第一章行行列式典型例题解答例1.1计算二阶行列式D=27-1. 4解由定义D=/227=2×4-7×(-1)=15-1 4 x -3x, = 2,2求解线性方程组例1. 2[2x +x, = -1[1-3解D==1-(-6)=7±02112=2-3=-1, D, =-1-4=-52.2-1故方程组的解为1X =>5X2=-734例1.3设D=41求元素x的余子式及代数余子式x，123[3 4]解元素x的余子式M23=6-4=221代数余子式A,=(-1)2+3M3=-2[1 2-2]例1.4已知D=0-23，求004(1) A+A2 + A3:(2) Au+2A2-2A3 ;(3)-2A2+3A3.-
1 第一章 行列式典型例题解答 例 1.1 计算二阶行列式 2 7 1 4 D . 解 由定义 2 7 2 4 7 ( 1) 15 1 4 D . 例 1.2 求解线性方程组 1 2 1 2 3 2, 2 1. x x x x 解 1 3 1 ( 6) 7 0 2 1 D ， 1 2 3 2 3 1 1 1 D ， 2 1 2 1 4 5 2 1 D ， 故方程组的解为 1 2 1 , 7 5 . 7 x x 例 1.3 设 3 4 1 4 1 1 2 3 D x ，求元素 x 的余子式及代数余子式. 解 元素 x 的余子式 23 3 4 6 4 2 1 2 M ， 代数余子式 2 3 23 23 A M ( 1) 2 . 例 1.4 已知 1 2 2 0 2 3 0 0 4 D ，求 （1） A A A 11 12 13 ； （2） 11 12 13 A A A 2 2 ； （3） 12 13 2 3 A A
解 (1) 4+4a+4;=(-1)/ +(-1)/。 +(-1-X1040400（2）该式相当于将行列式D按第一行展开，故等于D的值，即A, +2A2-2A =D=1×(-2)×4=-8;（3）该式相当于用行列式第二行各元素乘以第一行对应元素的代数余子式，因此-2A2 +3A3 =0.例1.5设三阶行列式D第一行元素分别为1，3，4，且第一行元素所对应的余子式的值分别为2，-1，3，求行列式D的值解因M,=2，M/2=-1，M3=3，从而A=2，A2=1，A3=3，依行列式的定义，D=1×2+3×1+4x3=17111468例1.6计算行列式D=45710解 (法一)依行列式的拉普拉斯（Laplace）展开定理，有D=aAi+a2A2+ai3A=1(- +(- ++(-1)71051057=4+0-2=2一般情况下，行列式的展开选择按零元素最多的行或列进行（法二）将第一列各元素同乘以（-1）分别加到第二列和第三列的对应元素上，再按第一行展开，即110[24]D=4 642=2[2 5]5710525通常情况下，行列式的计算需要将行列式的性质和拉普拉斯（Laplace）展2
2 解 （1） 1 3 1 1 1 2 11 12 13 2 3 0 3 0 2 ( 1) ( 1) 1 8 0 4 0 4 0 0 A A A ； （2）该式相当于将行列式 D 按第一行展开，故等于 D 的值，即 11 12 13 A A A D 2 2 1 ( 2) 4 8 ； （3）该式相当于用行列式第二行各元素乘以第一行对应元素的代数余 子式，因此 12 13 2 3 0 A A . 例 1.5 设三阶行列式 D 第一行元素分别为 1，3，4 ，且第一行元素所对应 的余子式的值分别为 2 ，1，3，求行列式 D 的值. 解 因 11 M 2， 12 M 1， 13 M 3，从而 11 A 2， 12 A 1， 13 A 3 ，依行 列式的定义， D 1 2 3 1 4 3 17. 例 1.6 计算行列式 1 1 1 4 6 8 5 7 10 D . 解 （法一） 依行列式的拉普拉斯（Laplace）展开定理，有 D a A a A a A 11 11 12 12 13 13 1 1 1 2 1 3 6 8 4 8 4 6 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 7 10 5 10 5 7 4 0 2 2. 一般情况下，行列式的展开选择按零元素最多的行或列进行. （法二） 将第一列各元素同乘以（1 ）分别加到第二列和第三列的对应元素上，再 按第一行展开，即 1 1 1 1 0 0 2 4 4 6 8 4 2 4 2 2 5 5 7 10 5 2 5 D . 通常情况下，行列式的计算需要将行列式的性质和拉普拉斯（Laplace）展
开定理结合起来使用12-119939697例1.7计算行列式D=-13-4解该行列式的第二行元素均可看成是两个元素之和，即212-11-1D=199 39697-1+200-4+4003+(-100)3-1-43-1-421-12-1[121-1200-4324400-100=1001---13 33-4-1-4-1-42[1[121-10=100|0-221-1000= 200.00-2201[12425例1.8已知f(x)=15，证明至少存在一点E(2,5)，使得f()=01xx[1证因为1242X21432521= 3(x2 7x+10),f(x)=1 5=22x2.xx?x-20显然函数f(x)在[2,5]上连续，在(2,5)内可导，且f(2)=f(5)=0，故由罗尔定理，至少存在一点e(2,5)，使得f()=0.2caa, +3b,b.bc例1.92c=2，计算D=b,已知az+3b,b2C2a22casbea,+3b,b2C3解由已知条件可得2cj[a, + 3b,b2cJa,b2c3b,b2cbb,2cb2c23b,2c2b22c2a, + 3b,lg=2D=2,2c02c,3b3b,2cb,2c3a, +3b,b,asas3
3 开定理结合起来使用. 例 1.7 计算行列式 1 2 1 199 396 97 1 4 3 D . 解 该行列式的第二行元素均可看成是两个元素之和，即 1 2 1 D= 199 396 97 1 4 3 1 2 1 1 200 4 400 3 ( 100) 1 4 3 1 2 1 1 2 1 200 400 100 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 2 1 100 2 4 1 1 4 3 1 2 1 1 2 1 100 0 0 1 100 0 2 2 200 0 2 2 0 0 1 . 例 1.8 已知 2 1 2 4 ( ) 1 5 25 1 f x x x ，证明至少存在一点 (2,5) ，使得 f ( ) 0 . 证 因为 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4 3 21 ( ) 1 5 25 0 3 21 3( 7 10) 2 4 1 0 2 4 f x x x x x x x x x ， 显然函数 f x( ) 在 [2,5] 上连续，在 (2,5) 内可导，且 f f (2) (5) 0 ，故由罗尔定 理，至少存在一点 (2,5) ，使得 f ( ) 0 . 例 1.9 已知 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 a b b c a b b c a b b c ，计算 111 222 333 a b c D a b c a b c . 解 由已知条件可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 a b b c a b c b b c a b c a b b c a b c b b c a b c D a b b c a b c b b c a b c
abc因此所求行列式值为D=az b, c=1.[ab,c例1.10设四阶行列式D的第三列元素分别为2，-1，3，0，且第三列元素所对应的余子式分别为4，-3，5，2，计算行列式D的值解由己知，Mi3=4,M23=-3,M33=5,M43=2,则A3=4,A23=3,A3=5,A43=-2,又ai3=2，a23=-1,a3=3，a43=0,依行列式的Laplace展开式定理有D=2×4+(-1)×3+3×5+0×(-2)=2011000200例1.11计算行列式D=00300004解该行列式为上三角行列式，则11000200D=1×2×3×4=24.003040001111-1例1.12计算行列式D=-11-11-1解将第一行各元素乘以（-1）后，分别加到第二、三、四行的对应元素上去，再按第一列进行展开，即1111110-2220-2021-20-2D:-200-21-2-20-20-0-2再将第一列元素乘以（-1）后加到第三列的对应元素上，然后按第二行展开，4
4 因此所求行列式值为 111 222 333 1 a b c D a b c a b c . 例 1.10 设四阶行列式 D 的第三列元素分别为 2，-1，3，0，且第三列元素 所对应的余子式分别为 4，-3，5，2，计算行列式 D 的值. 解 由已知， 13 M 4， 23 M 3， 33 M 5， 43 M 2， 则 13 A 4， 23 A 3， 33 A 5， 43 A 2 ， 又 13 a 2， 23 a 1， 33 a 3， 43 a 0 ， 依行列式的 Laplace 展开式定理有 D 2 4 ( 1) 3 3 5 0 ( 2) 20 . 例 1.11 计算行列式 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 D . 解 该行列式为上三角行列式，则 1 1 0 0 0 2 0 0 1 2 3 4 24 0 0 3 0 0 0 0 4 D . 例 1.12 计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D . 解 将第一行各元素乘以（1 ）后，分别加到第二、三、四行的对应元素 上去，再按第一列进行展开，即 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 2 0 2 2 2 0 1 1 1 1 0 2 2 0 D ； 再将第一列元素乘以( 1 )后加到第三列的对应元素上，然后按第二行展开
则有0-2-22-2= -2 ×(-1)2+1-16-200D=2-2-22-213333233例1.133计算行列式D=33333334解先提出第三行的公因子3，再将第一列各元素乘以（-1)后加到第二、三、四列的对应元素上去，然后按第三行展开，即333333222113323323-100D=11003333033403334303[222]1 110= 3×(-1)3+10-1 0-1:60=6.70000101aa2a, + xasaa2a,+xa4例1.14设f(x)=其中a，a,，aj，a,为常aa, +xa,asa + xa,asay数，求方程f(x)=0的根解将第一行各元素乘以（-1）后分别加到第二、三、四行的对应元素上四行中都提出公因子x，即去，再从第二、三、/aoay+xaz3a,+xa,as00010-1x-x x3f(x)=0100x-x0-100100-1 x-xaia +a,+a,+a +xa2a0001=x3=x(a +a, +a,+a +x)=0,01001000故方程的根为x=0或x=-(a+a,+a,+a)5
5 则有 2 1 0 2 2 2 2 2 0 0 2 ( 1) 16 2 2 2 2 2 D . 例 1.13 计算行列式 1 3 3 3 3233 3333 3334 D . 解 先提出第三行的公因子 3 ，再将第一列各元素乘以( 1 )后加到第二、三、 四列的对应元素上去，然后按第三行展开，即 1 3 3 3 1 3 3 3 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 1 0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 4 3 3 3 4 3 0 0 1 D 3 1 2 2 2 1 1 1 3 ( 1) 1 0 0 6 1 0 0 6 0 0 1 0 0 1 . 例 1.14 设 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) a a a a x a a a x a f x a a x a a a x a a a ，其中 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 为常 数，求方程 f x( ) 0 的根. 解 将第一行各元素乘以（1 ）后分别加到第二、三、四行的对应元素上 去，再从第二、三、四行中都提出公因子 x ，即 1 2 3 4 1 2 3 4 3 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 a a a a x a a a a x x x f x x x x x x 1 2 3 1 2 3 4 3 3 1 2 3 4 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a a a a x x x a a a a x ， 故方程的根为 x 0 或 1 2 3 4 x a a a a ( )
113412x?-163例1.15求解方程=0.35163335解将第一行各元素乘以（-3）后分别加到第二、三、四行的对应元素上一列展开，即去，再按第1/13 1344[1[x2 4-30x2-112x2-40360-340-44335160-400-4 x-12[35x20x2123o-4= -4(x+2)(x-2)(x+4)(x-4)=0,故方程的根为x=±2或x=±4，Jaxxx+xaxX例1.16计算n阶行列式D,=xxa..Xxxx.a解将行列式第二、三、…、n列各元素均加到第一列的对应元素上去，提出公因子（(n-1)x+α）后，再将第一行各元素乘以（-1)后分别加到第二、三、n行的对应元素上去，即Jaxx...XXxax...xaD=xxa...x=[(n-1)x+a]|1Aa...:：xxx...axx.a[1xxx..000.a-x00=[(n-1)x +a](a-x)n-1,=[(n-1)x+a]0a-x:...:+.000a-x..6
6 例 1.15 求解方程 2 2 1 1 3 4 3 1 6 12 0 3 3 5 16 3 3 5 x x . 解 将第一行各元素乘以（3 ）后分别加到第二、三、四行的对应元素上 去，再按第一列展开，即 2 2 2 2 2 2 1 1 3 4 1 1 3 4 4 3 0 3 1 6 12 0 4 3 0 0 4 4 3 3 5 16 0 0 4 4 0 4 12 3 3 5 0 0 4 12 x x x x x x 4( 2)( 2)( 4)( 4) 0 x x x x , 故方程的根为 x 2 或 x 4. 例 1.16 计算 n 阶行列式 n a x x x x a x x D x x a x x x x a . 解 将行列式第二、三、.、 n 列各元素均加到第一列的对应元素上去，提 出公因子（ ( 1) n x a ）后，再将第一行各元素乘以（1 ）后分别加到第二、三、.、 n 行的对应元素上去，即 1 1 [( 1) ] 1 1 n a x x x x x x x a x x a x x D n x a x x a x x a x x x x a x x a 1 1 0 0 0 [( 1) ] [( 1) ]( ) 0 0 0 0 0 0 n x x x a x n x a n x a a x a x a x
012cosα00...10102cosα...0010例1.17计算n阶行列式D,=2cosα............::00012cosα...解有些n阶行列式，直接应用展开定理和行列式的性质计算比较复杂，此时可以选择用数学归纳法进行计算当n=2时，2cosα14cosα-1,D,12cosα注意到结果中含中三角函数，在分子和分母上同乘sinα，应用三角公式进行化简，从而有2sin2αcosα-sinαsin3α+sinα-sinαsin3αD,=sinαsinaαsinα当n=3时，将D，按第一列展开得[2cosα012cosαD-DD,=2cosα-12cosα2cosαsin3αsin4α+sin2αsin2αsin4α=2cosα2c0S0sinαsinαsinαsinasin(n+1)α都成立，则当n=k时，将行列式按第一假设当n≤k+1时，LD:sinα列展开得sinkα sin(k-1)αD,=2cosαDk-1-Dk-2 =2cosαsinaαsinαsin(k+1)α+sin(k-1)αsin(k-1)αsin(k +1)αsinαsinαsinα由数学归纳法可得D, = sin(n+1)αsinα[-x+2x+3x,=5,例1.18 用克莱姆法则求解方程组x+3x-5x=5[-x +4x, +x =9.解因为7
7 例 1.17 计算 n 阶行列式 2cos 1 0 0 0 1 2cos 1 0 0 0 1 2cos 0 0 0 0 0 1 2cos Dn . 解 有些 n 阶行列式，直接应用展开定理和行列式的性质计算比较复杂，此 时可以选择用数学归纳法进行计算. 当 n 2 时， 2 2 2cos 1 4cos 1 1 2cos D ， 注意到结果中含中三角函数，在分子和分母上同乘 sin ，应用三角公式进行化 简，从而有 2 2sin 2 cos sin sin3 sin sin sin3 sin sin sin D ； 当 n 3 时，将 D3 按第一列展开得 3 2 1 2cos 1 1 0 2cos 2cos 1 2cos 1 2cos D D D sin3 sin 4 sin 2 sin 2 sin 4 2cos 2cos sin sin sin sin ； 假设当 n k 1 时， sin( 1) sin n n D 都成立，则当 n k 时，将行列式按第一 列展开得 1 2 sin sin( 1) 2cos 2cos sin sin k k k k k D D D sin( 1) sin( 1) sin( 1) sin( 1) sin sin sin k k k k ， 由数学归纳法可得 sin( 1) sin n n D . 例 1.18 用克莱姆法则求解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5, 3 5 5, 4 9. x x x x x x x x x 解 因为
332-12-13-5051-2D==6±0,-1024-2-15 2335231D, =|5-50-8=-6,42_2291055-1 533[-1 55010-21-5= 12 ,D, =0-1 9142251 2 5-1530101=0,D, =40249-1D.1=-1x=DD=2,由克莱姆法则得方程组的解为X2=DDa=0.x=D9用克莱姆法则解方程组例1.19x +ax, +ax, +a'x=1, +2x,+4x, +8x=1,x -x2 +x -x4 = 1,[x +cx, +c'x,+c3x=1,其中a#c，a,c-1且a,c#2解应用范德蒙行列式的结果，系数行列式a?a11a112248-1aLD=O4-11-11Ccccs8原1C[1设x=a，x=2，x=-l，x=c，则D=(x -x)(x-x)(x4 -x)(-x)(x4 -x2)(x4-x))8
8 1 2 3 1 2 3 1 3 5 0 5 2 6 0 1 4 1 0 2 2 D ， 1 5 2 3 5 2 3 5 3 5 0 1 8 6 9 4 1 2 22 0 5 5 D ， 2 1 5 3 1 5 3 1 5 5 0 10 2 12 1 9 1 0 4 2 D ， 3 1 2 5 1 2 5 1 3 5 0 5 10 0 1 4 9 0 2 4 D ， 由克莱姆法则得方程组的解为 1 1 2 2 3 3 1, 2, 0. D x D D x D D x D 例 1.19 用克莱姆法则解方程组 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1, 2 4 8 1, 1, 1, x ax a x a x x x x x x x x x x cx c x c x 其中 a c ，a c, 1 且 a c, 2 . 解 应用范德蒙行列式的结果，系数行列式 2 3 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 2 4 8 2 1 1 1 1 1 4 1 1 8 1 a a a a c D a c c c c a c . 设 1 x a ， 2 x 2， 3 x 1， 4 x c ，则 D x x x x x x x x x x x x ( )( ) ( )( )( ) 2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3
=(2-a)(-1-a)(c-a)(-1-2)(c-2)(c+1)=-3(a+1)(c+1)(a-2)c-2)c-a)￥0又a311α?481D =D,=0D, =11一11c2c3a?aC21824=0,=0,D, =D=-11-11c21c3cC1[x=],x = 0,故方程组的解为x; = 0,x =0.例1.20设非齐次线性方程组[x+y+2z=1,2x+ay+z=2,x+y+az=-2问a为何值时，方程组有唯一解？解非齐次线性方程组有唯一解的条件是系数行列式D≠0，即21[112]a-2-3=(a-2)±0，2a1=:10011a10a-2故当α±2时，方程组有唯一解例1.21设齐次线性方程组((1-1)x+ y+2z = 0,(2+1)y=0.X+3y+/z=0.问入何值时，方程组必有非零解，解齐次线性方程有非零解的充分必要条件是系数行列式D=0，即9
9 (2 )( 1 )( )( 1 2)( 2)( 1) a a c a c c 3( 1)( 1)( 2)( 2)( ) 0 a c a c c a ， 又 D D 1 ， 2 3 2 2 3 1 1 1 1 4 8 0 1 1 1 1 1 1 a a D c c ， 3 3 3 1 1 1 2 1 8 0 1 1 1 1 1 1 a a D c c ， 2 4 2 1 1 1 2 4 1 0 1 1 1 1 1 1 a a D c c ， 故方程组的解为 1 2 3 4 1, 0, 0, 0. x x x x 例 1.20 设非齐次线性方程组 2 1, 2 2, 2. x y z x ay z x y az 问 a 为何值时，方程组有唯一解？ 解 非齐次线性方程组有唯一解的条件是系数行列式 D 0 ，即 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0 2 3 ( 2) 0 1 1 0 0 2 a a a a a ， 故当 a 2 时，方程组有唯一解. 例 1.21 设齐次线性方程组 ( 1) 2 0, ( 1) 0, 3 0. x y z y x y z 问 何值时，方程组必有非零解. 解 齐次线性方程有非零解的充分必要条件是系数行列式 D 0 ，即
[-1212-0入+10=(元+1)°(元-2)=0,=(^+1)：123M1故当入=-1或入=2时，方程组有非零解.[11112-1-3例1.22计算行列式D=94118-1-271解军应用范德蒙行列式的结果，设x=2，x=-1，x=-3，x4=1，则D=(x2 -x)(x-x)(x4 -x)(x -x2)(x4 -x)(x4-x))=(-1-2)(-3-2)(1-2)(-3 +1)(1+1)(1+3)=240.10
10 2 1 1 2 1 2 0 1 0 ( 1) ( 1) ( 2) 0 1 1 3 ， 故当 1 或 2 时，方程组有非零解. 例 1.22 计算行列式 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 9 1 8 1 27 1 D . 解 应用范德蒙行列式的结果，设 1 x 2， 2 x 1， 3 x 3， 4 x 1，则 D x x x x x x x x x x x x ( )( ) ( )( )( ) 2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3 ( 1 2)( 3 2)(1 2)( 3 1)(1 1)(1 3) 240