武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第九章 矩阵特征值问题的数值方法

第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacob方法 94对分法 9.5乘幂法 9.6反幂法 9.7QR方法

第9章 矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法

91特征值与特征向量 设A是n阶矩阵,x是非零列向量如果有 数λ存在,满足Ax=Ax(1) 那么,称ⅹ是矩阵A关于特征值λ的特征向 量

9.1 特征值与特征向量 设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有 数λ存在，满足 ， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量

如果把(1)式右端写为x,那么(1)式又可写 为 (I-A)x=0(2) 即|aI-A=0 f()=nI-A=n+an-n++a,n+o 它是关于参数入的n次多项式,称为矩阵A的特 征多项式,其中a0=(-1)A

如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写 为: x ( ) 0 I A x − = 即| | 0 I A− = 1 1 1 0 ( ) | | ... n n n f I A a a a      − = − = + + + + − 记 它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特 征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜. (2)

显然,当λ是A的一个特征值时,它必然 是f()=0的根反之,如果是= 那么齐次方程组(2)有非零解向量x,使(1)式 成立.从而,λ是A的一个特征值 A的特征值也称为A的特征根

显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是 的根. 反之，如果λ是 的根， 那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根. f ( ) 0  = f ( ) 0  =

矩阵特征值和特征向量有如下主要性质: 定理9.1.1n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.12设矩阵A与矩阵B相似,那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3n阶矩阵A与A有相同的特征值 定理9.14设是n阶矩阵A的两个互异特 征值,ⅹ、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量,那么,xy=0

矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值. 定理9.1.4 设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x Ty=0

9.2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵,其共轭转置矩阵记为AH.如 果A=AH,那么,A称为 Hermite矩阵

9.2 Hermite矩阵特征值问题 • 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如 果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵

921 Hermite矩阵的有关性质 设入,气2,…,元,是 Hermite矩阵A的n个特征 值.有以下性质 1,元2,…,2全是实数 1,元2,…,有相应的n个线性无关的特征 向量,它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组4,12,…,n,即l,=o ,n是酉空间中的一组标准酉交基

9.2.1 Hermite矩阵的有关性质 设 是Hermite矩阵A的n个特征 值. 有以下性质: • 全是实数. 1 2 , ,...,   n 1 2 , ,...,   n • 有相应的n个线性无关的特征 向量，它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组 ,即 1 2 , ,...,   n 1 2 , ,..., n u u u H i j u u ij =  • 1 2 是酉空间中的一组标准酉交基. , ,..., n u u u

记U=(1,l2,…,n)它是一个西阵,即 UHU=UUHI,那么 UnAU= D 即A与以入1,22,…,为对角元的对角阵相似 A为正定矩阵的充分必要条件是1,2…,n 全为正数

• 记U=( ),它是一个酉阵，即 UHU=UUH=I，那么 即A与以 为对角元的对角阵相似. 1 2 , ,..., n u u u 1 H n U AU D       = =       1 2 , ,...,   n • A为正定矩阵的充分必要条件是 全为正数. 1 2 , ,...,   n

定理921设A,22,…, Hermite矩阵A的n 个特征值,那么 maX 1<i<n 证:由4=p(A4)=(4)=(p(A)2 因此‖412 maX 1<i<n 又由4e=br(4=m()=∑2 得‖4=∑码

定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n 个特征值，那么 证: 1 2 , ,...,   n 2 1 max i i n A    = 2 1 n F i i A  = =  2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) H 由 A A A A A = = =    2 1 max i i n A    因此 = 2 2 2 1 ( ) ( ) n H F i i A tr A A tr A  = 又由 = = =  2 1 n F i i A  = 得 = 

设x是一个非零向量,A是 hermite矩阵, 称xAx为矩阵A关于向量x的 Rayleigh商, 记为R(x) 定理922如果A的n个特征值为≥22…≥ 其相应的标准西交的特征向量为1,12…,n 那么有41≥R(x)≥ 定理92.3设A是 Hermite矩阵,那 =minR(x)或2=minR(x) x∈Ck且x≠0 X∈Cnk+1且x≠0

设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵， 称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商， 记为R(x). H H x Ax x x 定理9.2.2 如果A的n个特征值为 其相应的标准酉交的特征向量为 那么有 1 2 ...       n 1 2 , ,..., n u u u 1 ( )     R x n 定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么 1 0 0 min ( ) min ( ) k n k k k x C x x C x   R x R x     − + = = 且 且 或