《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第四章 特征值、特征向量及二次型（习题，含答案）

总习题四4.1设α(1)求α，β，及(α,β)，(α,r);（2）间α与β及α与是否正交，并将α，β，单位化4.2试将下列向量组化为标准正交向量组(-1)(-1)(1)(1) α, =01a=01(2)α,=02/(3)α=aαI)-1)/4.3判断下列矩阵是否为正交矩阵24133V55(1-11221-2(1) A:(2) A=/133V55112-5033V54.4求下列矩阵的特征值与特征向量1(1) A:2200(2) A=001(324)02(3) A:423

总习题四 4.1 设 3 1 1             ， 1 2 1              ， 2 1 0             ， （1）求  ，  ，  及 ( , )   ，( , )   ； （2）问  与  及  与  是否正交，并将  ，  ， 单位化. 4.2 试将下列向量组化为标准正交向量组 （1） 1 1 1 0              ， 2 1 0 1              ， 3 1 1 1             ； （2） 1 1 2 0              ， 2 1 0 1              ， 3 2 1 2             ； （3） 1 1 1 1 1                 ， 2 1 1 1 1                 ， 3 1 1 1 1               . 4.3 判断下列矩阵是否为正交矩阵 （1） 1 1 1 1 2 0 1 1 1 A              ；（2） 2 4 1 3 3 5 5 1 2 2 3 3 5 5 2 5 0 3 3 5 A                       . 4.4 求下列矩阵的特征值与特征向量 (1) 1 1 2 4 A         ； （2） 1 2 2 0 1 0 0 0 1 A              ； （3） 324 2 0 2 423 A            ；

(123)21(4) A=3(336)4.5判断下列矩阵能否对角化，若能，请求出相似变换矩阵2)(1 1(2001321-20(1) A:(2)A=(023）1-10(122)-1 1 0212-430(3) A=2(4) A=(2 2 0211(2 0 0)(0 0)00x2与Λ=01相似，4.6设A=(0 2x)005(1）求x.y的值：（2）求可逆矩阵P使得P-AP=Λ为对角矩阵4.7设3阶方阵A的特征值为-1,-1,5所对应的特征向量为-1)00a,1求A.-αg，其中4.8设方阵A满足Aα=0，Aα,=αz，Aα,=(0)010a,21)求A.4.9设n阶矩阵A满足A+2A-3E=0，证明：（1）A的特征值只能是1或-3；（2）A+E可逆4.10设A为n阶矩阵，试证齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A有零特征值4.11设3阶矩阵A的特征值为^=1，=2，=3，所对应的特征向量分别为

（4） 1 2 3 2 1 3 3 3 6 A            . 4.5 判断下列矩阵能否对角化，若能，请求出相似变换矩阵. （1） 1 1 2 1 1 2 1 1 0 A              ；（2） 2 0 0 0 3 2 0 2 3 A            ； （3） 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A            ； （4） 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A             . 4.6 设 2 0 0 0 2 0 2 A x x            与 0 0 0 1 0 0 0 5   y           相似， （1）求 x y, 的值； （2）求可逆矩阵 P 使得 1 P AP    为对角矩阵. 4.7 设 3 阶方阵 A 的特征值为  1, 1,5 所对应的特征向量为 1 1 0 1              , 2 0 1 1              , 3 1 1 1             , 求 A . 4.8 设方阵 A 满足 1 A  0， A  2 2  ， A  3 3   ，其中 1 0 1 1             , 2 1 2 2             , 3 0 0 1             , 求 A . 4.9 设 n 阶矩阵 A 满足 2 A A E    2 3 0 ，证明：（1） A 的特征值只能是 1 或3 ；（2） A E 可逆. 4.10 设 A 为 n 阶矩阵，试证齐次线性方程组 Ax  0 有非零解的充分必要条件是 A 有 零特征值. 4.11 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1  1 ， 2   2 ， 3   3 ，所对应的特征向量分别为

文设B==1(1)C1（1）将β用5,52,5,线性表示；（2）A"β（n为自然数）.4.12设3阶方阵A的特征值分别为1.2.3，求(1)A-4E：（2)A-"-2E；（3)[A-5E3(1) A=求AI0-5A°4.13-23(200)求A-4A.032(2) A=(023)4.14求正交矩阵P使得P-AP=PTAP=Λ为对角矩阵.(41)(1) A:41(2 0 4)060(2) A=(402)02(1020(3) A=(2 0-2(5 0 0)03(4) A=103)1(2 0000)1202a与B=00相似，4.15设A=1320 b(o0(1)求a,b;求一正交矩阵P，使得P-AP=PIAP=B(2)4.16设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，且已知齐次线性方陈组Ax=0的两个解

1 1 1 1             ， 1 1 1 1             ， 1 1 1 1             ，又设 1 1 3             （1）将  用 1 2 3    , , 线性表示； （2） n A  （ n 为自然数）. 4.12 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1,2,3 ，求 （1） A E  4 ；（2） 1 A E2   ；（3） * A E 5 4.13 （1） 3 2 2 3 A          ，求 10 9 A A 5 ； （2） 2 0 0 0 3 2 0 2 3 A            ，求 3 2 A A  4 . 4.14 求正交矩阵 P 使得 1 T P AP P AP     为对角矩阵. （1） 4 1 1 4 A        ； （2） 2 0 4 060 4 0 2 A            ； （3） 1 0 2 0 2 0 2 0 2 A             ； （4） 500 0 3 1 0 1 3 A            . 4.15 设 2 0 0 0 2 0 2 3 A a            与 1 0 0 0 2 0 0 0 B b            相似， （1） 求 ab, ； （2） 求一正交矩阵 P ，使得 1 T P AP P AP B    . 4.16 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3 ，且已知齐次线性方陈组 Ax  0 的两 个解

0a1（1）求A的特征值和特征向量：（2）求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使得PTAP=△4.17求出下列二次型的矩阵(1)f =x2-2y2+3-2+2xy+4yz ;(2)f =2xy-2xz+4yz;(3) f =x2+y2-22-4xz+2yz;(4）f=x2-x+2x+4xx2-2xx4+6x2x4.18求一个正交变换将下列二次型化为标准型(1)f=x+2x2-2x+4xx;（2）f=5x+3x+x+2xx：(3）f=x+x+x-2xx-2xx-2xx4.19判定下列二次型的正定性(1) f =-4x2-3y2 -22* +2yz ;(2)J =x +4y2+422-2xz+4yz4.20问m取何值时，能使二次型f=x+4x+4x+2mx2-2x+4x为正定二次型.4.21设二次型=axz+2x-2x+2bx（b>0），其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12(1）求a,b的值；（2）利用正交变换将二次型化为标准型4.22设A为n阶正定矩阵，试证：A+E>14.23已知二次型f=5x+5x+-2xz+6x-6xx的秩为2.（1）求参数k及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程f(,2,x）=1表示何种曲面

1 1 2 1               ， 2 0 1 1             （1）求 A 的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵 P 和对角矩阵  ，使得 T P AP  . 4.17 求出下列二次型的矩阵 （1） 2 2 2 f x y z xy yz      2 3 2 4 ； （2） f xy xz yz    2 2 4 ； （3） 2 2 2 f x y z xz yz      4 2 ； （4） 2 2 2 1 2 3 1 2 1 4 2 3 f x x x x x x x x x       2 4 2 6 . 4.18 求一个正交变换将下列二次型化为标准型 （1） 2 2 2 1 2 3 1 3 f x x x x x     2 2 4 ； （2） 2 2 2 1 2 3 2 3 f x x x x x     5 3 2 ； （3） 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x       2 2 2 . 4.19 判定下列二次型的正定性 （1） 2 2 2 f x y z yz      4 3 2 2 ； （2） 2 2 2 f x y z xz yz      4 4 2 4 . 4.20 问 m 取何值时，能使二次型 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x mx x x x x x       4 4 2 2 4 为正定 二次型. 4.21 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 3 f ax x x bx x     2 2 2 （ b  0 ），其中二次型的矩阵 A 的特征值 之和为 1 ，特征值之积为12. （1）求 ab, 的值； （2）利用正交变换将二次型化为标准型. 4.22 设 A 为 n 阶正定矩阵，试证： A E 1 4.23 已知二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x kx x x x x x x       5 5 2 6 6 的秩为 2 . （1）求参数 k 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程 1 2 3 f x x x ( , , ) 1  表示何种曲面

4.24设A为正定矩阵，试证：A-"也为正定矩阵，总习题四答案4.1 (1) =V, =6, =V5, (α,β)=0, (α,)=7:（2）α与β正交，α与不正交；3）(-1)2T6ViT112α°=βo=,ro=T6T5i110（6）(V)中(111T72N611153 =，524.2（1)5==.T2T6T210（丽）(. 1)4）13113J5752.2(2) 5 =52 =53.-3213T53V550(3V51-212-12-12121122(3) i =.52=51 =-11一12211(2)(2)4.3（1）不是；（2）是4.4（1）特征值为2=3，2=2对应于元=3的特征向量为Pi=对应于=3的全部特征向量为kPi2

4.24 设 A 为正定矩阵，试证： 1 A  也为正定矩阵. 总习题四答案 4.1 （1）   11 ，   6 ，   5 ，( , ) 0    ，( , ) 7    ； （2）  与  正交，  与  不正交； 0 3 11 1 11 1 11                     ， 0 1 6 2 6 1 6                      ， 0 2 5 1 5 0                     4.2 （1） 1 1 2 1 2 0                     ， 2 1 6 1 6 2 6                     ， 3 1 3 1 3 1 3                     ； （2） 1 1 5 2 5 0                     ， 2 4 3 5 2 3 5 5 3 5                     ， 3 2 3 1 3 2 3                     ； （3） 1 1 2 1 2 1 2 1 2                           ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2                           ， 1 1 2 1 2 1 2 1 2                         ； 4.3 （1）不是；（2）是. 4.4 （1）特征值为 1   3， 2   2 . 对应于 1   3 的特征向量为 1 1 2 1 p          ，对应于 1   3 的全部特征向量为 1 1 k p

(k ±0);对应于=2的全部特征向量为k,P2对应于=2的特征向量为p2(k,±0).（2）特征值为=-1，==11对应于=-1的特征向量为P=P对应于=-1的全部特征向量为k,p(o)(k ±0);对应于==1的特征向量为P2对应于2==1的全部特9征向量为kp+P（k,不同时为0）（3）特征值为=8，==-1.11对应于=8的特征向量为对应于=8的全部特征向量为kp为PI=21(k,#0);12对应于==-1的特征向量为P2对应于==-1的0全部特征向量kPz+k,P（kz,,不同时为0）.（4）特征值为=-1，=0，=9

（ 1 k  0 ）； 对应于 2   2 的特征向量为 2 1 1 p         ，对应于 2   2 的全部特征向量为 2 2 k p （ 2 k  0 ）. （2）特征值为 1  1， 2 3    1. 对应于 1  1 的特征向量为 1 1 0 0 p            ，对应于 1  1 的全部特征向量为 1 1 k p （ 1 k  0 ）； 对应于 2 3    1 的特征向量为 2 1 1 0 p             ， 3 1 0 1 p            ，对应于 2 3    1 的全部特 征向量为 2 2 3 3 k p k p  （ 2 3 k k, 不同时为 0 ）. （3）特征值为 1   8 ， 2 3     1. 对应于 1   8 的特征向量为 1 1 1 2 1 p              ，对应于 1   8 的全部特征向量为 1 1 k p （ 1 k  0 ）； 对应于 2 3     1 的特征向量为 2 1 2 1 0 p                ， 3 1 0 1 p             ，对应于 2 3     1 的 全部特征向量 2 2 3 3 k p k p  （ 2 3 k k, 不同时为 0 ）. （4）特征值为 1  1， 2   0， 3   9

对应于=-1的特征向量p,对应于=-1的全部特征向量k,p（k,±0）；21对应于=0的特征向量p2对应于=0的全部特征向量k,p，（k±0）；1-21对应于=9的特征向量p,对应于=9的全部特征向量k,p（±0）1214.5（1）A能对角化200)12-1003011相似变换矩阵P=(Pi,P2,P3)=使得P-AP=△=1(0 0(o11（2）A能对角化，(100)(200)-10001P-"AP= Λ=1相似变换矩阵P=(pl,P2,P3)=使得(o11(005（3）A能对角化1)1000-100011相似变换矩阵为P=1，使得P-IAP=A0S0-1-1（4）不能.4.6(1) x=3,y=2;(00)(200)00-11，使得P-"AP=A=01(2) P=(011l005(122)2214.7 A=112

对应于 1  1 的特征向量 1 1 1 2 1 p              ，对应于 1  1 的全部特征向量 1 1 k p （ 1 k  0 ）； 对应于 2   0 的特征向量 2 1 1 1 p             ，对应于 2   0 的全部特征向量 2 2 k p （ 2 k  0 ）； 对应于 3   9 的特征向量 3 1 2 1 2 1 p                    ，对应于 3   9 的全部特征向量 3 3 k p （ 3 k  0 ）. 4.5 （1） A 能对角化. 相似变换矩阵 1 2 3 1 2 1 ( , , ) 1 0 1 0 1 1 P p p p              ，使得 1 200 0 3 0 0 0 1 P AP               . （2） A 能对角化. 相似变换矩阵 1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 1 1 P p p p              ，使得 1 200 0 1 0 0 0 5 P AP               . （3） A 能对角化. 相似变换矩阵为 1 0 1 0 1 1 1 1 1 P              ,使得 1 1 0 0 0 1 0 0 0 5 P AP                 ； （4）不能. 4.6 （1） x y   3, 2 ； （2） 1 0 0 0 1 1 0 1 1 P             ，使得 1 200 0 1 0 0 0 5 P AP               . 4.7 1 2 2 2 1 2 1 1 2 A           

01024.8A=001(6 -114.9略.提示（1）设入为A的任一特征值，x为与之相对应的特征向量，则Ax=入x，代入整理可得（2+2-3)x=0由于x±0，可得2+2-3=0，解得=1或=-3；（2）由于-1不是A的特征值，易得结论4.10略.提示“=”0为A的特征值，则A-0E=0，即A=0，因此Ax=0有非零解；“→”(略)4.11(1)β=25,-252+53:(2-2"+1+3"2 - 2"+2 + 3+(2) A"β=2 -2n+3 + 3n+2提示A"B=A"(25-252+5)=2A"5-2A"52+A"53，其中A"5,=2"55;(3)30.4.12(1)-6;(2)(1 00)020提示由条件可知P-AP=△=即A=PΛP-1,(003)[A-4E|=|PΛP-I - P(4E)P-|=|P(A-4E)P-|=|P|A-4E|P-|=|A -4E| ;[A"-2E|=^-"-2E|:[A-5E|-A|A'-5E|-A|^-"-5E|4.13(1)-80（2)011 14141104.14（1）正交相似变换矩阵11P1正正

4.8 1 0 0 2 0 0 6 1 1 A              . 4.9 略． 提示 （1）设  为 A 的任一特征值， x 为与之相对应的特征向量，则 Ax x   ， 代入整理可得 2 ( 2 3) 0     x 由于 x  0 ，可得 2      2 3 0 ，解得  1 或  3 ； （2）由于1 不是 A 的特征值，易得结论. 4.10 略． 提示 “”0 为 A 的特征值，则 A E   0 0 ，即 A  0 ，因此 Ax  0 有非零解； “ ”（略） 4.11 （1） 1 2 3        2 2 ； （2） 1 2 1 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 n n n n n n n A                        . 提示 1 2 3 1 2 3 (2 2 ) 2 2 n n n n n A A A A A              ，其中 n n A i i i     . 4.12 （1）-6；（2） 5 2  ；（3） 30 . 提示 由条件可知 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 P AP               ，即 1 A P P   ， 1 1 1 1 A E P P P E P P E P P E P E 4 (4 ) ( 4 ) 4 4                  ； 1 1 A E E 2 2       ； * 1 1 A E A A E A E 5 5 5         . 4.13 （1） 2 2 2 2           ； （2） 8 0 0 0 11 14 0 14 11            . 4.14（1）正交相似变换矩阵 1 1 2 2 1 1 2 2 P              

使得(50P-"AP= PT AP= ^=03（2）正交相似变换矩阵111T正120P=111使得(6 500P-IAP= PT AP=△=0602(o 0（3）正交相似变换矩阵210T55100P=210T5使得(200)200P-AP=PTAP=△=0-3（4）正交相似变换矩阵00111P=0T21101使得(2 0 0)0?0P-AP=PTAP=△=(o05)(1)a=3,b=5;4.15

使得 1 5 0 0 3 T P AP P AP            ； （2）正交相似变换矩阵 1 1 1 3 6 2 1 2 0 3 6 1 1 1 3 6 2 P                      ， 使得 1 6 0 0 0 6 0 0 0 2 T P AP P AP                ； （3）正交相似变换矩阵 2 1 0 5 5 1 0 0 1 2 0 5 5 P                 ， 使得 1 2 0 0 0 2 0 0 0 3 T P AP P AP                 ； （4）正交相似变换矩阵 0 0 1 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P                  ， 使得 1 200 0 4 0 0 0 5 T P AP P AP                . 4.15 （1） a  3，b  5 ；

00111（2）正交矩阵P0即为所求。22110T2（1）A的特征值为=3，=2=04.16(1)对应于=3的全部特征向量为k1(k±0);)对应于==0的全部特征向量为kα+kαz（k,k,不同时为0）.111 下T(300)21000（2）正交矩阵P=，对角矩阵△：T60001113V6提示由于A的各行元素之和均为3，所以-因此可得^=3是A的特征值，而对应于2=3的特征向量是α又Aα,=Aα,=0，即Aα,=0α，Aα,=0α,，且α,α,线性无关.则==0为A的二重特征值，αi,α,为与之对应的特征向量110-2124.17(1) A=023(0-0(2) A=1201

（2）正交矩阵 0 1 0 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P                  即为所求。 4.16 （1） A 的特征值为 1   3 ， 2 3     0 . 对应于 1   3 的全部特征向量为 1 1 1 k           （ k  0 ）； 对应于 2 3     0 的全部特征向量为 1 1 2 2 k k    （ 1 2 k k, 不同时为 0 ）. （2）正交矩阵 1 1 1 3 6 2 1 2 0 3 6 1 1 1 3 6 2 P                    ，对角矩阵 3 0 0 000 000             提示 由于 A 的各行元素之和均为 3 ，所以 1 3 1 1 3 3 1 1 3 1 A                                 因此可得 1   3 是 A 的特征值，而对应于 1   3 的特征向量是 1 1 1             ； 又 1 2 A A     0 ，即 1 1 A   0 ， 2 2 A   0 ，且 1 2  , 线性无关. 则 2 3     0 为 A 的二重特征值， 1 2  , 为与之对应的特征向量. 4.17 （1） 1 1 0 1 2 2 023 A             ； （2） 0 1 1 102 1 2 0 A              ；