《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第二章 矩阵（典型例题详解）

2)11例2.10化为行最简形将矩阵A=-1130(-1 解对矩阵作初等行变换，21110121300100-1-1A=30015006-112-1-110-111-1例2.2化为行最简形.将矩阵A=002-11-2210-321-11-111210-1-11-110002-10-1110-1解 A=00202000000111-2210-320000000x -x,+x, =0,例2.3求解线性方程组-x +x2 +2x, =-1,2x -3x, -x, =2.解对方程组的增广矩阵作初等行变换1-11102-110(A : b):=.2-1/2-302(12x, =3”因此方程组的解为x2 =-1,1X=3

例 2.1 将矩阵 1 1 2 0 1 1 1 0 3 A              化为行最简形. 解 对矩阵作初等行变换， 1 1 2 1 1 2 1 0 3 1 0 0 0 1 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 0 1 0 3 0 1 5 0 0 6 0 0 1 A                                              . 例 2.2 将矩阵 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 2 1 0 3 2 A                     化为行最简形. 解 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 ~ ~ 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 A                                                      . 例 2.3 求解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0, 2 1, 2 3 2. x x x x x x x x x                解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，   1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 4 2 1 1 2 1 0 0 3 1 0 1 3 2 2 3 1 2 0 1 3 2 1 001 3 A b                                                2 1 0 0 3 0 1 0 1 1 0 0 1 3                  , 因此方程组的解为 1 2 3 2 , 3 1, 1 . 3 x x x             

x+x-x+x=0,2x-x,+x,+2x=0,例2.4求解线性方程组3x +2x +x =0,-x, +2x, -2x, -x4 = 0.解因方程组的常数项全为零，故只需对系数矩阵做初等行变换，即1-11-11100(11(1100230002-110-31-100A=30210-35-200220003-30O000-12-200001则方程组的解为[x, = -x4x2=x4，其中x为自由未知量X,=X4X-x+3x+2x4=4,例2.5求解线性方程组+x+-4x=-2x +2x -x =1解对增广矩阵作初等行变换将其化为行最简形，即3111L-40(A : b)=2(10020则此方程组的解为X =-2x, +x4 +1,[ x2 = x +3x4 -3,其中x，x为自由未知量[x+x -x+x =1例2.6求解线性方程组-3x+2x-x4=0,-x +2x, +x =-3解对增增广矩阵作初等行变换将其化为行最简形，即1(A b) =-320DC00-一240C可得矛盾方程0=-5，故方程组无解

例 2.4 求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 0, 2 2 0, 3 2 0, 2 2 0. x x x x x x x x x x x x x x x                       解 因方程组的常数项全为零，故只需对系数矩阵做初等行变换，即 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 1 2 0 3 3 0 0 1 1 0 0 1 0 1 3 0 2 1 0 3 5 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A                                                                ， 则方程组的解为 1 4 2 4 3 4 x x x x x x          ，其中 4 x 为自由未知量. 例 2.5 求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 3 2 4, 4 2, 2 1. x x x x x x x x x x x                  解 对增广矩阵作初等行变换将其化为行最简形,即   1 1 3 2 4 1 1 3 2 4 1 0 2 1 1 1 1 1 4 2 ~ 0 2 2 6 6 ~ 0 1 1 3 3 1 0 2 1 1 0 1 1 3 3 0 0 0 0 0 A b                                               ， 则此方程组的解为 1 3 4 2 3 4 2 1, 3 3, x x x x x x           其中 3 4 x x, 为自由未知量. 例 2.6 求解线性方程组 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1, 3 2 0, 2 3. x x x x x x x x x x                 解 对增增广矩阵作初等行变换将其化为行最简形,即   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 2 1 0 ~ 0 3 1 2 3 ~ 0 3 1 2 3 1 2 0 1 3 0 3 1 2 2 0 0 0 0 5 A b                                            . 可得矛盾方程 0 5  ,故方程组无解

例2.7已知A计算(1) A-2B;(2) AB, CFA;(3) A-B?+2AB-2BA;(4) CID, DTC.解2A2(1) A-2B:n(2) ABCFA451615123(3）R-BA=3A°-B’+2AB-2BA

例 2.7 已知 2 1 3 1 1 1 1 2 1 A             ， 1 2 1 0 1 1 3 1 1 B              ， 2 1 3 1 1 2 C            ， 1 2 3 D            ， 2 1 1 1 0 1 F         ，计算 （1） A B 2 ； （2） AB ，CFA ； （3） 2 2 A B AB BA    2 2 ； （4） T C D ， T D C . 解 （1） 2 1 3 2 4 2 0 3 5 2 1 1 1 0 2 2 1 1 1 1 2 1 6 2 2 5 4 3 A B                                             ； （2） 2 1 3 1 2 1 11 8 4 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 3 1 1 4 1 4 AB                                  ， 2 1 2 1 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 CFA                                5 2 3 2 1 3 15 3 16 5 3 2 1 1 1 15 2 14 4 1 3 1 2 1 12 3 14                                      ； （3） 2 2 1 3 2 1 3 6 3 10 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 5 3 2 A                                     ， 2 1 2 1 1 2 1 2 3 2 0 1 1 0 1 1 3 2 0 3 1 1 3 1 1 0 6 1 B                                  ， 1 2 1 2 1 3 1 5 4 0 1 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 2 1 4 6 9 BA                                  ， 2 2 A B AB BA    2 2

10-339-320-X-19522(4) CD:2D’C=(1,2,3) -=(-1,9) .-312例2.8设A为三阶方阵，且A=3，求AA解AA=|3A=33A=33×3=81.(20113例2.9已知A=且2X+B=A+3X，求X.(o 11312X=B-A，即解由已知条件可知，20X例2.10已知Af(x)=2x2+3x-1,求f(A)解由已知，方阵A的多项式f(A)=2A+3A-E，因4-( 1 )-(2 2)故(4)-2(2 2)x(-1 )-(6 9)-(。 7)

6 3 10 2 3 2 11 8 4 1 5 4 2 2 1 3 2 0 2 2 0 1 2 0 1 2 5 3 2 0 6 1 4 1 4 4 6 9                                                        32 0 8 1 2 3 5 19 23                  ； （4） 1 2 3 1 1 2 1 1 2 9 3 T C D                           ，     2 1 1, 2,3 3 1 1,9 1 2 T D C               . 例 2.8 设 A 为三阶方阵，且 A  3 ，求 A A . 解 3 3 A A A A      3 3 3 3 81. 例 2.9 已知 1 1 3 1 1 1 1 3 1 A              ， 2 0 1 1 2 1 0 1 2 B             ,且 2 3 X B A X    ，求 X . 解 由已知条件可知， X B A   ，即 2 0 1 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 1 3 1 1 2 3 X                                          . 例 2.10 已知 1 1 1 1 A          ， 2 f x x x ( ) 2 3 1    ，求 f A( ) . 解 由已知，方阵 A 的多项式 2 f A A A E ( ) 2 3    ，因 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 A                        , 故 2 2 1 1 1 0 6 7 ( ) 2 3 2 2 1 1 0 1 7 6 f A                                    

10例 2. 11设A=而n≥2为正整数，求A"-2A"-l0101)(1解由于A"-2A"-1=(A-2E)A"-I，而(-1 0 1A-2E=00010-1易见（A-2E)A=0，从而有A"-2An-l=0(1-111求(αα)10例2.12设α=(a,b,c)，已知αα-11-11解由已知条件可知，a(a)abac1162aatabbch(a,b,c)1-112bcac11c即α?=b=c=1，且ab=-1,ac=1,bc=-1，可解得或a所以1α α=(1 -1,1)3或αα=(-1,1-(αα)10 = 310因此1例2. 13已知α=(1,2,3)，β=(1,)，设A=αβ，求A"2'3解因为A" =(αβ)" =αT (βα")(βα)...(βα)β月一1个又因为BαT=3，故A"=α×3"-l×β=3"-αβ=3"-A.又19323

例 2.11 设 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A            ，而 n  2 为正整数，求 1 2 n n A A   . 解 由于 1 1 2 ( 2 ) n n n A A A E A      ，而 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 A E               ， 易见 ( 2 ) A E A   0 ，从而有 1 2 n n A A    0 . 例 2.12 设 ( , , )T   abc ，已知 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T                 ，求 10 ( ) T   解 由已知条件可知， 2 2 2 1 1 1 ( , , ) 1 1 1 1 1 1 T a a ab ac b a b c ab b bc c ac bc c                                       ， 即 2 2 2 abc   1 ，且 ab ac bc      1, 1, 1 ，可解得 1 1 1             或 1 1 1               ， 所以 1 (1, 1,1) 1 3 1 T                 或 1 ( 1,1, 1) 1 3 1 T                   ， 因此 10 10 ( ) 3 T    . 例 2.13 已知   (1, 2,3) ， 1 1 (1, , ) 2 3   ，设 T A   ，求 n A . 解 因为 1 ( ) ( )( ) ( ) n T n T T T T n A           个 ， 又因为 1 1 1 (1, , ) 2 3 2 3 3 T              ，故 1 1 1 3 3 3 n T n n T n A A             .又

1-12-3:2-311A=αβ-22-2'333-231从而有11-31 3"-1 2-30/3"-222-3A" = 3"-112 · 3"-13-12·3"-223"3-233"-1312例2.14设n阶方阵A，B满足A=A，B=B，（A+B)=A+B，证明：AB=0.解由已知条件，(A+B) =(A+B)(A+B)= A? + AB+BA+B2 = A+AB+BA+B= A+B,即(1)AB+BA=0,用A左乘（1）式，得(2)AB+ABA=AB+ABA=0,再用A右乘（1）式，得(3)ABA+BA°=ABA+BA=0,用（2）式减去（3）式，得AB-BA=0,即AB=BA，代回（1）式，可得AB=0.例2.15设A为n阶方阵，且A=α+0，而A是A的伴随矩阵，求A解由AA=AE，从而有[44]=|4]|4|=|4

1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1, , 2 1 2 3 3 3 3 3 1 2 T A                                      ， 从而有 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 2 2 3 2 1 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 2 2 n n n n n n n n n n n A                                              . 例 2.14 设 n 阶方阵 A , B 满足 2 A A  ， 2 B B  ， 2 ( ) A B A B    ，证明： AB  0. 解 由已知条件， 2 2 2 ( ) ( )( ) A B A B A B A AB BA B A AB BA B A B               ， 即 AB BA   0， （1） 用 A 左乘（1）式，得 2 A B ABA AB ABA     0， （2） 再用 A 右乘（1）式，得 2 ABA BA ABA BA     0， （3） 用（2）式减去（3）式，得 AB BA   0， 即 AB BA  ，代回（1）式，可得 AB  0. 例 2.15 设 A 为 n 阶方阵，且 A a   0 ，而 * A 是 A 的伴随矩阵，求 * A . 解 由 * AA A E  ，从而有 * * n AA A A A  

又因A=α0得[A|=|A"-- = "-1 例2.16设A,B均为n阶方阵，且A=3，B=2，求2AB-解由AA=AE可得[AA|-|A|A|-|A",又因|A|=3+0,则有A=A"-,故[2 A'B-|= 2"|A|B-| = 2" 3"- ,=6n-l2(1 1-1)例2.17设A=021求A-I.(003)解因为A的行列式11[4| = 0 21=6±0,003且-33603A*-1020故有111-226-331-203066A00211300(112 1(120-23例2.18已知AX=B，其中A=1B:求X.-11-2-31解因为A的行列式

又因 A a   0 得 1 * 1 n n A A a     . 例 2.16 设 AB, 均为 n 阶方阵，且 A  3， B  2 ，求 * 1 2A B . 解 由 * AA A E  可得 * * n AA A A A   , 又因 A  3 0 ,则有 1 * n A A   ,故 * 1 * 1 1 1 1 2 2 2 3 6 2 n n n n A B A B          . 例 2.17 设 1 1 1 0 2 1 0 0 3 A             ，求 1 A  . 解 因为 A 的行列式 1 1 1 0 2 1 6 0 0 0 3 A     ， 且 * 6 3 3 0 3 1 0 0 2 A              ， 故有 1 * 1 1 1 2 2 6 3 3 1 1 1 1 0 3 1 0 6 2 6 0 0 2 1 0 0 3 A A A                                     . 例 2.18 已知 AX B  ，其中 1 1 1 1 2 0 2 1 , 2 3 1 1 2 1 3 A B                           ，求 X . 解 因为 A 的行列式

11A=021-4±0,-2/1-1则A可逆，又AX=B，则有X=AB.(-31-1由于 A =-3 1从而有-12-22311-414143-4111A-1144A1.11(222因此3-413-21-40-412)31-4313-21X = A-B =424-3)1(2_1112(1 -2)(2 1B=求X.例2.19已知XA=B-2E，其中A=-1 0-1)2解因A=3+0，且XA=B-2E，则有1210)]G )X =(B-2E)A-l--2-100111-31-3:22-31-31二513-2433例2.20已知3阶方阵A满足21-3)-5-39A? =116-2-3-24-26917-36

1 1 1 0 2 1 4 0 1 1 2 A      ， 则 A 可逆，又 AX B  ，则有 1 X A B  . 由于 * 3 1 1 1 3 1 2 2 2 A                 ，从而有 1 * 3 1 1 4 4 4 1 1 3 1 4 4 4 1 1 1 2 2 2 A A A                       ， 因此 1 3 1 1 3 0 4 4 4 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 4 4 4 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 X A B                                                     . 例 2.19 已知 XA B E  2 ，其中 1 2 2 1 A          ， 2 1 1 0 B         ，求 X . 解 因 A  3 0 ，且 XA B E  2 ，则有 1 1 2 1 1 0 1 2 ( 2 ) 2 1 0 0 1 2 1 X B E A                                  1 2 2 1 0 1 3 3 3 3 1 2 2 1 5 4 3 3 3 3                                       . 例 2.20 已知 3 阶方阵 A 满足 2 2 1 3 1 1 2 3 2 6 A                ， 3 5 3 9 3 2 6 9 6 17 A               

求A.解因A-A=(A-E)A，则有(A-E)=(A-A)A)-"，又因2-3-4 12)1-720-3[4]=11-2=1+0,A3-A?:-48(A)-I =0611)-3-21281从而-7-412001100312A=1281100351135321例2.21设方阵A满足A+3A-4E=0，证明：A+E可逆，并求（A+E)-1证由A+3A-4E=0可得A+A+2A+2E-6E=A(A+E)+2(A+E)-6E=0,I(A+2E)(A+E)=E,则有又因(4+2E)[4+E|-|E|=1#0,6从而A+E+0，故A+E可逆，且1(A+E)-l =(A+2E).6例2.22已知A为三阶方阵,B为四阶方阵,且|4=5,[B=-6,C={A °0B求[cl.解C|=|A|B|=-30.(-100100的逆矩阵.例2.23求矩阵A：00100，其中4=C)，4解设A:04

求 A . 解 因 3 2 2 A A A E A    ( ) ，则有 3 2 2 1 ( ) ( )( ) A E A A A     ，又因 2 2 1 3 1 1 2 1 0 3 2 6 A        ， 3 2 7 4 12 4 3 8 12 8 11 A A                 ， 2 1 2 0 1 ( ) 0 3 1 1 1 1 A             ， 从而 7 4 12 2 0 1 1 0 0 1 0 1 4 3 8 0 3 1 0 1 0 0 0 1 12 8 11 1 1 1 0 0 1 35 35 32 A                                            . 例 2.21 设方阵 A 满足 2 A A E    3 4 0 ，证明： A E 可逆，并求 1 ( ) A E   . 证 由 2 A A E    3 4 0 可得 2 A A A E E A A E A E E           2 2 6 ( ) 2( ) 6 0 ， 则有 1 ( 2 ) ( ) 6 A E A E E          ， 又因 1 ( 2 ) 1 0 6 A E A E E      ， 从而 A E  0 ，故 A E 可逆,且 1 1 ( ) ( 2 ) 6 A E A E     . 例 2.22 已知 A 为三阶方阵， B 为四阶方阵，且 A  5，B  6， A C B        0 0 ， 求 C . 解 C A B   30 . 例 2.23 求矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 A                的逆矩阵. 解 设 1 2 A A A        0 0 ，其中 1 1 1 1 1 A         ， 2 1 1 1 1 A         ,又

1-21121-21-2At'A.二121-2-1-22故11200-2110021211-200121I10022)(0A例2.244设C：其中A为n阶可逆矩阵，B为m阶可逆矩阵，求(B0C-l.A,M解设C-1则CC-l=E，即AA,AA.AAHBABAH则有AA =E,AA =0,BA =E,BA, =0,由A，B均可逆可得A=0, A=B-I, A =A, A =0,从而有B1000a,000az...:例2.25设C=.其中a +0(i=l,2，.*,n),:000...an-1000...a

1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 A                ， 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 A                ， 故 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 A A A                                      0 0 . 例 2.24 设 A C B        0 0 ，其中 A 为 n 阶可逆矩阵， B 为 m 阶可逆矩阵，求 1 C  . 解 设 1 1 3 2 4 A A C A A         ，则 1 CC E   ，即 3 4 1 2 AA AA E BA BA E              0 0 ， 则有 AA E 3  ， AA4  0， BA E 1  ， BA2 = 0， 由 A， B 均可逆可得 A1  0， 1 A B 2   ， 1 A A 3   ， A4  0 ， 从而有 1 1 1 B C A           0 0 . 例 2.25 设 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n a a C a a                   ，其中 0 i a  （ i 1， 2 ， ， n ）