《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第三章 线性方程组的解和维向量（典型例题详解）

123例3.1求矩阵A=01的秩-1(234)解（解法一）由定义可知，矩阵的秩即为矩阵中最高阶非零子式的阶数，而该矩阵的子式的最高阶数为3，首先考虑A是否存在3阶非零子式，由于[123125185[4=0 11=0 1 0=-3±0[2 7234237由最高阶非零子式的阶数为3，故r(A)=3.（解法二）对矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形，即(123）232(11301-101-101-123401-20-30非零行的行数为3，故r(A)=31-110102/-—例3.22求下列矩阵A=的秩，以及它的一个最高阶非零子式30-1 2(12-101)解由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以一般采用初等行变换法求矩阵的秩先求矩阵的秩。为此，对A施以初等行变换，将其化为行阶梯形0010)00)1-110(1-1-11203031-11-1-1-11-1-1A=03000003021-11-1-1O000(12300-1011-11故矩阵的秩r(A)=3再求A的一个最高阶非零子式在A中取第1，2行和第1，2列可得非零子式1=30D, 则D,即为所求

例 3.1 求矩阵 1 2 3 0 1 1 2 3 4 A             的秩. 解 （解法一）由定义可知，矩阵的秩即为矩阵中最高阶非零子式的阶数，而该矩阵 的子式的最高阶数为 3，首先考虑 A 是否存在 3 阶非零子式. 由于 1 2 3 1 2 5 1 5 0 1 1 0 1 0 3 0 2 7 2 3 4 2 3 7 A        ， 由最高阶非零子式的阶数为 3 ，故 r A( ) 3  . （解法二）对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行阶梯形，即 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2 3 4 0 1 2 0 0 3                                    非零行的行数为 3 ，故 r A( ) 3  . 例 3.2 求下列矩阵 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 3 0 1 2 1 1 2 1 0 1 A                  的秩，以及它的一个最高阶非零子式. 解 由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以一般采用初等行变换法求矩阵的秩. 先求矩阵的秩. 为此，对 A 施以初等行变换，将其化为行阶梯形. 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 1 1 3 0 1 2 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 1 0 3 1 1 1 0 0 0 0 0 A                                                    故矩阵的秩 r A( ) 3  . 再求 A 的一个最高阶非零子式. 在 A 中取第 1， 2 行和第 1， 2 列可得非零子式 2 1 1 3 0 2 1 D     ， 则 D2 即为所求

346例3.3设A=2求r(A)及r(A)-6-9(-3解由于A的三行元素对应成比例，因此A=0，而且任意2阶子式均为零，又因为存在一阶非零子式D=1±0，因此可知r(A)=1.因为A中的元素为A中的元素所构成的二阶子式，从而(000)000A* =(000)进而有r(A)=0例3.4设A为5阶方阵，且r(A)=2，求r(A)解由r(A)=2可知，矩阵A的最高阶非零子式是2阶的，因此任意r阶子式(r≥3)均为零.由于A为5阶方阵，且A=（4）5x其中A,为元素a的代数余子式，则A,为A的4阶子式易得A,=0(1<≤i,j≤5)，因此A=0，因此r(A)=0(4812k)3696例3.55设A=问k取何值时，可使（1）r(A)=1：（2）r(A)=2(1 2 32)(4812k123412399解A=63如36DA0Ok-0(1234812000可得（1）当k-8=0，即k=8时，可使r(A)=1：（2）当k-8±0，即k±8时，可使r(A)=2

例 3.3 设 123 2 4 6 3 6 9 A               ，求 r A( ) 及 r A( ) . 解 由于 A 的三行元素对应成比例，因此 A  0 ，而且任意 2 阶子式均为零，又因为 存在一 阶非零子式 1 D  1 0 ，因此可知 r A( ) 1  . 因为 * A 中的元素为 A 中的元素所构成的二阶子式，从而 000 000 000 A             ， 进而有 r A( ) 0   . 例 3.4 设 A 为 5 阶方阵，且 r A( ) 2  ，求 r A( ) . 解 由 r A( ) 2  可知，矩阵 A 的最高阶非零子式是 2 阶的，因此任意 r 阶子式 ( 3) r  均 为零. 由于 A 为 5 阶方阵，且  5 5 A Aij    其中 Aij 为元素 ij a 的代数余子式，则 Aij 为 A 的 4 阶 子式 易得 0 (1 , 5) A i j ij    ，因此 A   0 ，因此 r A( ) 0   . 例 3.5 设 4 8 12 3 6 9 6 1 2 3 2 k A            ，问 k 取何值时，可使（1） r A( ) 1  ；（2） r A( ) 2  . 解 4 8 12 1 2 3 2 1 2 3 2 3 6 9 6 3 6 9 6 0 0 0 8 1 2 3 2 4 8 12 0 0 0 0 k A k k                                 ， 可得 （1）当 k  8 0 ，即 k  8 时，可使 r A( ) 1  ； （2）当 k  8 0 ，即 k  8 时，可使 r A( ) 2 

10123-k0例3.6设A=问k取何值时，可使2)(k-2-1(1) r(A)=2;(2) r(A)=3.100(1011112o003-k3-k-21k-4解A=2(o(k-2-1-14-k03-k-2(1 01D01k-400(k-2)(k-5))故（1）当(k-2)(k-5)=0，即k=2或k=5时，可使r(A)=2；(2）当k±2且k±5时，可使r(A)=3.(元111)1元11例3.7设A=且R(A)=3，求入的值.1-1111元1解（解法一）11入(元112(11111100元11元11-11-元11A=0元元011111元-11-元1-22111元元111.01-元1-元1(11元1元101-元2-1001-101-元D002-11-200元-11-元(oo0001-入(1-元)(2+元)(1-2)(3+2)由于r(A)=3，可知[(1- 元)(3+ 2)=0[1-几0解得入=-3（解法二）由于r(A)=3，则A=0，即

例 3.6 设 1 0 1 2 3 0 2 1 2 A k k               ，问 k 取何值时，可使 （1） r A( ) 2  ； （2） r A( ) 3  . 解 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 4 2 1 2 0 1 4 0 3 2 A k k k k k k                                          1 0 1 0 1 4 0 0 ( 2)( 5) k k k              故（1）当 ( 2)( 5) 0 k k    ，即 k  2 或 k  5 时，可使 r A( ) 2  ； （2）当 k  2 且 k  5 时，可使 r A( ) 3  . 例 3.7 设 111 1 1 1 1 1 1 111 A                  ，且 R A( ) 3  ，求  的值. 解 （解法一） 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A                                                           1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 (1 )(2 ) 0 0 0 (1 )(3 )                                                     由于 r A( ) 3  ，可知 (1 )(3 ) 0 1 0            ， 解得  3. （解法二）由于 r A( ) 3  ，则 A  0 ，即

[元+31+3几+3元+3211111111元112121=(1+3)11元元-121-入21111111111000元-1=(α +3)=(α+3)(2-1)3 = 000元-100001-1可得入=-3或入=1.当入=-3时，将其代入矩阵可得(31111331111113111311020-2A=3111310021113000000001可得此时r(A)=3：当入=1时，将其代入矩阵可得1110100011A-001110000可得此时r(A)=1，故入=1舍去，因此入=-3[x +2x -2x,=0,例3.83间元取何值时齐次线性方程组2x-x+元x,=0,有非零解3x, +x -x, = 0,解（解法一）将系数矩阵化为行阶梯形(12-2)2-2(12-2(12-2)(130-55052-1元1-1-5A=(31-1)2元0001-1-1-51+4由于齐次线性方程组有非零解，故r(A)<3.为使r(A)<3必有-1=0，即入=1.故当元=1时齐次线性方程组有非零解（解法二）由于齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式D=0

1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    3 1 1 1 1 0 1 0 0 ( 3) ( 3)( 1) 0 0 0 1 0 0 0 0 1                可得  3 或  1. 当  3 时，将其代入矩阵可得 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 2 1 1 3 1 1 1 3 1 0 0 2 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 A                                        ， 可得此时 r A( ) 3  ； 当  1 时，将其代入矩阵可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 A                          可得此时 r A( ) 1  ，故  1 舍去，因此  3. 例 3.8 问  取何值时齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0, 2 0, 3 0,               x x x x x x x x x  有非零解. 解 （解法一） 将系数矩阵化为行阶梯形 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 0 5 5 0 5 5 3 1 1 2 1 0 5 4 0 0 1 A                                                           由于齐次线性方程组有非零解，故 r A( ) 3  .为使 r A( ) 3  必有   1 0 ，即  1. 故当  1 时齐次线性方程组有非零解. （解法二）由于齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式 D  0

即-212-2122-212D=22 -1 元=-3 1 -1=-0 -55=5(1-1)= 0,2-1元31-100-[2故当入-1=0时，也即元=1时，齐次线性方程组有非零解。小结：对含参数的线性方程组解的情况分析（1）方程个数与未知量个数相等时可以用系数行列式讨论，当系数行列式A0时，可用克莱姆法则求解（2）方程个数与未知量个数不等或未知量个数超过3时，一般采用将增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形，然后再利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系对参数讨论方程组是否有解，有解时求出解，例3.9设非齐次线性方程组x+2x-x-2x=02x -x2-x, +x4=13x +x-2x-x=a,问α取何值时，方程组（1）无解：（2）有解，并求出通解解因非齐次线性方程组的增广矩阵(12-1-210(12-2 /0)-1129115050-51-51(A : b)=22-1-1111000(3 1 -210-55155ia2-1a)0(1）当a-1+0，即a+1时，r(A)±r(Ab)，则方程组无解；（2）当α-1=0，即a=1时，r(A)=r（Ab)=2<4，则方程组有解，且有无穷多解此时32100:5512-1 -2 101-5151(A b)054400010o0000得方程组的通解为

即 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 0 5 5 5( 1) 0 3 1 1 2 1 0 0 1 D                      ， 故当   1 0 时，也即  1 时，齐次线性方程组有非零解. 小结：对含参数的线性方程组解的情况分析 （1）方程个数与未知量个数相等时可以用系数行列式讨论，当系数行列式 A  0 时， 可用克莱姆法则求解. （2）方程个数与未知量个数不等或未知量个数超过 3 时，一般采用将增广矩阵作初等 行变换化为行阶梯形，然后再利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系对参数讨论方程组是 否有解，有解时求出解. 例 3.9 设非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 0, 2 1, 3 2 ,                  x x x x x x x x x x x x a 问 a 取何值时，方程组（1）无解；（2）有解，并求出通解. 解 因非齐次线性方程组的增广矩阵   1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 1 1 0 5 1 5 1 0 5 1 5 1 3 1 2 1 0 5 1 5 0 0 0 0 1 A b aaa                                              （1）当 a  1 0 ，即 a 1 时， r A r A b ( )    ，则方程组无解； （2）当 a  1 0 ，即 a 1 时， r A r A b ( ) 2 4      ，则方程组有解，且有无穷多 解. 此时   3 2 1 0 0 5 5 1 2 1 2 0 1 1 0 5 1 5 1 0 1 1 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A b                                    得方程组的通解为

32x, ==X+55其中x，x为自由未知量.11X ==x +x-5'5x-x=a,2-,=02有解的充分必要条件是4,=0.例3.10证明非齐次线性方程组X-x=ag,i=1x4-x,=a4,（必要性）将此4 个方程加起米可符含4 -0.证明i=l（充分性）非齐次线性方程组的增广矩阵0110a1-10oa001az010-1a(A /b)=00as00-111.03-10000Oia.1il当α,=0时，r(A)=r(4b)=3<4，故非齐次线性方程组有解i=l例3.11设方程组1123)7x33611X33-1-k15x3(1(1-5-1012八x）问k,1各取何值时，方程组（1）无解；一解；（3）有无穷多解，并求出其一般解（2）由唯一解将增广矩阵化为行阶梯形11231)23(1 1113360242211B=(A :b)X3-1-k1500-k+2230(1-5-10121)0031+5(1）由于方程组无解的充要条件是r(B)≠r(A)，可得当2-k±0时，也即k≠2时，无论1取何值，均有r(B)=r(A)：当k=2时，将增广矩阵继续进行行变换可得

1 3 2 3 4 3 2 , 5 5 1 1 , 5 5 x x x x x           其中 3 x ， 4 x 为自由未知量. 例 3.10 证明非齐次线性方程组 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 , , , ,                x x a x x a x x a x x a 有解的充分必要条件是 4 1 0 i i a    . 证明 （必要性）将此 4 个方程加起来可得 4 1 0 i i a    . （充分性）非齐次线性方程组的增广矩阵   1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 i i a a a a A b a a a a                                       当 4 1 0 i i a    时， r A r A b ( ) 3 4      ，故非齐次线性方程组有解. 例 3.11 设方程组 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 3 6 1 3 3 1 15 3 1 5 10 12 x x k x x l                                          ， 问 kl, 各取何值时，方程组（1）无解；（2）由唯一解；（3）有无穷多解，并求出其一般解. 解 将增广矩阵化为行阶梯形   1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 6 1 3 0 2 4 2 2 3 1 15 3 0 0 2 2 4 1 5 10 12 0 0 0 3 5 B A b k k l l                                   （1）由于方程组无解的充要条件是 r B r A ( ) ( )  ，可得 当 2 0   k 时，也即 k  2 时，无论 l 取何值，均有 r B r A ( ) ( )  ； 当 k  2 时，将增广矩阵继续进行行变换可得

3111242202B20010(0001+5)因此1+5≠0，即1±-5.所以当k=2，且1±-5时，方程组无解：（2）由（1）可知(i）当k=2，且1=-5时，方程组有解，且有r(B)=r(A)=3<4，故此时方程组有无穷多解；（i）当k≠2时，无论/取何值均有方程组有解易见，当k±2时，无论/取何值，均有r(B)=r(A)=4，此时方程组有唯一解所以当k≠2时，无论/取何值，方程组有唯一解：（3）由以上结论可知当k=2，且1=-5时，方程组有解且有无穷多解，继续将增广矩阵化为行最简形可得11231(1000-820024-21203B00001200120000(000000可得一般解为x, = -8,x,=3-2x3，其中x为自由未知量[x4 = 2,x+x+x=0,例3.12设线性方程组x+2x,+ax=0，与方程x+2xz+x=a-1有公共解，求x+4x+ax,=0,α的值以及所有公共解。x+x +x =0,x +2x+ax,=0,解由题设可知线性方程组有解，将增广矩阵化为行阶梯形可得X+4x +ax,=0,[x+2x2 +x =a-1

1 1 2 3 1 0 2 4 2 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 B l               因此 l  5 0 ，即 l 5. 所以当 k  2 ，且 l 5 时，方程组无解； （2）由（1）可知 （i）当 k  2 ，且 l 5 时，方程组有解，且有 r B r A ( ) ( ) 3 4    ，故此时方程组 有无穷多解； （ii）当 k  2 时，无论 l 取何值均有方程组有解. 易见，当 k  2 时，无论 l 取何值，均有 r B r A ( ) ( ) 4   ，此时方程组有唯一解 所以当 k  2 时，无论 l 取何值，方程组有唯一解； （3）由以上结论可知当 k  2 ，且 l 5 时，方程组有解且有无穷多解，继续将增广 矩阵化为行最简形可得 1 1 2 3 1 1 0 0 0 8 0 2 4 2 2 0 1 2 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B                           可得一般解为 1 2 3 4 8, 3 2 , 2, x x x x           其中 3 x 为自由未知量. 例 3.12 设线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0, 2 0, 4 0,               x x x x x ax x x a x 与方程 1 2 3 x x x a     2 1 有公共解，求 a 的值以及所有公共解. 解 由题设可知线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 0, 2 0, 4 0, 2 1,                     x x x x x ax x x a x x x x a 有解，将增广矩阵化为行阶梯形可得

10(11101101100100102a-10a-1B=(A : b)03a2-104a20000(a-1)(a-2)2(o10100a-1a-11-a1a-1当a-2±0，即a±2时，可将增广矩阵B继续施以初等行变换可得210(11001a-1B000(a-1)(a-2)(0 00a-1)由于非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，所以有a-1=0，也即a=1.将α=1代入原方程组，可将增广矩阵化为行最简形(1011011010100000001211B=(A b)=0000041030012１000000100可得[=-x，其中x,为自由未知量。[x, =0当然α-2=0，也即α=2时，可将增广矩阵B化为行最简形可得1110100011一01010011010B000000100-000000-10000[x =0,可得x=1,x, =-1.x+x+x+x=0,Jx2 +2x, +2x4 = 1,例3.13设线性方程组问a,b为何值时，方程组-x +(a-3)x, -2x =b,3x +2x, +x, +ax, =-1,（1）有唯一解：（2）无解：（3）有无穷多解，并求出解解先将增广矩阵化为行阶梯形

  2 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 4 0 0 3 1 0 0 0 ( 1)( 2) 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1                                                a a a B A b a a a a a a a a 当 a  2 0 ，即 a  2 时，可将增广矩阵 B 继续施以初等行变换可得 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 ( 1)( 2) 0 0 0 0 1                 a B a a a 由于非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等， 所以有 a  1 0 ，也即 a 1. 将 a 1 代入原方程组，可将增广矩阵化为行最简形   1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 4 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 B A b                                       可得 1 3 2 0 x x x       ，其中 3 x 为自由未知量. 当然 a  2 0 ，也即 a  2 时，可将增广矩阵 B 化为行最简形可得 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0                                        B 可得 1 2 3 0, 1, 1.          x x x 例 3.13 设线性方程组 1 2 3 4 234 2 3 4 1 2 3 4 0, 2 2 1, ( 3) 2 , 3 2 1,                         x x x x x x x x a x x b x x x ax 问 ab, 为何值时，方程组 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求出解. 解 先将增广矩阵化为行阶梯形

0(1111011111012210122B=(A : b)0b00b+1-20a-1a-33020001a-1a-1易得（1）当a-1±0，也即a±1时，无论b取何值时，均有r(B)=r(A)=4，此时方程组必有唯一解；（2）当a-1=0且b+1±0时，也即a=1且b±1时，有r(B)=3，而r(A)=2，此时方程组无解：（3）当a-1=0且b+1=0时，也即a=1且b=1时，有r(B)=r(A)=2<4，此时方程组有无穷多解.将α=1和b=-1代入原方程组中，将其增广矩阵化为行最简形可得11(1100-1-1-10221022111B :000000a-1b+10000(o00000a-10可得[=-1+x,+x4其中x,x,为自由未知量.[x,=1-2x,-2x4,0)120，求β.例3.14设2(α-β)-3(α+β)=αz，其中α=α211(2)1)解由题意知2α-2β-3α-3β=αz，整理可得5β=2α,-4αz，即215018202442425B:αα51515-1552-52010

  1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 0 0 1 0 1 3 2 1 1 0 0 0 1 0 B A b a b a b a a                                  易得 （1）当 a  1 0 ，也即 a 1 时，无论 b 取何值时， 均有 r B r A ( ) ( ) 4   ，此时方程组必有唯一解； （2）当 a  1 0 且 b  1 0 时，也即 a 1 且 b 1 时， 有 r B( ) 3  ，而 r A( ) 2  ，此时方程组无解； （3）当 a  1 0 且 b  1 0 时，也即 a 1 且 b 1 时， 有 r B r A ( ) ( ) 2 4    ，此时方程组有无穷多解. 将 a 1 和 b 1 代入原方程组中，将其增广矩阵化为行最简形可得 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 B a b a                              可得 1 3 4 2 3 4 1 , 1 2 2 ,           x x x x x x 其中 3 4 x x, 为自由未知量. 例 3.14 设 1 2 2 2( ) 3( )          ，其中 1 1 0 1 2               ， 2 0 2 1 1               ，求  . 解 由题意知 1 2 2 2 2 3 3          , 整理可得 1 2 5 2 4      ，即 1 2 2 5 1 0 1 8 2 4 2 4 2 0 2 4 5 5 5 5 5 5 1 1 1 2 2 1 0 5 0                                                                     

k例3.15设β-β=β-β，其中β求k，m值m-2 2k亦即解由题意知2β=β+β，即1故2k=6，2m=1，进而可得k=3，m21)(2)1120例3.16设α=，间β能否由α,αzα,线性表示，若bα1)(2)（3)-1能写出表示式解设xα+xα+xα,=β，则121B=(α,α2,α, β)=(A iβ)=2031230由于r(α,α,α)=2=r(B)=r(α,α,α,β)，则β能由α,α,α,线性表示，且x, =-3x, +1,其中x为自由未知量[x2=2x +1,令x=0可得非齐次线性方程组的一个解[x, =1,x2 =1,x,=0,故β=+α+0α=+

例 3.15 设        1 2 ，其中 1 2 1 1              ， 2 4 0 3              ， 2 k  m             ，求 k ，m 值. 解 由题意知 1 2 2     ，即 2 4 2 1 0 2 1 3 k m                                    ，亦即 2 6 2 1 4 4 k m                        ， 故 2 6 k  ， 2 1 m  ，进而可得 k  3， 1 2 m  . 例 3.16 设 1 2 3 1 1 1 2 2 , 3 , 0 , 5 , 1 2 1 3                                                  问  能否由 1 2 3    , , 线性表示，若 能写出表示式. 解 设 1 1 2 2 3 3 x x x        ，则  1 2 3    1 1 1 2 , , , 2 3 0 5 1 2 1 3 B A                    1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 3 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0                                 由于 1 2 3 1 2 3 r r B r ( , , ) 2 ( ) ( , , , )           ，则  能由 1 2 3    , , 线性表示， 且 1 3 2 3 3 1, 2 1,         x x x x 其中 3 x 为自由未知量 令 3 x  0 可得非齐次线性方程组的一个解 1 2 3 1, 1, 0,         x x x 故 1 2 3 1 2            0