总习题一la111.1求行列式D=h1的元素a，b，c的代数余子式，11c10x1. 2 求行列式D=-1y最后一列元素的代数余子式之和。C11N1.3计算下列行列式.[231[x』1 1 2;10;(1) D=(2) D=x1[1。1ly011011[1-a0a2211(3) D=-11-a(4) D=a30-1-0-11-a0004120-1I11101-1-23a(5) D=(6) D=3144α?91011-827 a-13331...33223.31X3333.(7) D,=1x(8) Dn...1.:..."：......333n-1...111..x3333n01123...n04xXx+13..:n04xx2(9) D, =x+1(10) D1...n..:..........0xxx..231x+1..0Y11
1 总习题一 1.1 求行列式 1 1 1 1 1 1 a D b c 的元素 a ，b ，c 的代数余子式. 1.2 求行列式 1 0 0 1 1 1 x D y z 最后一列元素的代数余子式之和. 1.3 计算下列行列式. （1） 2 3 1 1 1 2 1 0 1 D ； （2） 1 1 0 0 1 x y D x y ； （3） 1 0 1 1 0 1 1 a a D a a a ； （4） 1 0 1 1 2 1 1 2 1 0 1 3 0 0 0 4 D ； （5） 1 2 0 1 1 1 1 0 2 3 1 4 0 1 1 1 D ； （6） 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 4 9 1 8 27 a D a a ； （7） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 n x x D x x ； （8） 1 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 Dn n n ； （9） 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 n n x n D x n x ； （10） 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 n x x x x x x D x x x x x x ；
a+bab000...001a+bab...0100a+b..(11) D, 其中a+b...:：:...000aba+b...0001a+b...1.4求解下列方程.[-1-3x2-11[x-11131-1-8(1)1(2)x-21=0;=0.2x2-552611x-113-211.5利用克莱姆法则求解下列方程组，X +2x +x =1,-2x +x +x, =1,(1)3(2)2x +3x2 -2x, =3,2x +x2 -x =1,x-x+3x,=0x +x +2x =-2,x + x, = 2,X, +x2 -x, = 3,(3)(4) 323x +2x, = 4,2x -x, +2x, =-2,4x +x +x =4.-x, +3x, =-1;1.6元利用克莱姆法则求解方程组x+x+x=a+b+c,ax,+bx+cx,=a?+b2+c2bcx +cax, +abx, =3abc,其中a,b,c是互不相同的实数1.7入为何值时，方程组x+x-x=2,2x +3x, + Ix, = 1,x+ax+x=3,有唯一解？1.8问入何值时，下列方程组有非零解x +x =0,x +x-x =0,x +2x4 =0,(1)(2)(2-)x -x = 0,X +ax =0,x -2x, +(1-)x, = 0;2x -x =0.2
2 （11） 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 000 0 0 0 1 n a b ab a b ab a b D a b ab a b ，其中 a b . 1.4 求解下列方程. （1） 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 x x x ； （2） 2 2 1 3 1 1 1 3 1 8 0 2 5 2 6 1 2 1 3 x x . 1.5 利用克莱姆法则求解下列方程组. （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1, 2 3 2 3, 3 0; x x x x x x x x x （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1, 2 1, 2 2; x x x x x x x x x （3） 1 3 1 2 2 3 2, 3 2 4, 3 1; x x x x x x （4） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3, 2 2 2, 4 4. x x x x x x x x x 1.6 利用克莱姆法则求解方程组 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 , , 3 , x x x a b c ax bx cx a b c bcx cax abx abc 其中 abc , , 是互不相同的实数. 1.7 为何值时，方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2, 2 3 1, 3, x x x x x x x x x 有唯一解？ 1.8 问 何值时，下列方程组有非零解. （1） 1 2 3 2 3 1 2 3 0, (2 ) 0, 2 (1 ) 0; x x x x x x x x （2） 1 2 3 4 1 3 1 4 0, 2 0, 0, 2 0. x x x x x x x x
ax, +x +x,=0,1.9设齐次方程组3x+bx+x=0,问当a,b满足什么条件时，齐次方程组1x+2bx, +x =0,（1）只有零解？（2）有非零解？11112n-1...x1.10=0的全部根求方程f(x)=:::2-1 ... (n-1)-lx"ax, + bx, + cx4 = 0,ax, +x, = 0,只有零解.1.11已知a,b.c不全为零，证明齐次方程组bx, +x, = 0,cx +x4 = 0,总习题一答案1.1元素a的代数余子式：bc-1;元素b的代数余子式：ac-1；元素c的代数余子式：ab-1.1.2-1.1.3(2) D=1-x-y;(1) D=10;(3) D=(1-a)(α2+1);(4) D=-8;(5) D=0;(6) D=-30(a-1)(a+2)(a-3);(7) D, =(n-1+x)(x-1)"-,提示：将第二、三、、n列的各元素加到第一列的对应元素上去，提出公因子（n-1+x)，再将第一行元素乘以（-1）加到第二、三、………n行的对应元素上去，化成上三角行列式进行计算；(8) D,=6(n-3)!,提示：先提出第三行的公因子3，再将第一列各元素乘以（-1）加到第二、三、.、n列的对应元素上去，然后按第三行进行展开，得到的结果中的行列式再按第一列进行展开；3
3 1.9 设齐次方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 0, 2 0, ax x x x bx x x bx x 问当 ab, 满足什么条件时，齐次方程组 （1）只有零解？ （2）有非零解？ 1.10 求方程 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ) 0 1 2 ( 1) n n n n x f x n x 的全部根. 1.11 已知 abc , , 不全为零，证明齐次方程组 2 3 4 1 2 1 3 1 4 0, 0, 0, 0, ax bx cx ax x bx x cx x 只有零解. 总习题一答案 1.1 元素 a 的代数余子式： bc 1 ； 元素 b 的代数余子式： ac 1 ； 元素 c 的代数余子式： ab 1. 1.2 1. 1.3 （1） D 10 ； （2） 2 2 D x y 1 ； （3） 2 D a a (1 )( 1) ； （4） D 8 ； （5） D 0 ； （6） D a a a 30( 1)( 2)( 3) ； （7） 1 ( 1 )( 1)n D n x x n , 提示：将第二、三、.、 n 列的各元素加到第一列的对应元素上去， 提出公因子 ( 1 ) n x ，再将第一行元素乘以（1 ）加到第二、三、.、 n 行的对应元素上去，化成上三角行列式进行计算； （8） 6( 3)! D n n ， 提示：先提出第三行的公因子 3,再将第一列各元素乘以（1 ）加到第 二、三、.、 n 列的对应元素上去,然后按第三行进行展开,得到的 结果中的行列式再按第一列进行展开；
(9) D, =(x-1)(x-2).[x-(n-1)],提示：将第一行各元素乘以（-1）加到第二、三、………、n行的对应元素上去，再按第一列进行展开即可；(10) D, =(-1)"-(n-1)x"-2,提示：将第二行各元素乘以（-1）加到第三、四、..、n行的对应元素上去，并按第一列展开，再将结果中的(n-1)阶行列式的第二、三、…、n行的各元素加到第一列的对应元素上去，然后按第一列展开；qn+l bn+(11) D-a-b提示：应用数学归纳法，D,=a+b；D,=(a+b)}-ab=α-；将Da-ba'_b4按第一列展开得 D,=(a+b)D,-abD,=；假设n≤k-1时，a-bD, = a - br一成立，则当n=k时，将D,按第一列展开得a-bqk+1_bk+1D, =(a+ b)De-abDe = (a+b)(a* -b) _ ab(adt- bt-l) _ aa-ba-ba-b从而归纳出结果（1）x=2或x=1±/3；1.4（2）x=±1或x=±3.3x =1,X =511.5(1)(2)x =1,x=>62X35X =>4
4 （9） ( 1)( 2) [ ( 1)] D x x x n n ， 提示：将第一行各元素乘以（1 ）加到第二、三、.、 n 行的对应 元素上去，再按第一列进行展开即可； （10） 1 2 ( 1) ( 1) n n D n x n ， 提示：将第二行各元素乘以（1 ）加到第三、四、.、 n 行的对应 元素上去，并按第一列展开，再将结果中的 ( 1) n 阶行列式的第二、 三、.、 n 行的各元素加到第一列的对应元素上去，然后按第一列 展开； （11） n n 1 1 n a b D a b , 提示：应用数学归纳法， D a b 1 ； 3 3 2 2 ( ) a b D a b ab a b ；将 D3 按第一列展开得 4 4 3 2 1 ( ) a b D a b D abD a b ；假设 n k 1 时， n n 1 1 n a b D a b 成立，则当 n k 时，将 Dk 按第一列展开得 1 1 1 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k a b a b ab a b a b D a b D abD a b a b a b ， 从而归纳出结果. 1.4 （1） x 2 或 x 1 3 ； （2） x 1 或 x 3. 1.5 （1） 1 2 3 1, 1 , 7 2 ; 7 x x x （2） 1 2 3 3 , 5 1, 6 ; 5 x x x
.110X =3'X=学8(3)(4)X = -3,x"314x, = 0.X =-21.6x=a,x=b,x=c.-±1. 722（1)=2±;(2)元=-1.841.9（1）a1且b+0；(2）a=1或b=0.1.10x=1,2,3,...,n-1.1.11提示：方程组的系数行列式值为-(α2+b2+c2)5
5 （3） 1 2 3 10 , 3 3, 4 ; 3 x x x （4） 1 2 3 1 , 3 8 , 3 0. x x x 1.6 1 x a ， 2 x b ， 3 x c . 1.7 1 17 2 2 . 1.8 （1） 2 3 ； （2） 1 4 . 1.9 （1） a 1 且 b 0 ； （2） a 1 或 b 0. 1.10 x n 1,2,3, , 1. 1.11 提示：方程组的系数行列式值为 2 2 2 ( ) abc