习题14.3Green公式、Gauss公式和Stokes公式利用Green公式计算下列积分：1(1)[(x+y)dx-(x2+y2)dy，其中L是以 A(1,1),B(3,2),C(2,5)为顶点的三角形的边界，逆时针方向；(2）「xydx-xydy，其中L是圆周x2+y?=a，逆时针方向；(3）「(xycosx+2xysinx-ye)dx+(x?sin x-2ye)ly，其中L是星形2线x+=a(a>0)，逆时针方向；（4）[e[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]，其中L是曲线y=sinx上从(0,0)到(元,0)的一段；(5）「(x2-y)dx-(x+sin2y)dy，其中L是圆周x2+y2=2x的上半部分，方向从点(0,0)到点(2,0)；(6）「[esiny-b(x+y)lax+(ecosy-ax)dy，其中a,b是正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=/2ax-x?到点O(0,0)的一段[y-，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(7)4x2+y（R>1），逆时针方向；{(x-)dx+(x+4y)dy，其中L为单位圆周x+y2=1，逆时(8)x2 +4y2针方向；re[(xsiny-ycosy)adx+(xcosy+ysiny)al]，其中L是包围原点(9)x"+y的简单光滑闭曲线，逆时针方向。解（1) (x+y)dx-(x + y")dy =JJ(-4x-2y)dxdy140 (2x + y)dy-2, dx (2x + y)dy =-2dx3(2)[ xy dx-xydy= J[(-2xy-2xy)dxdy=-4f"sinOcosode],rPdr=0 。(3)[(x*ycos x+2xysin x- y'e')ix +(r sin x-2ye*)by
习 题 14.3 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶 点的三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中L 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [ ] ( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ，其中L 是曲线 y = sin x上从( , 到 0 0) ( , π 0)的一段； （5） ，其中 是圆周 的上半部 分，方向从点 到点 ； ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为 从点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中 L 是以点 (1,0) 为中心， R 为半径的圆周 （R > 1），逆时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ， 其中 为单位圆周 ，逆时 针方向； L 1 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + + L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中 是包围原点 的简单光滑闭曲线，逆时针方向。 L 解（1）∫ + − + L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 ∫∫ = − − D ( 4x 2y)dxdy 3 140 2 (2 ) 2 (2 ) 11 3 ( 1) 2 1 3 2 4 3 ( 1) 2 1 2 1 = − + − + = − ∫ ∫ ∫ ∫ − + − + x x x x dx x y dy dx x y dy 。 （2）∫ − L xy dx x ydy 2 2 2 3 0 0 ( 2 2 ) 4 sin cos 0 a D xy xy dxdy d r dr π = − − = − θ θ θ = ∫∫ ∫ ∫ 。 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 1
「odxdy=0。（4）设：=0,x：0→元，则e-"ydy=[e'[(1 - cos y)dx - (y - sin y)dy]= [[e* ydxdy = [" e*dx]"1L+L所以[e"[(1-cos y)dx- (y-sin y)dy]=Je[1-cos)-(-siny)]+=_,51（5）设L:y=0,x:0→2，则[(x - y)dx -(x + sin" y)kly = [(1-1)dxdy = 0 ,L+L所以[(x2- yldx-(x+ sinydy=[(x2-yldx-(x+ sin2ylyxdx(6）设L,:y=0,x:0→2a，则[[e* sin y-b(x + y)lx + (e* cos y-ax)dy = [[(b-a)dxdy = "a?(b-a),2L+L,所以[e' sin y-b(x+ y)]ix+(e' cos y-ax)ly"a?(b-a) - [e* sin y-b(x+ )kix+(e' cos y-ax)b)2a(b-a)+b]xdx=(2+)ab-a)2x17(7) 设P(x,y)=-4x+-@()=4x+，则oP-y2 -4x2_ o0.y(4x2+y2)2ax取路径L,：4x2+y2=1，逆时针方向，由Green公式 xdy- ydx{ xdy-ydx4x2+y?4x2+y2含xcost,y=sint，得到xdy-ydxrxdy-ydxsin)dt=元cos2t-4x2+y24x2 + y22x+4yx-V(8) 设P(x,y)=，则, Q(x,y) =x2 +4y22 +4y22
= ∫∫ = 。 D 0dxdy 0 （4）设L1 : y = 0, x :0 → π ，则 [ ] ( ) ( ) 5 1 1 cos sin sin 0 0 − − − − = = = ∫ ∫∫ ∫ ∫ − + π π e e y dx y y dy e ydxdy e dx ydy x x D x x L L1 ， 所以 [ ] ( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin [ ] ( ) ( ) ∫ = − − − 1 1 cos sin L e y dx y y dy x = − + 5 1 π e 5 −1 π e 。 （5）设L1 : y = 0, x :0 → 2，则 ( ) ( sin ) (1 1) 0 2 2 − − + = − = ∫ ∫∫ − + D x y dx x y dy dxdy L L1 ， 所以 ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ( ) ( ) 3 8 sin 2 0 2 2 2 1 = − − + = = ∫ ∫ x y dx x y dy x dx L 。 （6）设L1 : y = 0, x :0 → 2a，则 [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) cos ( ) 2 e y b x y dx e y ax dy b a dxdy a b a D x x − + + − = − = − ∫ ∫∫ + π L L1 ， 所以 [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos 2 ( ) 2 a b a π = − [ ] ( ) ∫ − − + + − 1 sin ( ) cos L e y b x y dx e y ax dy x x = − + = ∫ a a b a b xdx 2 0 2 ( ) 2 π 2 3 2 ) 2 (2 a b a π π + − 。 （7）设 2 2 2 2 4 , ( , ) 4 ( , ) x y x Q x y x y y P x y + = + = − ，则 x Q x y y x y P ∂ ∂ = + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 (4 ) 4 ， 取路径L1 : 4x y 2 2 + =1，逆时针方向，由 Green 公式， 2 2 4 xdy ydx x y − = + ∫ L 1 2 2 4 xdy ydx x y − + ∫ L 。 令 1 cos , sin 2 x = t y = t ，得到 2 2 4 xdy ydx x y − = + ∫ L 1 2 2 4 xdy ydx x y − + ∫ L 2 2 2 0 1 1 ( cos sin ) 2 2 t t dt π = + = π ∫ 。 （8）设 2 2 2 2 4 4 , ( , ) 4 ( , ) x y x y Q x y x y x y P x y + + = + − = ，则 2
oP_ 4y2 -8xy-x2_ 20ay(x2+4y2)2ax取路径L，：x?+4y?=1，逆时针方向，由Green公式，(x-y)dx+(x+4y)dy.c (x-y)dx+(x+4y)dyx2+4yx2+4y得到令x=cost,y=sint,r(x-y)dx+(x+4y)dy(x-y)dx+(x+4y)dy2元1一dt=元x2 +4y2x2 +4y2(9)设 P(x,j)=e"(xsin y-ycosy)2,0(x,)=(cosyysin)，则x? + y?x? + y2oP_[(x? + y")x+ y? - x"]cos y+(x? + y2 -2x)ysin y_ aQay(x2+y)?ax取路径L：x?+y2=r2，即x=rcost,y=rsint,t:0→2元，由Green公式，e*[(xsiny-ycosy)dx+(xcosy+ysiny)dy]x+y[(xsiny-ycosy)dx+(xcosy+ysiny)dylx?+ y?于是e"[(xsiny-ycosy)dx+(xcosy+ysiny)dy]ercosi cos(rsint)dt ,x? + y?令r→0，即得到1=2元。2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1）星形线x=acost,y=asint；(2）抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴；x=a(t-sint)（3）旋轮线的一段：te[0,2元]与x轴。y=a(1-cost)3a23[ xdy- ydx =-2元解（1）S="sin'tcostdt=元a?22J8ata（2）令y=tx，则x=1:0→+0。于是(1+t)2J(1+t)27S = -[ydx = 2a? [dt=a0(1+t)56a?2[xdy- ydx =(3）S:(2-tsint-2cost)dt=3元a2。2:2.3.先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值：(1)(x - y)(dx - dy) ;3
x Q x y y xy x y P ∂ ∂ = + − − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 ( 4 ) 4 8 ， 取路径L1 : 4 x y 2 + 2 =1，逆时针方向，由 Green 公式， 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + = + ∫ L 1 2 2 ( ) ( 4 ) 4 x y dx x y dy x y − + + + ∫ L 。 令 1 cos , sin 2 x = t y = t ，得到 ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy π π = = + − + + = ∫ ∫ 2 0 2 2 2 1 4 ( ) ( 4 ) 1 dt x y x y dx x y dy L 。 （9）设 2 2 2 2 ( cos sin ) , ( , ) ( sin cos ) ( , ) x y e x y y y Q x y x y e x y y y P x y x x + + = + − = ，则 x Q x y x y x y x y x y x y y y P ∂ ∂ = + + + − + + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [( ) ]cos ( 2 ) sin ， 取路径Lr ：x 2 + y 2 = r 2，即 x = r cost, y = rsin t, t : 0 → 2π , 由 Green 公式， [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x e x y y y dx x y y y dy x y − + + + ∫ L [ ] 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) r x e x y y y dx x y y y dy x y − + + = + ∫ L 。 于是 [ ] ∫ + − + + = r x y e x y y y dx x y y y dy I x L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) ∫ = 2π 0 cos e cos(rsin t)dt r t ， 令r → 0，即得到 I = 2π 。 2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1）星形线 x a = cos 3 3 t, y = a sin t ； （2）抛物线( ) x + = y 2 ax ( ) a > 0 与 x轴； （3）旋轮线的一段： t ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t ∈[ , 0 2π]与 x轴。 解（1） 2 2 2 2 0 1 3 sin cos 2 2 L a S xdy ydx t tdt π 3 2 8 = − = = π a ∫ ∫ 。 （2）令 y = tx，则 2 2 (1 ) , (1 ) t at y t a x + = + = ，t : 0 → +∞ 。于是 2 2 5 0 1 2 (1 ) 6 L t S ydx a dt t +∞ = − = = + ∫ ∫ a 。 （3） 2 2 2 0 1 (2 sin 2cos ) 3 2 2 L a S xdy ydx t t t dt a π = − = − − = π ∫ ∫ 。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( , ) ( )( ； ( , ) x y − dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) 3
(2)p(x)dx+(y)dy，其中p(x),(y)为连续函数；6,8) xdx +ydy(3)沿不通过原点的路径。.0)/x? + y2解(1) 设P(x,J)=x-y,Q(x,J)=-(x-y),oP=-1-，所以曲线积分与路径无关。则 ayax取积分路径为L:y=x,x:0→1，于是(x - y)(dx - dy) = 0(2) 设 P(x, y)= p(x), Q(x,y)=Φ(y),%=0=%，所以曲线积分与路径无关。则ayOx取积分路径为L：折线ABC，其中A(2,1),B(1,1),C(1,2)，于是t p(x)dx + g()dy = f, p(x)dx + I"(y)dy = Jp(t)- p(t)]dt 。y(3）设P(x,J)=,Q(x,y) =Vx?+ y2Vx2 + y2ap，所以曲线积分与路径无关。xy则ayax(x2 +y)2取积分路径为L：折线ABC，其中A(1,0),B(6,0),C(6,8)，于是6.8)xdx+ydyyaydx +9(1.0) x2 + y2/36+ y4.证明(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy在整个xy平面上是某个函数的全微分，并找出这样一个原函数。证设 P(x,j)=2xcosy+y°cosx, Q(x,y)=2ysinx-x sin y，因为P--2xsin y+2ycosx-aQdyax所以(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-x?siny)dy在整个xy平面上是某个函数的全微分。设这个函数为u(x,)，则u(x,y) = [(2xcosy+ycosx)dx+(2ysinx-xsin y)dy+C= J,2xdx+ f,(2ysinx-x sin y)dy= x2 cos y+ y2 sinx+C 。5.证明x+在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数2+V的全微分，并找出这样一个原函数。xy因为证设P(x,y)=2, Q(x,y) =x? +y?x+y
（2） ( , ) ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 解（1）设P(x, y) = x − y, Q(x, y) = −(x − y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 1 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L: y = x, x :0 →1，于是 ( )( ) 0 (1,1) (0,0) − − = ∫ x y dx dy （2）设P(x, y) = ϕ(x), Q(x, y) = φ( y)， 则 x Q y P ∂ ∂ = = ∂ ∂ 0 ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(2,1), B(1,1),C(1,2)，于是 ϕ φ ( ) ( ) ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 = + = ∫ ∫ 2 1 1 2 ϕ(x)dx φ( y)dy ∫ − 2 1 [φ(t) ϕ(t)]dt。 （3）设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ， 则 x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 3 2 2 ( ) ，所以曲线积分与路径无关。 取积分路径为L : 折线 ABC ，其中 A(1,0), B(6,0),C(6,8)，于是 xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) 9 36 8 0 2 6 1 = + = + ∫ ∫ y ydy dx 。 4．证明( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个 函数的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设P(x, y) 2x cos y y cos x, Q(x, y) 2y sin x x sin y ，因为 2 2 = + = − x Q x y y x y P ∂ ∂ = − + = ∂ ∂ 2 sin 2 cos ， 所以( c 2x os y + + y 2 cos x)dx (2y sin x − x 2 sin y)dy在整个 xy平面上是某个函 数的全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos cos ) (2 sin sin ) x y = + x y y x dx + y x − x y dy C ∫ + 2 2 2 0 0 2 (2 sin sin ) cos sin x y = + xdx y x − x y dy = x y + y x C ∫ ∫ + 。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数 的全微分，并找出这样一个原函数。 证 设 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y y Q x y x y x P x y + = + = ，因为 4
ap2xyy-(x +y)ax所以禁+學在除去>的负半轴及原点的裂缝平面上是某个函数的x?+y全微分。设这个函数为u(x,y)，则()=[-+n(+)+C。J.+y-2(0,1)x2 +y2=J0 x+1+6.设g(x,y)在xy平面上具有连续偏导数，曲线积分[2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2+(x)=2+(x求(x,J) 。解因为曲线积分[2xyx+Q(x,v)dy与路径无关，所以器=2x，两边Ox关于x积分，即得到Q(x,y)=x2+(y)，其中待定。由条件a,2yx+(x,)dy=Ja,2xyx+0(x,)dy，可得['(t? + (y)dy = f'(1+ p(y)dy ,两边对t求导，得到2t=1+p(t)，即g(y)=2y-1，所以Q(x,y)=x2 +2y-1。7.确定常数，使得右半平面x>0上的向量函数r(x,y)=2xy(x4+y2)i-x(x+2)"j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,J)。a[2(x*+y)_ al-x(r*+y")], 即解由题意，ayax2x(x* + y2) +42xy(x4 + y)-l =-2x(x* +y)-4ax'(x* +y)-l,化简后，求得元=-1。这时(rn) 2xydx-xdy +C=-x'dy++C=-arctan+C。u(x, ) = Jao) +y20r4+Vx-8.设一力场为F=(3xy+8xy2)i+(x2+8xy+12ye)j，证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。证设P(x,y)=3x2y+8xy2,o(x,y)=x3+8xy+12ye"，因为P = 3x* +16y =00,axay所以质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。9.利用Gauss公式计算下列曲面积分：（1）「[xdydz+ydzdx+zdxdy，Z为立方体0≤x,,z≤a的表面，方5
x Q x y xy y P ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ 2 2 2 ( ) 2 ， 所以 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y的负半轴及原点的裂缝 xy平面上是某个函数的 全微分。 设这个函数为u(x, y)，则 u(x, y) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 (0,1) 0 1 1 ln( ) 1 2 x y xdx ydy x xdx y ydy x y C x y x x y + = = + = + + + + ∫ ∫ ∫ + 。 6．设Q(x, y)在 xy平面上具有连续偏导数，曲线积分 与 路径无关，并且对任意 恒有 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ， 求Q(x, y)。 解 因为曲线积分∫ + 与路径无关，所以 L 2xydx Q(x, y)dy x x Q = 2 ∂ ∂ ，两边 关于 x积分，即得到Q(x, y) = x 2 +ϕ( y)，其中ϕ 待定。 由条件∫ + = ∫ + ，可得 (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy ∫ + = ∫ + ， t t y dy y dy 0 1 0 2 ( ϕ( )) (1 ϕ( )) 两边对t求导，得到2t = 1+ϕ(t)，即ϕ( y) = 2y −1，所以 ( , ) 2 1 2 Q x y = x + y − 。 7．确定常数λ ，使得右半平面 上的向量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 解 由题意， x x x y y xy x y ∂ ∂ − + = ∂ ∂[2 ( + ) ] [ ( ) ] 4 2 λ 2 4 2 λ ，即 4 2 2 4 2 1 4 2 5 4 2 1 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) − − + + + = − + − + λ λ λ λ x x y λxy x y x x y λx x y ， 化简后，求得 λ = −1。这时 u(x, y) 2 2 ( , ) 4 2 4 2 2 (1,0) 0 2 arctan x y xydx x dy y x dy y C C x y x y x − = + = − + = − + + ∫ ∫ +C 。 8．设一力场为 ，证明质点在此场 内移动时，场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 证 设 ，因为 y P(x, y) 3x y 8xy , Q(x, y) x 8x y 12ye 2 2 3 2 = + = + + x Q x xy y P ∂ ∂ = + = ∂ ∂ 3 16 2 ， 所以质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关。 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） x dydz y dzdx z dxdy ，Σ为立方体0 2 2 2 ∫∫ + + Σ ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方 5
向取外侧；(2)[[(x-y+=)dydz+(y-z+x)dzdx+(=-x+y)dxdy，其中为闭曲面|x-y+z+y-z+x+z-x+y=1，方向取外侧；(3) [(xcosα+ycosβ+2cos)ds，其中为锥面2=x?+y介于平面z=0与z=h(h>0)之间的部分，方向取下侧：(4)[xdydz+ydzdx+zdxdy，其中为上半球面z=R?-x?-y，方向取上侧；(5)[2(1-x2)dydz+8xydzdx-4zxdxdy，其中Z是由xy平面上的曲线x=e"(O≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与x轴的正向的夹角为钝角；(6)[[(2x+z)dydz+zdxdy，其中是曲面z=x2+y2（0≤z≤1)，曲面的法向量与轴的正向的夹角为锐角；[ axdydz + (a + ) dxdy(7)（a>0），其中Z是下半球面(x? + y? +22)/2z=-a2-x2-y2，方向取上侧；[xdyd +ydzdx+zdxdy，其中是(8)(x2 + y? + 2)3/2（i）椭球面x2+2y2+3z2=1，方向取外侧；(i）抛物面1-=_(x-2)+(y-1)2(=≥0)，方向取上侧。5169解（1）设2是所围的空间区域，则[[ x?dydz + y' dzdx + z' dxdy[[2(x + y+ 2)dxdydz = 6dxdy]zdz=3a*u=x-y+z（2）设Q是所围的空间区域，作变换β:v=-z+x，则w=z-x+y(u=4，且变换将变为2"=(u,v,)|++1)，记"是2'o(x,y,z)在第一象限的部分，则[[(x - y+ z)dydz+(y-z+ x)dzdx +(z-x + y)dxd)J[ 3dxdydz = J dudvchw = 6]JJ dudhdhw =1 。6
向取外侧； （2） ，其中Σ为闭曲 面 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ∫∫ Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于 平面 ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 z x y 2 2 = + z = 0与z h = (h > 0)之间的部分，方向取下侧； （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ， 方向取上侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中Σ是由 Σ xy平面上的曲线 x e = ≤ y (0 y ≤ a) 绕 x轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹角为钝角； x （6） ，其中Σ是曲面 （ ），曲 面的法向量与 轴的正向的夹角为锐角； ∫∫ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1 z （7） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 1/ 2 2 ( ) ( ) x y z axdydz a z dxdy （ a > 0 ）， 其 中 Σ 是下半球面 2 2 2 z = − a − x − y ，方向取上侧； （8） ∫∫ Σ + + + + 2 2 2 3 / 2 (x y z ) xdydz ydzdx zdxdy ，其中Σ是 （i）椭球面 x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1，方向取外侧； （ii）抛物面 + − − = 16 ( 2) 5 1 2 z x ( 0) 9 ( 1) 2 ≥ − z y ，方向取上侧。 解（1）设Ω是Σ所围的空间区域，则 x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 ∫∫ + + Σ = 2(x y z)dxdydz 6 0 dx 0 dy 0 zdz 3a 4 。 a a a + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω （2）设Ω是Σ所围的空间区域，作变换ϕ : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + = − + w z x y v y z x u x y z ，则 ( , , ) 4 ( , , ) u v w x y z ∂ = ∂ ，且变换ϕ 将Ω变为Ω' ( = { u v, ,w) u + v + w ≤1}，记Ω′′是Ω′ 在第一象限的部分，则 ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + ( ) z − x + y dxdy ∫∫ Σ = 6 1 4 3 3 = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω′ Ω′′ dxdydz dudvdw dudvdw 。 6
（3）补充Z,:z=h(x2+y2<h2)，方向取上侧，设Q是+,所围的空间区域，因为的对称性，有[[xdxdydz=「[ydxdydz=0。由Gauss公式，[(x cosα + y?cos β+2?cosydS =[[2(x + y+z2)dxdydz2[[ zdxdydz = 2], de]" rdr]" zdz =h,于是(xcosα+y?cosβ+2?cosy)dsh*- [[(xcosα+ y? cosβ+2? cosdsn二。-"h - [[h?dxdy = -22（4）补充,:z=0(x2+y2R2），方向取下侧，设是+所围的空间区域，由Gauss公式，J xdyd + ydzdx + zdxdy = JJ3dxdydz = 2R”,+于是[[xdydz + ydzdx + zdxdy = 2元R3- [[ xdydz + ydzdx + zdxdy = 2元R3 。（5）由题意，可得:x=ev+(y°+2≤α)，方向取后侧。补充Z,：x=e"（y2+z2≤α2），方向取前侧，设Q是+所围的空间区域，由Gauss公式，[[ 2(1 - x2)dydz + 8xydzdx - 4zxdxdy = [[odxdydz = 0+y于是[2(1- x2)dydz + 8xydzdx - 4zxdxdy = -[2(1- e2a)dydz = 2元a2(e2a -1) 。（6）补充:z=1(x2+y2<1)，方向取下侧，设Q是+Z所围的空间区域，由Gauss公式，J[(2 + 2)dydz + dxdy = -JJ3dxcdyd = -3]° dofrar], dz = -号元 于是3[[(2x + 2)]dydz + zdxdy =2-[[idxdy=21（7）由题意，[ axdydz +(a +2) dxdy _[[ axdydz +(a + z) dxdy 。(x2 +y2 +22)/2补充:z=0(x+2a)，方向取下侧，设是+所围的空间7
（3）补充Σ1 : z = h(x 2 + y 2 ≤ h2 )，方向取上侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 区域，因为Ω的对称性，有∫∫∫ = ∫∫∫ = 0。由 Gauss 公式， Ω Ω xdxdydz ydxdydz ( ) ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω x cos + y cos + z cos dS = 2(x + y + z)dxdydz 1 2 2 2 α β γ 4 0 2 0 2 2 zdxdydz 2 d rdr zdz h h r h π θ π = = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω ， 于是 ( x y z ) 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS ( ) ∫∫ Σ = − + + 1 cos cos cos 2 4 2 2 2 h x α y β z γ dS π 4 2 4 2 1 2 1 h h dxdy πh π = − = − ∫∫ Σ 。 （4）补充Σ1 : z = 0(x 2 + y 2 ≤ R2 )，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空 间区域，由 Gauss 公式， 3 2 3， 1 xdydz + ydzdx + zdxdy = dxdydz = πR ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω 于是 3 3 2 2 1 xdydz + ydzdx + zdxdy = πR − xdydz + ydzdx + zdxdy = πR ∫∫ ∫∫ Σ Σ 。 （5）由题意，可得 : ( ) 2 2 2 2 2 x e y z a y z Σ = + ≤ + ，方向取后侧。补充 : ( ) 2 2 2 1 x e y z a a Σ = + ≤ ，方向取前侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间区域，由 Gauss 公式， 2(1 ) 8 4 0 0 ， 1 2 − + − = = ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω x dydz xydzdx zxdxdy dxdydz 于是 2(1 ) 8 4 2(1 ) 2 ( 1) 2 2 2 2 1 − + − = − − = − ∫∫ ∫∫ Σ Σ a a x dydz xydzdx zxdxdy e dydz πa e 。 （6）补充Σ1 : z = 1(x 2 + y 2 ≤ 1)，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 区域，由 Gauss 公式， ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω (2x + z)dydz + zdxdy = − 3dxdydz 1 θ π π 2 3 3 1 1 0 2 0 2 = − = − ∫ ∫ ∫r d rdr dz ， 于是 ∫∫ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 1 2 3 1 π = − π − = − ∫∫ Σ dxdy 。 （7）由题意， ∫∫ ∫∫ Σ Σ = + + + + + + axdydz a z dxdy x y z a axdydz a z dxdy 2 2 2 2 1/ 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 。 补充Σ1 : z = 0(x 2 + y 2 ≤ a 2 )，方向取下侧，设Ω是Σ + Σ1所围的空间 7
区域，由Gauss公式，[[ axdydz + (a + 2)° dxdy = -[[[(3a + 22)dxdydzE+E3=(a -22)dz = -=-2元42元a于是-mat - Ja dxdy =[[ axdydz + (a + 2) dxdy = -2从而[ axdydz +(a +2] dxdy - -一ma(x2 + y2 +22)1/22（8）（i）记r=x2+y2+z？，设原积分为「[Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，则SoP_r?-3x2r2 -3y?OR_ r? -32?ar5r5Ozaxayr5设'=(x,y,=))x2+2+=？=8，方向为外侧，设Q是+（-)所围的空间区域，由Gauss公式，a0aR.ap[ Pdydz +Qdzdx+ Rdxdy =ffr)dxdydz=0。oyOzOxE+(-2)CXV2由于cosα==,cosβ=,cosy=r1-J dde + ydx + dxdy rr xdydz + ydzdx + zdxdyrr3cosadydz+cosβdzdx+cosydxdy[(cos’ α+ cos? β+ cos )ds =[ dS = 4元 。x=esinpcoso注对上面的积分，也可取'的参数表示为y=esin@singz=cOSp其中（0,0)D={0≤≤元，0≤≤2元），则I[ xdydz + ydzdx + zdxdy = [ xdyd + ydzdx + zdxdy/sin@d@d0=4元。r3r3T8
区域，由 Gauss 公式， ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω axdydz + (a + z) dxdy = − (3a + 2z)dxdydz 1 2 4 0 4 2 2 2 3 2 a 2 z(a z )dz a a = − π − π − = − π ∫− ， 于是 2 4 2 4 2 1 2 3 ( ) 1 axdydz + a + z dxdy = − πa − a dxdy = − πa ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 从而 3 2 2 2 1/ 2 2 2 1 ( ) ( ) a x y z axdydz a z dxdy = − π + + + + ∫∫ Σ 。 （8）（i）记 2 2 2 r = x + y + z ，设原积分为 ∫∫ ，则 Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 5 2 2 3 r r x x P − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r y y Q − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r z z R − = ∂ ∂ 。 设 ' {( , , ) } 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε ，方向为外侧，设Ω是Σ + −( Σ')所围的空 间区域，由 Gauss 公式， ( ) Pdydz Qdzdx Rdxdy Σ+ −Σ′ + + ∫∫ ( ) = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z R y Q x P 。 由于 r z r y r x cosα = ,cos β = ,cosγ = ， ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε Σ′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 4 ε ε Σ Σ ′ ′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ '的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中(ϕ,θ ) ∈ D'= {0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π}，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy ' sin 4 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 8
(x-2) (y-1)2(ii)设'=((x,y,z≤1,z = 0) - (x, y,2)x2 + y2 <62,z = 0) ,169方向为下侧，"=(x,y,z)x2+y?+2?=2,z≥0)，方向为下侧。则由Gauss公式J xobda + ydeda + dd 0 ,r3E+E'+E由此得到[ xdydz + ydzdx + zdxdy[ xdydz + ydzdx + zdxdy r3r3cosadydz+cosBdzdx+cosydxdy[[dS=2元。(f(cosα+cos?β+cos)ds=C[x= singcos注对上面的积分，也可取"的参数表示为=sinpsing,=coS元，0≤0≤2元，则其中(o,0)D"=f0≤J bd yda d bd yda dd J in dod 2 。r3r3D10．利用Gauss公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中时，物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量，而方向是垂直向上的。证以液面为xy平面，垂直向上的轴为=轴，在物体表面上点(x,y,=)处任取一微元，其面积为dS，设n为物体表面上点(x,y,z)处的单位（外）法向量，e为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为dF=pzdS,它在三个方向的分力分别为dF, = pzcos(n,x)ds, dF, = pz cos(n,y)ds,dF, = pz cos(n,=)ds ,于是由Gauss公式，F, = p[[=cos(n,x)ds = 0, F, = p[[zcos(n, y)dS = 0 ,9
（ii）设 1, 0} 9 ( 1) 16 ( 2) ' {( , , ) 2 2 ≤ = − + − Σ = z x y x y z {( , , ) , 0} 2 2 2 − x y z x + y < ε z = ， 方向为下侧，" {( , , ) , 0} 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε z ≥ ，方向为下侧。则由 Gauss 公式 0 ' " ∫∫ 3 Σ+Σ +Σ = + + r xdydz ydzdx zdxdy ， 由此得到 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ −Σ + + " 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε −Σ′′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 2 ε ε −Σ′′ −Σ′′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ"的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中( , ) " {0 ,0 2 } 2 D π ϕ θ ϕ ∈ = ≤ ≤ ≤θ ≤ π ，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy 3 " xdydz ydzdx zdxdy r −Σ + + ∫∫ " sin 2 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中 时，物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量，而方向 是垂直向上的。 证 以液面为 xy平面，垂直向上的轴为 z 轴，在物体表面上点(x, y,z) 处任取一微元，其面积为dS ，设n为物体表面上点(x, y,z) 处的单位 （外）法向量， ρ 为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为 dF = ρ zdS ， 它在三个方向的分力分别为 dFx = ρz cos(n, x)dS, dFy = ρz cos(n, y)dS, dFz = ρz cos(n,z)dS ， 于是由 Gauss 公式， = cos( , ) = 0, = cos( , ) = 0 ∫∫ ∫∫ Σ Σ Fx ρ z n x dS Fy ρ z n y dS ， 9
F, = p[[zcos(n, =)dS = p[[dxdydz = pV ,0这就是所要证明的。1l.设某种流体的速度场为v=yzi+xzj+xyk，求单位时间内流体（1）流过圆柱：x2+2≤α2，0≤z≤h的侧面（方向取外侧）的流量；（2）流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。解（1）设Z,:z=0(x2+y2≤α)，方向取下侧，,:z=h(x2+y≤α)方向取上侧，D是,,Z,在xy平面上的投影区域。由于[[ vds =-[[ xydxdy= 0,[[ vds - [[ xydxdy= 0,EDT由Gauss公式，J] vds = J[fodxdydz =0 ,2+2,+220所以流量[[ vdS = 0 。（2）由（1）可知，流过该圆柱的全表面的流量[vdS=0。212.利用Stokes公式计算下列曲线积分：（1）「ydx+zdy+xdz，其中是球面x2+y?+2=a?与平面x+y+z=0的交线（它是圆周），从x轴的正向看去，此圆周的方向是逆时针方向；（2）「3zdx+5xdy-2ydz，其中L是圆柱面x2+y2=1与平面z=y+3的交线（它是椭圆），从=轴的正向看去，是逆时针方向；(3）(y-z)dx+(z-x)dy+(x-)dz，其中L为圆柱面x2+y2=α2和平面+元-1(>0.>0)的交线（它是椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向；3(4)[(y2-z2)dx+(=?-x)dy+(x?-y)dz，其中L是用平面x++z9截立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕，从x轴的正向看去，是逆时针方向；(5）[(x2-yz)dx+(y2-xz)dy+(=2-xy)dz，其中L是沿着螺线h从点A(a,0,0)至点B(a,0,h)的路径；x=acos@,y=asin@,z2元10
Fz = ρ ∫∫z z dS = ρ ∫∫∫dxdydz = ρV ， Σ Ω cos(n, ) 这就是所要证明的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1）流过圆柱： 的侧面（方向取外侧）的流 量； xya z 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h ) ) （2）流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 解（1）设Σ = 1 : 0 z x( 2 2 + y ≤ a 2 ，方向取下侧，Σ = 2 : ( z h x 2 2 + y ≤ a 2 ， 方向取上侧，D是Σ1,Σ2在 xy平面上的投影区域。由于 0 1 = − = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy ， 0， 2 = = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy 由 Gauss 公式， 0 0 1 2 ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ +Σ Ω vdS = dxdydz = ， 所以流量 = 0 ∫∫ Σ vdS 。 （2）由（1）可知，流过该圆柱的全表面的流量∫∫ = 0 。 Σ vdS 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1）∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的交线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆 时针方向； （2）∫ ，其中 是圆柱面 与平面 的 交线（它是椭圆），从 轴的正向看去，是逆时针方向； + − L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3 z （3）∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz，其中L 为圆柱面 x y a 和平 2 2 + = 2 面 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0)的交线（它是椭圆），从 x轴的正向看去， 是逆时针方向； （4）∫ − + − + − ，其中L 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 x y + + z = 3 2 截立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去， 是逆时针方向； （5）∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h)的路径； 10