西北农林科技大学：《计算土力学》第四章（4-4） 常应变三角形单元(补充)

计算土力学 主讲教师:张爱军

计算土力学 主讲教师：张爱军

§44常应变三角形单元(补充) 单元刚度矩阵形成 kl2[k2][k2]结点 [=[k][kx][k2]结点2 主元:结点本 k1][k2][k3]结点3 身位移引起的 本结点的结点 单元本身是平衡的 [k6+{k162+1k1)=Rk位移引起的结 点力其中为相应 的刚度 铺元,结点2[k11+{k2]22+[k3]2,=R3 点1的结点

§4.4 常应变三角形单元（补充） ◼ 单元刚度矩阵形成 单元本身是平衡的                     11 12 13 21 22 23 31 32 33 2 2 1 e k k k k k k k k k k      =       结点 结点2 结点3                   11 1 21 2 31 3 1 21 1 22 2 32 3 2 31 1 23 2 33 3 3 e e e e e e e e e e e e k k k R k k k R k k k R           + + =   + + =   + + =  [k]δ:位移引起的结 点力,其中[k]为相应 的刚度。 主元：结点本 身位移引起的 本结点的结点 力 辅元：结点 2 的位移引起结 点1的结点力

斜率为弹性模量 斜率为刚度 一般弹性体为例 弹性地基梁为例 有了刚度值,就可以由位移求出力(非应力) 圆有了弹性模量值,就可以由应变求出应力

有了刚度值，就可以由位移求出力（非应力） 有了弹性模量值，就可以由应变求出应力 σ ε p δ 斜率为弹性模量 斜率为刚度 一般弹性体为例 弹性地基粱为例

整体各个单元刚度矩阵分析 [k][k2][k单元结点号:1,2,3 kl=|[k1k2][k3 3整体结点号:1 k2]:[k2][k2 单元结点号:1,2,3 5整体结点号:2,4, ④ L 单元结点号:1,2,3 ③ 3整体结点 kkk 单元结点号 33,5整体结点号:3 5,6 [k。3][k。3][k6

◼ 整体各个单元刚度矩阵分析 1 2 4 3 5 6 ① ② ③ ④                                                                   11 12 13 21 22 23 31 32 33 22 24 25 42 44 45 52 54 55 22 25 23 52 55 53 32 35 33 33 35 e e e e k k k k k k k k k kkk kkk kkk k k k k k k k k k k k k k k k k     =           =           =       = ① ② ③ ④ 单元结点号：1,2,3 整体结点号：1,2,3 单元结点号：1,2,3 整体结点号：2,4,5 单元结点号：1,2,3 整体结点号：2,5,3               36 53 55 56 63 65 66 k k k k k k           单元结点号：1,2,3 整体结点号：3,5,6

总体刚度矩阵的叠加 ① ⑧③02②20 ①+③+④ ④ [K] 对 0 称 ②③+④ ④ ④ 表示:整体结构表示:整体结构表示:整体结构 中,整体结点编中,整体结点编中,整体结点编 号为1的结点位移号为2的结点位移号为5的结点位移 引起的本身的结引起结点的结点引起结点3的结点 点力,相应的刚力,相应的刚度力,相应的刚度 度

◼ 总体刚度矩阵的叠加   1 2 3 4 5 6 1 000 0 0 0 2 3 4 5 6 K               =        ① ① ① ①+②+③ ①+③ ② ②+③ ①+③+④ ③+④ ④ ② ② ②+③+④ ④ ④ 对 称 1 2 4 3 5 6 ① ② ③ ④ 表示：整体结构 中，整体结点编 号为1的结点位移 引起的本身的结 点力，相应的刚 度 表示：整体结构 中，整体结点编 号为2的结点位移 引起结点1的结点 力，相应的刚度 表示：整体结构 中，整体结点编 号为5的结点位移 引起结点3的结点 力，相应的刚度

■整体刚度矩阵的性质 ◆整刚表示整体位移与力的关系 ◆总体刚度矩阵的行数和列数=总结点 数×单元结点自由度数的方阵,其排 列的顺序按照结点标号依次从小到大 排列,每个结点的按照自由度的顺序 排列。上例中总刚度矩阵排列见后, 这样排列是为了与单元结点位移向量 对应。 结点的多少决定着整刚的大小

◼ 整体刚度矩阵的性质 ◆整刚表示整体位移与力的关系 ◆总体刚度矩阵的行数和列数＝总结点 数×单元结点自由度数的方阵，其排 列的顺序按照结点标号依次从小到大 排列，每个结点的按照自由度的顺序 排列。上例中总刚度矩阵排列见后， 这样排列是为了与单元结点位移向量 对应。 ◆结点的多少决定着整刚的大小

约束处理 ◆就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度 上的行、列划去,将荷载向量中相应项划去 即可。 ◆其实质是:强制使得u=0,或v=0;或u=0, ◆对于给定位移约束条件,即:u=c1或v=c2 是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大 值A,等效结点向量相应的值设为AXc1或 A×c2,利用“大数吃小数”的原理,得到u c1或v=c2。在上例中,若整体结点号为2 的水平位移u2=c2,则有: 相对于A 很小 AcA+ =1,i≠2 A

◼ 约束处理 ◆ 就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度 上的行、列划去，将荷载向量中相应项划去 即可。 ◆ 其实质是：强制使得u＝0，或v＝0；或u＝0， v=0 ◆ 对于给定位移约束条件，即：u＝c1或v＝c2 是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大 值A，等效结点向量相应的值设为A×c1或 A×c2，利用“大数吃小数”的原理，得到u ＝c1或v＝c2。在上例中，若整体结点号为2 的水平位移u2＝c2，则有： 1 2 2 1, 2 2 2 2 n i i i i Ac k Ac u c A A  − =  + =  =  相 对 于 A 很小

-⑧-的 RRcRRR 44 称 RRR Ro

2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6 u R v R u v R u R v R u v A c u v u v A                                                                            =                              对 称 3 4 4 5 5 6 6 R R R R R R                                        

§4.5等参元 以上三角形单元分析中可以看出,从位移模式 到形函数的构造上面,需要解三元一次方程, 若位移模式中取得的项数进一步增加到4~20 项,其形函数的构造非常麻烦,而且不能够统 编程,因此需要找更方便的办法 在三角形单元中,对于等效结点荷载向量的求 解等就很复杂了,对于其他复杂单元其求解将 更加困难

§4.5 等参元 ◼ 以上三角形单元分析中可以看出，从位移模式 到形函数的构造上面，需要解三元一次方程， 若位移模式中取得的项数进一步增加到4～20 项，其形函数的构造非常麻烦，而且不能够统 一编程，因此需要找更方便的办法 ◼ 在三角形单元中，对于等效结点荷载向量的求 解等就很复杂了，对于其他复杂单元其求解将 更加困难

◆这就引出来另外一种思路。即:先将 实际单元通过坐标转换函数转化成 个母元(即:形状规则、简单的单 元),所有位移模式、形函数、单元 分析,等效结点荷载向量建立等均在 该母元上进行,使得求解简单化,并 便于变成。然后将求出的量再转化成 实际单元的量,求出最后的结果。这 种思路概念清楚、便于理解,并且便 于标准化。这就是等参元的思路

◆这就引出来另外一种思路。即：先将 实际单元通过坐标转换函数转化成一 个母元（即：形状规则、简单的单 元），所有位移模式、形函数、单元 分析，等效结点荷载向量建立等均在 该母元上进行，使得求解简单化，并 便于变成。然后将求出的量再转化成 实际单元的量，求出最后的结果。这 种思路概念清楚、便于理解，并且便 于标准化。这就是等参元的思路