计算土力学 主讲教师:张爱军
计算土力学 主讲教师：张爱军
■其他差分公式介绍 ◆以上讲的差分公式为中心差分公式, 其特点是需要采用前一步和后一步值 来进行计算。 ◆另外还由向前和向后差分方法,这些 方法的实质是采用本身值和前一步或 后一步值来计算一次微分 ◆以下列出这些差分的公式
◼ 其他差分公式介绍 ◆以上讲的差分公式为中心差分公式， 其特点是需要采用前一步和后一步值 来进行计算。 ◆另外还由向前和向后差分方法，这些 方法的实质是采用本身值和前一步或 后一步值来计算一次微分 ◆以下列出这些差分的公式
方法 差分公式 适用 范围 of fi li-fi ch 中心差分 精度较高 af fi+lj i +fi-1 h of fi+l. -fi h 向前差分 精度差一些 了f_f42,-2f1,+f ax f 向后差分012D, 精度差 ax h2
方法 差分公式 适用 范围 中心差分 精度较高 向前差分 精度差一些 向后差分 精度差 1, 1, 2 1, , 1, 2 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h + − + − − = − + = 1, , 2 2, 1, , 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h + + + − = − + = , 1, 2 , 1, 2, 2 2 2 i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h − − − − = − + =
方法 差分公式 适用 围 i+0.5 0.5 半步长中心 h 精度较高 差分 3f43-2+f0s)|时间域上差分 x
方法 差分公式 适用 范围 半步长中心 差分 精度较高 时间域上差分 用之 0.5, 0.5, 2 0.5, , 0.5, 2 2 4( 2 ) i j i j i j i j i j f f f x h f f f f x h + − + − − = − + =
差分公式的截断误差 ◆差分公式实际上是一种近似解法,其 误差分析是非常重要的 ◆截断误差值分析是分析在采用差分公 式代替微分公式时,其误差有多大 截断误差分析时进行差分方程收敛性 和稳定性分析的基础
◼ 差分公式的截断误差 ◆差分公式实际上是一种近似解法，其 误差分析是非常重要的 ◆截断误差值分析是分析在采用差分公 式代替微分公式时，其误差有多大。 截断误差分析时进行差分方程收敛性 和稳定性分析的基础
◆向前差分公式截断误差 由 Taylor级数展开式得到: af h2a2f, haf 3!a 将以上公式移项得到: h 2! ax 3 ax +O( Oxx=xi 截断误差
◆向前差分公式截断误差 由Taylor级数展开式得到： 将以上公式移项得到： 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x + = = = = + + + + 2 2 3 1, , 2 3 2! 3! ( ) i i i i i j i j x x x x x x x x f f f f h f h x x x h f x h O + = = = = − = + + + = + 截断误差
◆向后差分公式截断误差 由 Taylor级数展开式得到: h f ha'f ax 2! ax 3! ax x-xi -xi 将以上公式移项得到: fii-f-i ar haf h2a h ax 2! ax 3!a +O() x=x
◆向后差分公式截断误差 由Taylor级数展开式得到： 将以上公式移项得到： 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x − = = = = − + − + 2 2 3 , 1, 2 3 2! 3! ( ) i i i i i j i j x x x x x x x x f f f f h f h x x x f O x h h − = = = = − = − + − = +
因此:从上式可以看出,向前与向后差分是 对于某个方向上的截断误差是其步长h的 次函数。我们说向前和向后差分的精度是 阶近似的。 ◆中心差分公式截断误差 h23a3 f,1+h h=2!a 3 ax h a h' a M-i=f-h ax 2!a x=xi 3!Ox3= f=1,a h a f 2h 3! ax 5!a x-xi
因此：从上式可以看出，向前与向后差分是 对于某个方向上的截断误差是其步长h的一 次函数。我们说向前和向后差分的精度是一 阶近似的。 ◆ 中心差分公式截断误差 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x − = = = = − + − + 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x + = = = = + + + + 3 4 5 1, 1, 3 2 5 2 3! 5! i i i i j i j x x x x x x f f f f h f h x x h x + − = = = − = + +
fili -fili af +O( ch 从上式可以看出,中心差分公式较向前和向后 差分公式的精度提高一个等级。 可以推导出二阶微分的精度如下: h a3 fii=fi-h ax 2 ax 3 ax X-X x x li =fi +h ax 2!a 3! ax f1-2/,+/02fh2 4 ax 6!a X=x
从上式可以看出，中心差分公式较向前和向后 差分公式的精度提高一个等级。 可以推导出二阶微分的精度如下: 1, 1, 2 ( ) 2 i i j i j x x f f f O h h x + − = − = + 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x − = = = = − + − + 2 2 3 3 1, , 2 3 2! 3! i i i i j i j x x x x x x f h f h f f f h x x x + = = = = + + + + 2 4 4 6 1, , 1, 2 2 4 6 2 2 4! 6! i i i i j i j i j x x x x x x f f f f f h f h x x h x + − = = = − + = + +
f1-2f+f=u_02f +O() 同理 2J+f_02f h2 +O() ax f1-2J-1+f=2_02f +O() h OX "从上式可以看出,对于二阶偏导,向前、 向后和中心差分公式的精度是一致的。 从以上公式看出,对于以上差分公式, 当h无限减少时,截断误差可以无限减少
◼ 从上式可以看出，对于二阶偏导，向前、 向后和中心差分公式的精度是一致的。 ◼ 从以上公式看出，对于以上差分公式， 当h无限减少时，截断误差可以无限减少， 2 1, , 1, 2 2 2 2, 1, , 2 2 2 , 1, 2, 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) i i i i j i j i j x x i j i j i j x x i j i j i j x x f f f f O h x f f f f O h x f f f f O h x h h h + − = + + = − − = − + = + − + = + − + = + 同理：
