《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation

S 3.1失势及其微分方程Vector potential and differentialequation

§3.1矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation

1、矢势稳恒电流磁场的基本方程是V.B= 0VxH=j由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势Φ来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它

1、矢势 稳恒电流磁场的基本方程是 由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋 的，即引入标势 来描述。而磁场是有旋的，一般不 能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场 是无源的，可以引入一个矢量来描述它。      =  = H j B    0 

即若V.B=0则B=V×AA称为磁场的矢势。根据斯托克斯定理，可得到[,B.ds = J],(V×A) ds = f,A. di由此可看到矢势A的物理意义是：矢势A沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。必须注意：①只有A的环量才有物理意义，而在每点

即若 则 称为磁场的矢势。 根据斯托克斯定理，可得到 由此可看到矢势 的物理意义是： 矢势 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为 界的任一曲面的磁通量。 必须注意：①只有 的环量才有物理意义，而在每点 B A B    =   = 0 A      =   =  S S L B ds A ds A dl       ( ) A  A  A 

上的A(x)值没有直接的物理意义。②矢势A可确定磁场B，但由B并不能唯一地确定A这是因为对任意函数业。V×(A+Vy)=V×A即A+V 和 A 对应于同一个 B，A的这种任意性是由于A的环量才有物理意义的决定的。2、矢势微分方程由于√.B=O，引入B=V×A，在均匀线性介质内有B=μui，将这些代入到xH=中，即

上的 值没有直接的物理意义。 ②矢势 可确定磁场 ，但由 并不能唯一地确定 ， 这是因为对任意函数 。 即 和 对应于同一个 ， 的这种任意性是 由于 的环量才有物理意义的决定的。 2、矢势微分方程 由于 ，引入 ，在均匀线性介质内 有 ，将这些代入到 中，即 A(x)   A  A  B  B   A A   ( + ) =  A  B  A  A +   A  B A   B = 0 =   H j   B H  =   = 

×H=V×B-vI×B+Iv×BLu1×B=1V×(V×A)uμ-[(V. A) -?]若A满足库仑规范条件V·A=O，得矢势A的微分方程?A=-j(V.A= 0)

若 满足库仑规范条件 ，得矢势 的微分方 程   j A A B A B B B H          ==    −  =   =       =   =   +   2 ( ) 1 ( ) 1 11 1       A  A = 0  A   =  = − ( 0 ) 2 AA j   

或者直角分量：2A,=j(i = 1,2,3)这是大家熟知的Pisson's equation由此可见，矢势和标势β在静场时满足同一形式的方程，对此静电势的解。Xdtp(x)4元%可得到矢量的特解：A(x)=兰dt4元

或者直角分量： 这是大家熟知的Pisson's equation. 由此可见，矢势 和标势 在静场时满足同一形 式的方程，对此静电势的解。 可得到矢量的特解： (i 1,2,3) 2  Ai = j i = A      = V d r x x      ( ) 4 1 ( ) 0      = V d r j x A x    ( ) 4 ( )    

由此即得B-A=[)x()dtj(x)xrdt'4元作变换jdt'→Idi'，即得Idl'xrB=14元 JL这就是毕奥一一萨伐尔定律。当全空间中电流j给定时，即可计算磁场B，对

由此即得 作变换 ，即得 这就是毕奥——萨伐尔定律。 当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对      = =  =     V V d r j x r j x d r B A       3 ( ) 4 ) ( ) 1 ( 4        jd  → Idl       = L r Idl r B 3 4      B  j 

于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。3、矢势边值关系当回路短边长度趋于零时f. A.di = (A2, - A,)AI由于回路面积趋于零，有f, A.di = I[B.ds →0因此使得S(A2t - A )△/ = 0

于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的 边值问题。 3、矢势边值关系 当回路短边长度趋于零时 由于回路面积趋于零，有 因此使得   = −  L t t A dl (A A ) l 2 1     =   → L S A dl B ds 0     ( ) 0 A2t − A1t l =

(1)A2t = Al另外，若取√.A=0，仿照第一章关于法向分量边值关系的推导，可得(V:A=0)(2)A2n = Ain(5）、（6）两式合算，得到A2.= A|(3)即在两介质分界面上，矢势A是连续的。4、静磁场的能量磁场的总能量为B.HdtW=2

另外，若取 ，仿照第一章关于法向分量边值 关系的推导，可得 （5）、（6）两式合算，得到 即在两介质分界面上，矢势 是连续的。 4、静磁场的能量 磁场的总能量为 (1) A2t = A1t ( 0) (2) A2n = A1n  A =   A = 0  (3) 2 1 S S A A   = A   =  V W B Hd   2 1

在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量，即B.H=(V×A).H= V·(A×H)+A·(V×H)=V.(A×H)+ A.j即有:W=[>-(x)+-ht=(x)+A dt2.0ajdt

在静磁场中，可以用矢势 和电流 表示总能量，即 即有： j  A  A H A j A H A H B H A H             =    +  =    +     =    ( ) ( ) ( ) ( )      A jd A H ds A jd W A H A j d S        =  =   +  =   +             2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1