《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第二章 矩阵（习题，含答案）

总习题二2.1把下列矩阵化为行最简形0146)12742(1)2-12711-3 (2)352-61(13-72021-571212-3091-3-31-1(3)(4)2-1 -52420-377062514-7092. 2 利用矩阵的初等行变换求解下列方程组2x +x -x, =1,x +x2 -x, = 2,(1)3(2)3x -2x +2x =-1,-3x +4x +x, =-1,.4x-3x, -2x, =3;5x+x-x,=4;X+2x +x -x =0,3x +x +2x -7x4 =1,(3)(4) 4x + x2 -3x; +6x4 =2,3x +6x2 -x, -3x =0,5x +10x,+x-5x=0,x-2x2+x,-7x4=1;X +X+X-X4+x,=0,x -2x +3x,+2x4 -x, =1,2x -x +3x, - 4x4 -x, = 0(5)(6) -2x +x2 +3x, -3x4 +5x, = 4,-x+2x,-4x+x4+2x,=04x -5x, +3x, +7x4-7x, =-2x,+3x+2x-2x4+x=0,[x+1 2x-1|2. 3设 f(x)=求f(A)2x+1-3(a00)2.40b0已知A=f(x)=x?-4x+1, 求f(A)(o0c)-1 102.5 已知 A=(1,-1,1),B=(2,0,1),C=0-110(01-1(1)计算AB，BIA，AC，DB;（2）设F=BA,求F；(3)f(x)=2x2-3x+1，求f(F).1

1 总习题二 2.1 把下列矩阵化为行最简形. （1） 1 0 4 6 2 1 2 7 1 3 5 2            ； （2） 1 2 7 4 2 1 1 3 1 3 6 7               ； （3） 2 1 5 7 1 3 0 9 0 2 1 5 1 4 7 0                  ； （4） 1 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 3 4 2 7 9 9 6 2 5                 . 2.2 利用矩阵的初等行变换求解下列方程组. （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1, 3 2 2 1, 5 4; x x x x x x x x x                （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2, 3 4 1, 4 3 2 3; x x x x x x x x x                （3） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0, 3 6 3 0, 5 10 5 0; x x x x x x x x x x x x                  （4） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 7 1, 4 3 6 2, 2 7 1; x x x x x x x x x x x x                  （5） 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0, 2 3 4 0, 2 4 2 0, 3 2 2 0; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                             （6） 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2 1, 2 3 3 5 4, 4 5 3 7 7 2. x x x x x x x x x x x x x x x                       2.3 设 1 2 1 ( ) 2 1 x x f x x     ， 1 2 3 1 A         ，求 f A( ) . 2.4 已知 0 0 0 0 0 0 a A b c            ， 2 f x x x ( ) 4 1    ，求 f A( ) . 2.5 已知 A   (1, 1,1) ， (2,0,1)T B  ， 1 1 0 0 1 1 0 1 1 C               ， 2 1 1 1 2 0 D          ， （1）计算 AB ， T T B A ， AC ， DB ； （2）设 F BA  ,求 F ； （3） 2 f x x x ( ) 2 3 1    ，求 f F( )

101)2.6设A=020若n≥2为正整数，求A"-2A"-l(101)2.7已知α=(1,-1,2)，β=(,2,1)，设A=βα，计算A"(1 01)00求A".2.8 设A=0：(101)2.9计算(2 1 1)211(2)(1)/3100(0 12)(aa2(元10)"b)(x(4)0元1(3)(x,y,1)b,aj2a22y0元0(b)bc八i求下列矩阵的逆矩阵.2.10(400)(31-10-31-2(1)(2)014o-313201-11(12-122-101232-1(3)(4)32204110(0312(2016300000-1 320013500(5)(6)04-22002(073-1)00732.11解下列矩阵方程.(110)(0 11100（1）已知A=B=-111且有AXA+BXB=AXB+BXA(1 11-1 0(1求X.2

2 2.6 设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A            ，若 n  2 为正整数，求 1 2 n n A A   . 2.7 已知    (1, 1,2)， (1,2,1)T   ，设 A   ，计算 n A . 2.8 设 1 0 1 000 1 0 1 A            ，求 n A . 2.9 计算 （1） 2 2 1 1 3 1 0 0 1 2           ； （2） 1 1 0 1 n       ； （3） 11 12 1 12 22 2 1 2 ( , ,1) 1 a a b x x y a a b y b b c                ； （4） 1 0 0 1 0 0 n              . 2.10 求下列矩阵的逆矩阵. （1） 4 0 0 0 3 1 0 4 3             ； （2） 3 1 1 0 2 1 1 3 2             ； （3） 0 1 1 1 1 0 1 2 3 2 0 2 0 1 2 3               ； （4） 1 2 1 2 2 3 2 1 1 1 0 4 2 0 1 6               ； （5） 3 0 0 0 0 1 2 0 0 4 2 2 0 7 3 1               ； （6） 1 3 0 0 3 5 0 0 0 0 2 1 0 0 7 3              . 2.11 解下列矩阵方程. （1）已知 1 1 0 1 0 1 1 1 1 A             ， 0 1 1 1 0 1 1 1 0 B             ，且有 AXA BXB AXB BXA    , 求 X

(25)00)1（2）已知A：B :1且X=AX+B，求X../(30X1(21-1013)0102且A(E-C-B)CT=E，求A.（3）已知B=C:1(o00021 00100100且ABA-=BA-+3E，求矩（4）设矩阵A的伴随矩阵A*01-00-3 0 8阵B.2.12设A，B都是n阶对称矩阵，E+AB是可逆矩阵，证明（E+AB)-A是对称矩阵.12.13设A：且AX=A-+2X，求X(11-2.14i设三阶方阵A，B满足AB-A-B=E，且101020A-20求B及B.2.15设A，B都是n阶方阵，并且B和E+AB都可逆，证明B(E + AB)-" B- = E- B(E + AB)-" A .设n阶方阵A满足A?-3A+E=0，证明A-2E可逆2.162.17设A为n阶非零实数方阵，A是A的伴随矩阵，A是A的转置矩阵，当A=A时，证明A+02.18如果A，B为同阶方阵，且A=（B+E），证明：A=A当且仅当B’= E.3

3 （2）已知 0 1 0 1 1 1 1 0 1 A              ， 2 5 1 1 3 4 B             ，且 X AX B   ，求 X . （3）已知 1 1 0 0 1 1 0 0 1 B              ， 2 1 3 0 2 1 0 0 2 C            ，且 1 ( )T T A E C B C E    ，求 A . （4）设矩阵 A 的伴随矩阵 * 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 3 0 8 A               ，且 1 1 ABA BA E3     ，求矩 阵 B . 2.12 设 A，B 都是 n 阶对称矩阵， E AB  是可逆矩阵，证明 1 ( ) E AB A  是 对称矩阵. 2.13 设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A              ，且 * 1 A X A X2    ，求 X 2.14 设三阶方阵 A， B 满足 2 A B A B E    ，且 1 0 1 0 2 0 2 0 1 A             ， 求 B 及 B . 2.15 设 A， B 都是 n 阶方阵，并且 B 和 E AB  都可逆，证明 1 1 1 B E AB B E B E AB A ( ) ( )        . 2.16 设 n 阶方阵 A 满足 2 A A E    3 0 ，证明 A E 2 可逆. 2.17 设 A 为 n 阶非零实数方阵， * A 是 A 的伴随矩阵， T A 是 A 的转置矩阵， 当 * T A A  时，证明 A  0 . 2.18 如果 A ， B 为同阶方阵，且 1 ( ) 2 A B E   ，证明： 2 A A  当且仅当 2 B E 

总习题二答案269P0010155172913.112.1(1)010(2)015517190000001171110006(1000)7000一0/160100(3)(4)50010010012(0001)300014 2.2（1）无解；95X=+号*(2)其中x为自由变量；5.2X2 =号+x,7*7[=-1-22其中x,为自由变量；(3)x =0,1x==+X4,238其中x为自由变量；(4)X2=-X4,>1051, 14+X =-X4,1053X,=-号X5,21ixs,X2 =-2(5)其中x,为自由变量；1x=5,1X4=-5X5,24

4 总习题二答案 2.1 （1） 26 1 0 0 17 29 0 1 0 17 19 0 0 1 17        ； （2） 9 2 1 0 5 5 13 11 0 1 5 5 0 0 0 0          ； （3） 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             ； （4） 11 1 0 0 0 6 7 0 1 0 0 6 5 0 0 1 0 12 3 0 0 0 1 4         . 2.2 （1）无解； （2） 1 3 2 3 9 5 , 7 7 5 2 , 7 7 x x x x          其中 3 x 为自由变量； （3） 1 2 3 1 2 , 0, x x x        其中 2 x 为自由变量； （4） 1 4 2 4 3 4 1 , 2 3 8 , 10 5 1 14 , 10 5 x x x x x x                  其中 4 x 为自由变量； （5） 1 5 2 5 3 5 4 5 3 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 x x x x x x x x                   其中 5 x 为自由变量；

4x, =-3+3x, -x4+3xs2(6)其中x,x4,x,为自由变量X2 =-2+3x +x+xs3 02. 3f(A)0α2-4a+1002.46? -4b+100f(A)=00c2-4c+12.5(1) AB=3，BIA =3, AC=(-1,3,2), LDB(2)[F|=0;(7-6610(3) f(F)=01(5X-3(00 0)2.6A"-2A"-l000000(000)00提示：A(A-2E)=0A"-2A"-I=A"-?×A(A-2E)D0 0)0(1 -1 2)2.72-2 4A"=(1-1 2)提示:A"=(βα)(βα)..(βα)=β(αβ)..(αβ)α= A.202"2.8A=000(2"-1 02″提示：A=αα，其中α=(1,0,1)，且αα=2,A" =(αα)(α"α)(αα)=α" (αα)..-(αα)α=2"- An-15

5 （6） 1 3 4 5 2 3 4 5 4 3 3 3 , 3 1 2 3 , 3 x x x x x x x x                其中 345 x x x , , 为自由变量. 2.3 4 0 ( ) 0 4 f A          . 2.4 2 2 2 4 1 0 0 ( ) 0 4 1 0 0 0 4 1 a a f A b b c c                  . 2.5 （1） AB  3， 3 T T B A  ， AC  ( 1,3,2) ， 5 2 DB         ； （2） F  0 ； （3） 7 6 6 ( ) 0 1 0 3 3 4 f F              . 2.6 1 000 2 0 0 0 000 n n A A              . 提示： 000 ( 2 ) 0 0 0 000 A A E             ， 1 2 2 ( 2 ) n n n A A A A A E       . 2.7 1 1 2 2 2 4 1 1 2 n A               . 提示： ( )( ) ( ) ( ) ( ) n A A           . 2.8 1 1 1 1 2 0 2 000 2 0 2 n n n n n A                . 提示： T A   ，其中   (1,0,1) ，且 2 T   ， 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 n T T T T T T n n A A               

(7.44)9432.9(1)2(334)air+2ay+any+2bx+2by+c;(3）n(n-1).na"-!2"(4)0na"-I[提示：用数学归纳法].00(175C1)0022222241731(1)2.100(2)5S22222243410(111111)55)1(111)0-211122221314237_1551125255258888(3)(4)7622.4131325255254444131135119325)(52525188(88)(1000-533001114140183116800(5)(6)9141114010-301616327500-2)13110321616)(0 00)(-3±-4)000-5-9(1) X =(2) X =2.11(000)43）6

6 2.9 （1） 7 4 4 9 4 3 334           ； （2） 1 0 1   n     ； （3） 2 2 11 12 22 1 2 a x a xy a y b x b y c      2 2 2 ； （4） 1 1 1 ( 1) 2 0 0 0 n n n n n n n n n n                         ，[提示：用数学归纳法]. 2.10 （1） 1 0 0 4 3 1 0 5 5 4 3 0 5 5                     ； （2） 7 5 1 22 22 22 1 7 3 22 22 22 1 4 3 11 11 11          ； （3） 1 1 1 1 2 2 2 2 7 15 5 11 8 8 8 8 1 3 1 3 4 4 4 4 1 9 3 5 8 8 8 8              ； （4） 1 0 2 1 1 4 23 13 5 25 25 25 4 6 22 7 5 25 25 25 1 1 13 3 5 25 25 25               （5） 1 0 0 0 3 1 1 1 0 8 16 8 9 1 1 0 16 32 16 13 11 5 0 16 32 16           ； （6） 5 3 0 0 14 14 3 1 0 0 14 14 0 0 3 1 0 0 7 2         . 2.11 （1） 000 000 000 X            ； （2） 3 4 5 9 4 3 X                ；

00(3)A200.(4) B=60030提示：用A左乘等式ABA-"=BA-+3E，再用A右乘等式ABA-=BA"+3E，得AAB=AB+3A，即AB=AB+3，因A|=A=8，则有2B=AB+6E，故B=6(2E-A)1.2.12证明略1101441102.13X=441104(400202.14B=01B0012.15提示：等式左边B(E+AB)"B-可以写成「B(E+AB)B-"，即证[B(E + AB)B-"T' = E -B(E + AB)" A.2.16证明略.2.17反证法，假设A=0，由AA=4E，及A=A，可得AA=AE=0，因A为实方阵，可推得A=0，这与已知的A为非零实矩阵矛盾，故A*0(B+E)2.18提示：A=A-(B+E)2

7 （3） 1 0 0 2 1 0 1 2 0 A             ； （4） 6 0 0 0 0 6 0 0 6 0 6 0 0 3 0 1 B               , 提示：用 * A 左乘等式 1 1 ABA BA E3     ，再用 A 右乘等式 1 1 ABA BA E3     ，得 * * * AAB AB AA  3 ，即 * AB AB AE  3 ，因 3 * A A   8 ，则有 * 2 6 B A B E   ，故 * 1 B E A 6(2 )   . 2.12 证明略. 2.13 1 1 0 4 4 1 1 0 4 4 1 1 0 4 4 X                  . 2.14 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 B                 ， 1 2 B  . 2.15 提示：等式左边 1 1 B E AB B ( )   可以写成 1 1 B E AB B ( )        ，即证 1 1 1 B E AB B E B E AB A ( ) ( )            . 2.16 证明略. 2.17 反证法，假设 A  0 ，由 * AA AE  ，及 * T A A  ，可得 T A A A E   0， 因 A 为实方阵，可推得 A  0 ，这与已知的 A 为非零实矩阵矛盾，故 A  0 . 2.18 提示： 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 A A B E B E           