. 分离变量法求Laplace's equation的通解 ① 在直角坐标系中： 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = x y z 设 (x, y,z) = X (x)Y( y)Z(z) 通解为（参加《数学物理方法》 ( cos sin ) ( cos sin ) ( , , ) ( cos sin ) 1 2 1 2 1 2 C k z C k z B k y B k y x y z A k x A k x z z y y x x + + = + 系数A、B、 C由边值待定
2.分离变量法求Laplace'sequation的通解2)在柱坐标系中：0a02D00?Ozr OrOrr设(r,0,z) = R(r)O(0)Z(z)通解为（参加《数学物理方法》(r,,z) =[AJm(kr)+ A,Nm(kr)]Jm为m阶第一类贝塞尔·[B, cos(nの) + B, sin( nの)]函数，Nm为m阶第二类[C, cosh( kz) + C, sinh( kz)]贝塞尔函数
2. 分离变量法求Laplace's equation的通解 ② 在柱坐标系中： 设 通解为（参加《数学物理方法》 0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 = + + = r r z r r r (r,,z) = R(r)()Z(z) cosh( ) sinh( ) cos( ) sin( ) ( , , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 C k z C k z B n B n r z A J k r A N k r m m + + = + Jm为m阶第 一类贝塞尔 函数，Nm为 m阶第二类 贝塞尔函数
其中第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数分别为Km+2r-J.(kr)=Z(T为伽马函数）= n!I(m+n+1)cos(m元)Jm(kr)- J-m(kr)N.(kr) =sin( m元)如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是0<9<2元，故通解为(r,0)= A。 + B, ln r +Z(A,r" + B,r-")cos(n0)n=l系数A、B、C、Z(C,r" + D,r-")sin(n0)D由边值待定n=1
其中第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数分别为 sin( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ) 2 ( 1) ( ( ) 0 2 m m J k r J k r N k r n m n k r J k r m m m n n m n m − = + − = + + − = 为伽马函数 如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是0≤θ≤2π， 故通解为 = − = − + + = + + + 1 1 0 ( )sin( ) ( , ) ln ( ) cos( ) n n n n n n n n n o n C r D r n r A B r A r B r n 系数A、B、C、 D由边值待定
2.分离变量法求Laplace'sequation的通解3在球坐标系中：a11adC7(sin00r? sin ?0 Or900sin 0dr设(r,0,d)= R(r)Y(0,)通解为（参加《数学物理方法》Bp(r,0,g)= (Anmr" +=)P"(cos 0)cos(md)n,mZ(C,2m)P" (cos )sin(mΦ)1wn+)n,m其中Pm(cos）为缔合勒让德（Legendre)函数
2. 分离变量法求Laplace's equation的通解 ③ 在球坐标系中： 设 通解为（参加《数学物理方法》 0 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = r r r r r r (r,,) = R(r)Y(,) + + + + = + n m m n n n n m n m n m m n n n n m n m P m r D C r P m r B r A r , 1 , 1 ( ) (cos )sin( ) ( , , ) ( ) (cos ) cos( ) 其中Pn m (cos ) 为缔合勒让德（Legendre)函数
>如果空间具有轴对称特性，m=0（取此轴为极轴），则B(r,0)=E(A,rn)P, (cos 0)n+1n=0这里P(coS）为勒让德函数，A、B为待定系数。>如果空间具有球对称特性，m=0，n=0。则BA,B为待定系数β(r)= A+ =V3.利用边界条件定解1区域V由i个均匀区域构成，则有i个相应的Laplace'sequation
➢ 如果空间具有轴对称特性，m=0 (取此轴为极轴），则 = + = + 0 1 ( , ) ( ) (cos ) n n n n n n P r B r A r A B为待定系数 r B (r) = A+ , 这里 Pn (cos) 为勒让德函数，A、B为待定系数。 ➢ 如果空间具有球对称特性，m=0 , n=0。则 3. 利用边界条件定解 ① 区域V由i 个均匀区域构成，则有i个相应的Laplace's equation
3.利用边界条件定解2）在区域和的界面上，活满足边值关系。apa0Y?OnOn在区域V的边界S上，满足边界条件aeoranLS导体的总电荷adds = Q80ISan
ds Q S n = − S S n or 3. 利用边界条件定解 ② 在区域i和j 的界面上，满足边值关系. = = n n j j i i i j ③ 在区域V的边界S上，满足边界条件. ④ 导体的总电荷
4.例题【例题1】一个内径和外径分别为R和R，的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R,R,)(1)Pi=A+设rD(R<r<R)(2)一=C+Dr
4. 例题 【例题1】一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电 荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1<R2 ) ，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导 体球的感应电荷。 Q R1 R2 R3 解: 根据题意，本题具有球对称性， 电势不依赖于极角θ和方位角Ф，只 与半径r有关。故 设 (r,,) →(r) ( ) ( ) = + = + (2) (1) 2 1 2 1 3 R r R r D C r R r B A
VP1 = 0.(3)r>R设电势满足V?2 = 0.(4)R<r<R（i）导体接地边界条件：(5)=0P2（i）导体球壳为等势体(6)P2 r=R, = 01r→R,(iii)球壳带电量为Q，根据GausstheoremQaoQo.2 d2 +(7)do:OrOr60r=R3r=R
设电势满足 = ( ) = ( ) 0. 4 0. 3 2 1 2 2 1 3 2 R r R r R 边界条件：（i）导体接地 0 (5) 2 1 1 = = r=R r→ （ii）导体球壳为等势体 (6) 2 3 2 r=R 1 r→R = （iii）球壳带电量为Q，根据Gausstheorem (7) 0 1 2 2 2 3 2 Q r d r r d r r R r R = + − = =