《高等数学》课程教学大纲课程代码：511210适用专业：物理学开设学期：第1、2学期考核方式：考试学时学分：176（理论）+0（实践）11学分编写人：卫银虎审核人：审批人：一、课程性质：高等数学是理工科本科专业学生的一门必修的重要基础理论课。其任务是使理工科学生掌握数学方面的基本理论、基本知识和基本技能，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法，分析问题和解决问题的能力；为从事所学专业的工作打下坚实的基础。根据物理学专业的特点，以及该专业对高等数学各知识点的要求，侧重于将物理背景渗透到数学知识中。提高学生将数学知识应用到本专业的能力。二、教学目的与任务（一）知识：通过学习使学生掌握函数、极限与连续；一元函数微积分；一阶微分方程及二阶线性常系数微分方程：向量代数与空间解析几何；多元函数微分学；重积分：曲线积分与曲面积分；无穷级数等高等数学的基础知识。定积分在物理学上的应用；微分方程在物理学上的应用；全微分在近似计算中的应用；重积分在物理学中的应用；（二）能力：通过学习使学生具备基本运算能力、空间想象能力、数形结合能力、逻辑思维能力和简单实际应用能力。提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识。能够将数学思想方法融入物理专业课程中的能力。（三）态度与情感：通过学习使学生1、形成科学思维方法和辩证唯物主义思想。2、形成理性的人生情感态度
《高等数学》课程教学大纲 课程代码：511210 适用专业：物理学 开设学期：第 1、2 学期 考核方式：考试 学时学分：176（理论）+0（实践） 11 学分 编写人：卫银虎 审核人： 审批人： 一、课程性质： 高等数学是理工科本科专业学生的一门必修的重要基础理论课。其任务是使 理工科学生掌握数学方面的基本理论、基本知识和基本技能，培养学生的运算能 力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法，分析问题和 解决问题的能力；为从事所学专业的工作打下坚实的基础。根据物理学专业的特 点，以及该专业对高等数学各知识点的要求，侧重于将物理背景渗透到数学知识 中。提高学生将数学知识应用到本专业的能力。 二、教学目的与任务 （一）知识：通过学习使学生掌握 函数、极限与连续；一元函数微积分；一阶微分方程及二阶线性常系数微分 方程；向量代数与空间解析几何；多元函数微分学；重积分；曲线积分与曲面积 分；无穷级数等高等数学的基础知识。定积分在物理学上的应用；微分方程在物 理学上的应用；全微分在近似计算中的应用；重积分在物理学中的应用； （二）能力：通过学习使学生具备 基本运算能力、空间想象能力、数形结合能力、逻辑思维能力和简单实际应 用能力。提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识。能够将数 学思想方法融入物理专业课程中的能力。 （三）态度与情感：通过学习使学生 1、形成科学思维方法和辩证唯物主义思想。 2、形成理性的人生情感态度
三、与其它专业课程的关系该课程是物理专业课程的数学基础课程。四、学时数及分配学时分配表（第1学期）序号章次课时数教学内容及知识点1第1章14函数与极限214第2章导数与微分318第3章微分中值定理与导数的应用416第4章不定积分5第5章定积分14614第6章定积分的应用合计80学时分配表（第2学期）序号章次课时数教学内容及知识点201第7章常微分方程2第8章12空间解几何与向量代数316第9章多元函数微分法及其应用4第10章重积分16516第11章曲线积分与曲面积分6第12章16无穷级数合计96五、教学方法讲授法、讨论法（以“雨课堂”作为交流工具，丰富师生互动方式，提高学生课堂参与度，实时了解学生对知识的掌握程度，强化薄弱环节教学过程）六、考核方式及成绩评定方法闭卷考试。平时成绩占40%，期考成绩占60%。七、教材或主要参考书1.《高等数学》（上、下册）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社。2.《高等数学》（上、下册）张卓奎、王金金主编，北京邮电大学出版社。八、课程章节教学要求及理论教学内容
三、与其它专业课程的关系 该课程是物理专业课程的数学基础课程。 四、学时数及分配 学时分配表（第 1 学期） 序号 章次 教学内容及知识点 课时数 1 第 1 章 函 数与 极 限 14 2 第 2 章 导 数与 微 分 14 3 第 3 章 微 分中 值 定理 与 导数 的 应用 18 4 第 4 章 不 定积 分 16 5 第 5 章 定 积分 14 6 第 6 章 定 积分 的 应用 14 合计 80 学时分配表（第 2 学期） 序号 章次 教学内容及知识点 课时数 1 第 7 章 常 微分 方 程 20 2 第 8 章 空 间解 几 何与 向 量代 数 12 3 第 9 章 多 元函 数 微分 法 及其 应 用 16 4 第 10 章 重 积分 16 5 第 11 章 曲线积分与曲面积分 16 6 第 12 章 无穷级数 16 合计 96 五、教学方法 讲授法、讨论法（以“雨课堂”作为交流工具，丰富师生互动方式，提 高学生课堂参与度，实时了解学生对知识的掌握程度，强化薄弱环节教学过程） 六、考核方式及成绩评定方法 闭卷考试。平时成绩占 40%，期考成绩占 60%。 七、教材或主要参考书 1.《高等数学》（上、下册）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社。 2.《高等数学》（上、下册）张卓奎、王金金主编，北京邮电大学出版社。 八、课程章节教学要求及理论教学内容
第一章函数与极限【教学要求】理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性：理解反函数和复合函数概念；理解极限概念；理解极限存在的夹逼准则；了解极限存在的单调有界准则；熟练掌握极限的四则运算法则；掌握两个重要极限；理解无穷小量，掌握它的性质；掌握无穷小量的比较；理解无穷大量及其与无穷小量的关系；理解极限与无穷小量的关系；理解函数连续性的概念；会求函数的间断点；熟练掌握连续函数的性质；掌握初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，【重点难点】重点：极限的概念及其运算；连续的概念与初等函数的连续性，难点：极限的概念【教学内容】集合的一般概念、映射的概念、函数的概念；反函数和复合函数；初等函数；数列的极限、函数的极限；无穷小与无穷大；极限的运算法则、极限存在准则；两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性、连续函数的运算法则与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质、物理案例。极限理论是高等数学的基石，函数的连续性、导数、定积分等重要概念都是在它的基础上建立起来的，它是研究导数、积分、级数等不可缺少的工具；案例：极限p= limAqAV-0AV电荷体密度的定义：= lim AgAS0AS电荷面密度的定义：m电荷面密度的定义：
第一章 函数与极限 【教学要求】 理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性； 理解反函数和复合函数概念；理解极限概念；理解极限存在的夹逼准则；了 解极限存在的单调有界准则；熟练掌握极限的四则运算法则；掌握两个重要 极限；理解无穷小量，掌握它的性质；掌握无穷小量的比较；理解无穷大量 及其与无穷小量的关系；理解极限与无穷小量的关系；理解函数连续性的概 念；会求函数的间断点；熟练掌握连续函数的性质；掌握初等函数的连续性， 了解闭区间上连续函数的性质． 【重点难点】 重点：极限的概念及其运算；连续的概念与初等函数的连续性． 难点：极限的概念． 【教学内容】 集合的一般概念、映射的概念、函数的概念；反函数和复合函数；初等函数； 数列的极限、函数的极限；无穷小与无穷大；极限的运算法则、极限存在准则； 两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性、连续函数的运算法则与初等函数 的连续性、闭区间上连续函数的性质、物理案例。极限理论是高等数学的基石， 函数的连续性、导数、定积分等重要概念都是在它的基础上建立起来的，它是研 究导数、积分、级数等不可缺少的工具； 案例：极限 电荷体密度的定义： V q lim V 0 电荷面密度的定义： S q lim S 0 电荷面密度的定义： l q lim l 0
第二章导数与微分【教学要求】深刻理解导数的定义，了解导数的几何意义；掌握平面曲线的切线方程与法线方程的求法；理解函数可导与连续的关系；熟练掌握函数和、差、积、商的求导运算法则、复合函数求导法则：掌握反函数求导法则；牢牢记住基本初等函数的求导公式；掌握初等函数的求导问题；掌握隐函数求导法、对数求导法及参数方程所确定函数的求导法；理解高阶导数的定义；理解微分的定义；掌握微分的运算法则及一阶微分形式不变性。【重点难点】重点：导数的定义及其几何意义；函数和、差、积、商的求导运算法则；复合函数求导法则；初等函数的求导问题；微分定义。难点：复合函数求导法则。【教学内容】导数的概念、函数的求导法则、隐函数及参数方程所确定的函数的导数、高阶导数、函数的微分、物理案例。导数概念是根据解决实际问题的需要，在前章函数与极限这两个概念的基础上建立起来的，它是微分学中最重要的概念。微分是微分学中又一重要概念，它与导数有着密切的联系。两者在科学技术与工程实际中有着广泛的应用。案例：导数与微分：（一）力学中的应用：Ar_dr-r度1-drdsdrV=dtdtdt速度大小（速率）：速度方向：沿轨迹切线方向。Av_dv_d3-1mtdtd?加速度
第二章 导数与微分 【教学要求】 深刻理解导数的定义，了解导数的几何意义；掌握平面曲线的切线方程与法 线方程的求法；理解函数可导与连续的关系；熟练掌握函数和、差、积、商的求 导运算法则﹑复合函数求导法则；掌握反函数求导法则；牢牢记住基本初等函数 的求导公式；掌握初等函数的求导问题；掌握隐函数求导法、对数求导法及参数 方程所确定函数的求导法；理解高阶导数的定义；理解微分的定义；掌握微分的 运算法则及一阶微分形式不变性。 【重点难点】 重点：导数的定义及其几何意义；函数和﹑差﹑积﹑商的求导运算法则；复 合函数求导法则；初等函数的求导问题；微分定义。 难点：复合函数求导法则。 【教学内容】 导数的概念、函数的求导法则、隐函数及参数方程所确定的函数的导数、高 阶导数、函数的微分、物理案例。导数概念是根据解决实际问题的需要，在前章 函数与极限这两个概念的基础上建立起来的,它是微分学中最重要的概念。微分 是微分学中又一重要概念，它与导数有着密切的联系。两者在科学技术与工程实 际中有着广泛的应用。 案例：导数与微分： （一）力学中的应用： 速度 速度大小（速率）： 速度方向：沿轨迹切线方向。 加速度
α=al=d tdt加速度的大小：加速度的方向：V变化的方向de=8@=dt·角速度：da-6α=dt·角加速度：dsRdeVW=Rodtdt·线速度：AV(t + At) - v(t)a= lim一limAtat→0t-0At·加速度：(t +A)(t)A如图示，有：AV=AVn+AVna=an+at+αt的大小：Advd(ra)da[a-= m=radt420dtdtAtat的方向：At→0时，at的方向为切线方向。at叫切向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。[AvBCtx的大小：Vr
加速度的大小： 加速度的方向： 变化的方向 ·角速度： ·角加速度： ·线速度： ·加速度： 如图示，有： 的大小： 的方向： 时， 的方向为切线方向。 叫切向加速度，它是描述 速率变化快慢的物理量。 的大小：
AVVBC=lim=limmoratA-0AtAsvrAs_Ylit2=wrax=li0rAtr-oAtr方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。产=Rcosati+Rsinat（R、α为常量），求质点例题1、已知运动函数为的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。解：速度：由速度的定义式有a -d+dj --Rasinati+Racosaf加速度：由加速度的定义式有d'r_axi+dyi=--Ra?cosati-Ra?sinatiddtdt切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率a+(y12dtdt=Rodv=0a,dt，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。v2=ORa=R法向加速度：，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆周运动，法向加速度的方向指向圆心，例2：一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S=5+4t-t2（SI)，则小球运动到最高点的时刻应是？ds=4-2t2=解：小球运动速度大小“-dto当小球运动到最高点时v=0，即4-2t=0，t=2（s）。例题3、灯距地面高度为hl，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为多少？解：建立直角坐标系Oxy，如图
方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。 例题 1、已知运动函数为 （ 、 为常量），求质点 的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。 解：速度：由速度的定义式有 加速度：由加速度的定义式有 切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率 ，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。 法向加速度： ，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆 周运动，法向加速度的方向指向圆心。 例 2：一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 （SI），则小球运 动到最高点的时刻应是？ 解：小球运动速度大小 。 当小球运动到最高点时 v=0，即 ，t=2（s）。 例题 3、灯距地面高度为 h1，一个人身高为 h2，在灯下以匀速率 v 沿水平直 线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子 M 点沿地面移动的速度为多少? 解：建立直角坐标系 Oxy，如图
hih2M7770777XXM由题意知，任意时刻t，头顶在地上的影子M点的位置坐标为*M，人的脚的位置坐标为*A，因*M和*同在x轴上，所以可用正负号表示他们的方向。AXMXAhi-h2根据三角形相似原理：hidxAhdxm2VMhi-hahi-ha dtdt由速度定义hi-vi4Mh-haV,=V)O当人沿X轴正方向行走时，:h-viVMhi-ha当人沿X轴负方向行走时，=-O0说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可求加速度、这是求解质点的速度和加速度的方法之练习：距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转动，当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率V=x船解：以河岸为x轴，船离原点距离1=500m，则探照灯光束照在岸上的坐标为x=}·，其中角为光束和船与原点连线之间的夹角。于是光束沿岸边移动的速度大小为：
由题意知，任意时刻 t，头顶在地上的影子 M 点的位置坐标为 ，人的脚 的位置坐标为 ，因 和 同在 x 轴上，所以可用正负号表示他们的方向。 根据三角形相似原理: 。 由速度定义 当人沿 X 轴正方向行走时， ， ； 当人沿 X 轴负方向行走时， ， 。 说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点 的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可 求加速度、这是求解质点的速度和加速度的方法之一。 练习：距河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 转动，当光束与岸边成 60°角时，光束沿岸边移动的速率 。 解：以河岸为 x 轴，船离原点距离 l=500m，则探照灯光束照在岸上 的坐标为 ，其中 角为光束和船与原点连线之间的夹角。 于是光束沿岸边移动的速度大小为：
1dedx0cos"g.dtcose dt当光束与岸边成60°角时，8=30°12元×1=69.8 (m·s-l)V=500x60Cos230°例2.3.3-1如例2.3.3-1图所示，长为1，质量为m的绳以一端为轴匀角速の旋转，求绳中张力。解：绳中取一小质元（微元法），Am==Ar1以小质元为研究对象得：Fi(r)-F(r+Ar)=Ama'r="Ara"r当Ar→0时，=drFi(r+r)-F(n)=dFma'rdr-dFI=整理得：AmOERo-r+c积分解得：21F()F(r+An)自由端条件，r=1时，F(r)=0mo(2-r2)Fr(r)=整理得：21
， 当光束与岸边成 60°角时
例2.3.3-2如例2.3.3-2图所示，首尾相接的圆环状绳长为！，质量为m，绳以圆心为中心匀角速转动，求绳中张力。F(0+AO)m.(r.e)解：绳中取一小质元，Am=2元对小质元法线方向应用牛顿第二定律：F(β+0) sin(40) +F(0) sin(40)=NmaFr22当Dq甄O时,sin(g)？dgdF=F(0+△)-F(0)整理得：[2F,(@)+dF-}]d0=m(r-d0).r2元忽略二级量dF·de，整理得F(0)=mo_m.L.0=mlO4元2元2元2元例2.3.3-3 有重物m，用缠绕在水平柱上的绳子将其拉住，柱与绳间的摩擦因数为μ，为使重物不下落，所用最小拉力为多大？解：取一小质元（微元法），对所取微元应用牛顿F+ +F(0+A0) cos(40)-F() cos(,40)= 0切线方向：1()+F(0+) sin(F=F()sin(-40法线方向：最大静摩擦：F,=UFN
sin(40)4,cos(40)1当Dg？o时，F→dFAe→dedF-ude忽略二阶小量，整理得：FIdFr Fi-jude两边定积分：FTnFr =mgeue积分解得：举例计算：如，9=5元（两圈半），mg=2000kgfμ=0.48计算得：F=1kgf即，由于摩擦力的作用，可用1公斤的力拉住2吨的重量（二）、电磁学中的应用dqp=-dv电荷体密度的定义：dq9=ds电荷面密度的定义：a=ddl电荷面密度的定义：面元：dsds的通量：do线元：dl电荷元：dg元功：dw磁通量d=d(B.S)=dB·S+B·ds第三章微分中值定理与导数的应用【教学要求】
（二）、电磁学中的应用 电荷体密度的定义： dV dq 电荷面密度的定义： dS dq 电荷面密度的定义： dl dq 面元：dS dS 的通量：d 线元：dl 电荷元：dq 元功：dW 磁通量 d d B S dB S B dS 第三章 微分中值定理与导数的应用 【教学要求】