概率论与数理统计习题答案（浙大第四版）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）Jo I..nx100lS=，n表小班人数In'nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一12）S-10,.,12,.....,n,....)（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）S=(00,100,0100，0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,11101111,2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：ABC或A－（AB+AC)或A—(BUC)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB-ABC或AB-C（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC表示为：ABC或S一（A+B+C或AUBUC（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生
概率论与数理统计习题答案（浙大第四版） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） = n n n n o S 1 100 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，.，n，.} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生。 表示为： ABC 或 A－ (AB+AC)或 A－ (B∪C) （2）A，B 都发生，而 C 不发生。 表示为： ABC 或 AB－ABC 或 AB－C （3）A，B，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A，B，C 都发生， 表示为：ABC （5）A，B，C 都不发生， 表示为： ABC 或 S－ (A+B+C)或 A B C （6）A，B，C 中不多于一个发生，即 A，B，C 中至少有两个同时不发生
相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：A+B+C或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.[三)设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知ABΦ，（否则AB=Φ依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(AUB)≤1矛盾）,从而由加法定理得(*)P (AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即AnB时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2）从（*)式知，当AUB=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7—1=0.3 。7[四)设 A, B, C 是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0 ,41P(AC)=，求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(BC)-2-1+0=2P(AC)+ P(ABC)=48+0-88.[五]】在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”从26个任选两个来排列，排法有A种。每种排法等可能。：
相当于 AB, BC, AC 中至少有一个发生。故 表示为： AB + BC + AC 。 （7）A，B，C 中不多于二个发生。 相当于： A, B,C 中至少有一个发生。故 表示为： A + B + C或ABC （8）A，B，C 中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC 6.[三] 设 A，B 是两事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由 P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知 AB≠φ，（否则 AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1 与 P (A∪B)≤1 矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*) （1）从 0≤P(AB)≤P(A)知，当 AB=A，即 A∩B 时 P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （2）从(*)式知，当 A∪B=S 时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设 A，B，C 是三事件，且 , ( ) ( ) 0 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = P AB = P BC = ， 8 1 P(AC) = . 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A，B，C 至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－ P(AC)+ P(ABC)= 8 5 0 8 1 4 3 − + = 8.[五] 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词” ∵ 从 26 个任选两个来排列，排法有 2 A26 种。每种排法等可能
字典中的二个不同字母组成的单词：55个P(A)= 55 = 11..A61309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2..·9）记A表“后四个数全不同”：后四个数的排法有104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有A40:.=0.504P(A) =10410.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A：10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。3又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1:.P(A) =12(9)（2）求最大的号码为5的概率。种，记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1×种
字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 ∴ 130 55 11 ( ) 2 26 = = A P A 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，2.9） 记 A 表“后四个数全不同” ∵ 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有 4 A10 ∴ 0.504 10 ( ) 4 4 10 = = A P A 10.[六] 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录 其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A ∵ 10 人中任选 3 人为一组：选法有 3 10 种，且每种选法等可能。 又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有 2 5 1 ∴ 12 1 3 10 2 5 1 ( ) = P A = （2）求最大的号码为 5 的概率。 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 3 10 种，且 每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有 2 4 1 种
:XP(B)=20(10)(3)11.[七】某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笔重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有C9种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有C4×C×CP(A)=Ct×C×Ci= 252故2431Ci712.[八】在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A(1500在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。：200200个产品有90个次品，取法有（4011)）和90110（400110090人110..P(A)=（(1500(200（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”Bo表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有1100（400）(1100）（1199）种种，200个产品含一个次品，取法有200:A=B。+B,且Bo，B互不相容
20 1 3 10 2 4 1 ( ) = P B = 11.[七] 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运 中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红 漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为 A。 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 9 C17 种，且每种取法等可能。 取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2 3 3 4 4 C10 C C 故 2431 252 ( ) 6 17 2 3 3 4 4 10 = = C C C C P A 12.[八] 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。 （1）求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A ∵ 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 200 1500 种，每种取法等可能。 200 个产品恰有 90 个次品，取法有 110 1100 90 400 种 ∴ = 200 1500 110 1100 90 400 P(A) （2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品”，B1 表“只含有一个次品”，同上，200 个产品不含次品，取法有 200 1100 种，200 个产品含一个次品，取法有 199 1100 1 400 种 ∵ A = B0 + B1 且 B0，B1 互不相容
(1100)400Y11002001人199..P(A)=1- P(A)=1-[P(B。)+ P(B,))=1(1500)(1500)200）［(200）13.[九】从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”(10）种，每种取法等可能。从10只中任取4只，取法有：A要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有C4·24_8P(A)= -.C%"2P(4)=1- P(A)=1-= 13212115.[十一］将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2,3，的概率各为多少？记A表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放球。放法4×3×2种。（选排列：好比3个球在4个位置做排列）P(4)= 4x3x2_ 64316对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C?×4×3种。（从3个球中选2个球，选法有C2，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种
∴ + = − = − + = − 200 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 P(A) 1 P(A) 1 [P(B0 ) P(B1 )] 1 13.[九] 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多 少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对” 则 A 表“4 只人不配对” ∵ 从 10 只中任取 4 只，取法有 4 10 种，每种取法等可能。 要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有 4 2 4 5 21 13 21 8 ( ) 1 ( ) 1 21 2 8 ( ) 4 10 4 4 5 = − = − = = = P A P A C C P A 15.[十一] 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1，2， 3，的概率各为多少？ 记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有 4 3 种，每种放法等可能 对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4×3×2 种。 (选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列) 16 6 4 4 3 2 ( ) 1 3 = P A = 对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有 4 3 2 C3 种。 (从 3 个球中选 2 个球，选法有 2 C3 ，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4 种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种
Cs×4×3_ 9P(A,)=1643对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种）P(4)=4=1431616.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E：铆法有C50×C47×C...×C23种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有（C×C47×C44·C23）×10种P(1001=0.000511960C..Ci. .C2.法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完（铆钉要计先后次序）对E：铆法有A.种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有A×A7+A×A27+.+A+A7=10×A×A7种10×A×A=1P(A)= =0.000511960A3017.[十三) 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4, P(AB)=0.5,求P(B|AUB)
16 9 4 4 3 ( ) 3 2 3 2 = = C P A 对 A3：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此 3 个球，选法有 4 种) 16 1 4 4 ( ) 3 3 P A = = 16.[十二] 50 个铆钉随机地取来用在 10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部 件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱， 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 记 A 表“10 个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作： 把随机试验 E 看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10 个部件（在三个钉的一组 中不分先后次序。但 10 组钉铆完 10 个部件要分先后次序） 对 E：铆法有 3 23 3 44 3 47 3 C50 C C C 种，每种装法等可能 对 A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔 3 23 3 44 3 47 3 C3 C C C 〕×10 种 0.00051 1960 [ ] 10 1 ( ) 3 23 3 47 3 50 3 23 3 44 3 47 3 3 = = = C C C C C C C P A 法二：用古典概率作 把试验 E 看作是在 50 个钉中任选 30 个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。 （铆钉要计先后次序） 对 E：铆法有 3 A50 种，每种铆法等可能 对 A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，.或“28，29， 30”位置上。这种铆法有 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 A3 A + A A ++ A + A =10 A A 种 0.00051 1960 10 1 ( ) 30 50 27 47 3 3 = = = A A A P A 17.[十三] 已知 P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.5,求P(B| A B)
解一：P(A)=1-P(A)=0.7, P(B)=1- P(B)=0.6, A= AS = A(BUB)= ABU AB注意（ABAB）=Φ.故有P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2再由加法定理，P(AU B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.7+0.6-0.5=0.8于是 P(B[AU B)= P[B(AU B)]P(AB)_0.2 =0.25P(AUB)0.8P(AUB)解二:P(AB)=P(A)P(BIA)—由己知>05=07·P(B|A)20.5_5故:: P(BIA)== P(B|A) =P(AB)= P(A)P(B|A) =70.7>51-5P(BIAUB)定义 P(BA U BB)P(BA)=0.25P(AUB)P(A)+ P(B)- P(AB)0.7+0.6-0.5, P(BIA)=, P(A|B)=18.[十四]P(A)=，求P(AUB)。4*3解：由 P(AIB)定义 P(AB)= P(A)P(BIA)由已如性→有>P(B)=26P(B)P(B)P(B)1由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(BA)：12由加法公式，得P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=+}-六=4612-319.[十五】掷两颗殷子，已知两颗般子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A/B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率)。两颗般子的试验结果为一有序数组（x.v）（x，1=1.2.3.4.5.6）并且满足x+1=7，则
解一： P(A) =1− P(A) = 0.7, P(B) =1− P(B) = 0.6, A = AS = A(B B) = AB AB 注意 (AB)(AB) = . 故有 P (AB)=P (A)－P (A B )=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理， P (A∪ B )= P (A)+ P ( B )－P (A B )=0.7+0.6－0.5=0.8 于是 0.25 0.8 0.2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( | ) = = = = P A B P AB P A B P B A B P B A B 0.25 0.7 0.6 0.5 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 5 1 ( ) ( ) ( | ) 7 2 ( | ) 7 5 0.7 0.5 ( | ) : ( ) ( ) ( | ) 05 07 ( | ) = + − = + − = = = = = = = ⎯⎯⎯→ = P A P B P AB P BA P A B P BA BB P B A B P B A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A P B A 定义 故 解二 由已知 18.[十四] , ( ) 2 1 , ( | ) 3 1 , ( | ) 4 1 P(A) = P B A = P A B = 求P A B 。 解：由 6 1 ( ) ( ) 3 1 4 1 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) = = ⎯⎯⎯⎯→ = P B P B P B P A P B A P B P AB P A B 有 定义 由已知条件 由乘法公式，得 12 1 P(AB) = P(A)P(B | A) = 由加法公式，得 3 1 12 1 6 1 4 1 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + − = 19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率 （用两种方法）。 解：（方法一）（在缩小的样本空间 SB 中求 P(A|B)，即将事件 B 作为样本空间，求事 件 A 发生的概率）。 掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足 x,+y=7，则
样本空间为S=((x,y)/(1,6), (6, 1), (2, 5), (5,2), (3,4), (4,3))每种结果（x,y）等可能。21A=(掷二殷子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)=63P(AB)方法二：（用公式P(A|B)=P(B)S=(x,J)[x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6))每种结果均可能A=“掷两颗般子，x，y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗般子，x,+y-7”。则26-1P(B)=P(AB)=62"6632P(AB)-622-1故P(A[B)=63P(B)1620.[十六】据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P(孩子得病)=0.6，P(B/A)=P(母亲得病|孩子得病)=0.5，P(C/AB)=P(父亲得病母亲及孩子得病！=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P（ABC）（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(CIAB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P(C [AB)=1-P(C|4B)=1-0.4=0.6从而P(ABC)=P(AB)-P(C[AB)=0.3×0.6=0.1821.[十已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。C-328= 0.62P(A)=C%45
样本空间为 S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。 A={掷二骰子，点数和为 7 时，其中有一颗为 1 点。故 3 1 6 2 P(A) = = } 方法二：（用公式 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能 A=“掷两颗骰子，x, y 中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则 2 2 6 2 , ( ) 6 1 6 6 P(B) = = P AB = ， 故 3 1 6 2 6 1 6 2 ( ) ( ) ( | ) 2 = = = = P B P AB P A B 20.[十六] 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲 及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解：所求概率为 P (AB C )（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件， 这里不是求 P ( C |AB) P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P ( C |AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而 P (AB C )= P (AB) · P( C |AB)=0.3×0.6=0.18. 21.[十七] 已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作 不放回抽样，求下列事件的概率。 （1）二只都是正品（记为事件 A） 法一：用组合做 在 10 只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种 取法等可能。 0.62 45 28 ( ) 2 10 2 8 = = = C C P A
法二：用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P(4)=4_28A%45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。8728P(A) = P(A,A,) = P(A)P(A, / A,) =10*9-45（2）二只都是次品（记为事件B）C21P(B)=法一：45CioA_1P(B)=-法二：45Ao11P(B)= P(4,4)= P(4)P(4 1A)= ×法三：10*=45（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）C, ×Cl_ 16P(C)=法一：45ChoP(C)=(C×C)×4= 16法二：45Ao法三：P(C)=PA,A,+AA)且A,A,与AA,互斥82±2816= P(4)P(4, 14)+ P(A)P(4, 1A)= 109109-45（4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作
法二：用排列做 在 10 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个 排列等可能。 45 28 ( ) 2 10 2 8 = = A A P A 法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记 A1，A2 分别表第一、二次取得正品。 45 28 9 7 10 8 ( ) ( ) ( ) ( | ) P A = P A1A2 = P A P A2 A1 = = （2）二只都是次品（记为事件 B） 法一： 45 1 ( ) 2 10 2 2 = = C C P B 法二： 45 1 ( ) 2 10 2 2 = = A A P B 法三： 45 1 9 1 10 2 ( ) ( ) ( ) ( | ) P B = P A1A2 = P A1 P A2 A1 = = （3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C） 法一： 45 16 ( ) 2 10 1 2 1 8 = = C C C P C 法二： 45 ( ) 16 ( ) 2 10 2 2 1 2 1 8 = = A C C A P C 法三： P(C) = P(A1A2 + A1A2 )且A1A2与A1A2互斥45 16 10 9 2 8 9 2 10 8 ( ) ( | ) ( ) ( | ) = P A1 P A2 A1 + P A1 P A2 A1 = + = （4）第二次取出的是次品（记为事件 D） 法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作
A ×A_1P(D)=法二：5A10法三：P(D)=P(A,A, +A,A,)且A,A,与A,A,互斥=P(4)P(414)+P(4)P(A,A)=+×=109109522.[十八】某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。A表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H=A+AA+AAA三种情况互斥:"P(H)= P(A)+P(A)P(A, IA)+P(A)P(A A)P(A, /A,A,)191981310109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。P(H|B)=PA, IB+A,A, IB+A,A,A IB)= P(A IB)+ P(A IB)P(A2 /BA)+ P(A |B)P(A2 /BA)P(A /BA,A2)1+4×1+43×1-3554543524.[十九】设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。:B=A1B+A2B且A1，A2互斥
法二： 5 1 ( ) 2 10 1 2 1 9 = = A A A P D 法三： P(D) = P(A1A2 + A1A2 )且A1A2与A1A2互斥 5 1 9 1 10 2 9 2 10 8 ( ) ( | ) ( ) ( | ) = P A1 P A2 A1 + P A1 P A2 A1 = + = 22.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过 三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多 少？ 记 H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第 i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 2 3 = + + = = + + = + + P H P A P A P A A P A P A A P A A A H A A A A A A 三种情况互斥 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H 再发生的概率。 ( | ) | | | ) P H B = PA1 B + A1A2 B + A1A2A3 B ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) = P A1 B + P A1 B P A2 BA1 + P A1 B P A2 BA1 P A3 BA1A2 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 = + + = 24.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装有 N 只白球 M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋 中取到）白球的概率是多少？（此为第三版 19 题(1)） 记 A1，A2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记 B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B=A1B+A2B 且 A1，A2 互斥