《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（5/5）

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布设(X，Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数Φ为f(x,y),(1)令:z=x-y,则 fz(2)=「 (z+y,y)dy+80X则 z(z)=[ l(yz,y)d)(2）令：Z=Y则(3)令： Z=XY,-

§5 多维随机变量函数的分布 ( ) ( )  +  − f z = f z + y y y Z ， d ( ) 为 ( ， )， 设 ， 是二维连续型随机变量 ，其联合密度函数 f x y X Y （1） 令：Z = X −Y , 则 令： ，则 Y X Z = ( ) ( )  +  − f z = y f yz y y （2） Z , d 令：Z = XY , 则 ( )   +  − +  −          =      = y y y y z x f x x z f z f x Z d 1 d , 1 , （3） 第三章 多维随机变量及其分布

85多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布例8i设随机变量X与Y相互独立，分别服从为,与,的指数分布，令Z=，试求随机变量Z的密度函数由题意，可知解日-a2JJa,e-aix2y>0,x> 0,efx(x)=fr(v)=10,0,y≤0.x≤0.由随机变量X与Y相互独立性，我们有

例8 解 的指数分布，令 ，试求随机变量 的密度函数． 设随机变量 与 相互独立，分别服从参数 为 与 Z Y X Z X Y =  1  2 由题意，可知 ( )      = − 0, 0. , 0, 1 1 x e x f x x X   ( )      = − 0, 0. , 0, 2 2 y e y f y y Y   §5 多维随机变量函数的分布 由随机变量 X 与Y 相互独立性，我们有 第三章 多维随机变量及其分布

Ja,e-lx第三章多维随机变量及其分布x>0x(x)=例8（续）0x≤0+8fz(2)=[ (vlx(yz)f()dyz >0, > 08若z≤0，fz()=0(1)z>0, y>0(2)若z>0,f(2)=[ ya,e-apaze-dyy1,22-aa, yedy a+ay0a,22z>0X所以，Z=的密度函数为fz(2)=(az+,z)Y0z≤0

( ) ( ) ( )  +  − f z = y f yz f y y Z X Y d ⑴ 若z  0，f (z) = 0 Z yz  0, y  0 ⑵ 若z  0，f (z) Z  +  − − = 0 1 2 d 1 2 y e e y  yz  y   ( )      = − 0 0 0 1 1 x e x f x x X   例 8（续） ( )  +  − + = 0 1 2 d 2 1 ye y   z y   ( ) 2 2 1 1 2   z   + = 所以， 的密度函数为 Y X Z = ( ) ( )        = + 0 0 0 2 2 1 1 2 z z z f z Z     y z z  0, y  0 第三章 多维随机变量及其分布

85多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布四、极值分布例9设随机变量X与Y相互独立，X～B(1，P),Y~B(1,p)(o<p<1),令=min(X,Y),n=max(X，Y),试求随机变量 与n 的联合分布律及与各自的边缘分布律，并判断与是否相互独立？解 由随机变量X与Y的取值都为0与1，知5=min(X, Y), n =max(X, Y)的取值也为0与1

例9 解 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 相互独立？ 律及 与 各自的边缘分布律，并 判断 与 是否 ， ，试求随机变量 与 的联合分布 ， ，令 ， ， 设随机变量 与 相互独立， ， ，         X Y Y B p p X Y X Y X B p max ~ 1 0 1 min ~ 1 =   = 由随机变量 X与Y 的取值都为0与1，知  = min(X， Y )， = max(X， Y ) 的取值也为0与1． §5 多维随机变量函数的分布 四、极值分布 第三章 多维随机变量及其分布

S5多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布例9（续） =min(X, Y), n =max(X, Y)P(5=0, n=0)=P(X =0,Y =0= P(X = 0) P(Y = 0) = (1- p)P=0, n=1}=P(X=0,Y=1}+P(X=1,Y=0= P(X = 0) P(Y =1) + P(X =1) P(Y =0) = 2p(1- p)P(5 =1, n= 0) = P(0) = 0P(5=1, n=1) =P(X =1, Y=1)= P(X =1) P(Y=1) = p

 = min (X， Y )， = max (X， Y ) §5 多维随机变量函数的分布 例9（续） P = 0，  = 0 = PX = 0， Y = 0 = PX = 0 PY = 0 ( ) 2 = 1− p P = 0，  = 1 = PX = 0， Y = 1 = PX = 0 PY = 1 = 2 p(1− p) + PX = 1， Y = 0 + PX = 1 PY = 0 P = 1，  = 0 = P() = 0 P = 1，  = 1 = PX = 1， Y = 1 = PX = 1 PY = 1 2 = p 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例9（续）随机变量与n的联合分布律及各自的边缘分布律为n01Pi.5(1- p)2 p(1 - p)1-p20Pp?01(1- p)1-(1- p)P,j由于0<p<1,，所以,P=1, n=0)=0 ± P=1)P(=0)=p2(1-p)这表明，随机变量与不独立

随机变量 与 的联合分布律及各自的 边缘分布律为   0 1 pi 0 ( ) 2 1 − p 2 p(1 − p) 2 1 − p 1 0 2 p 2 p j p ( ) 2 1 − p ( ) 2 1 − 1 − p 由于 0  p  1，所以， 这表明，随机变量  与 不独立． §5 多维随机变量函数的分布 例9（续） P = 1，  = 0= 0  P = 1 P = 0 ( ) 2 2 = p 1− p 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例10设X，Xz，，·，X，是独立的连续型随机变量，X,的分布函数为 F(x)．令：Xa) = min(X,X,..,X.),X() =max(X, X, ., X.),试求随机变量X)与X()的分布函数.解设随机变量X) 的分布函数为Fo(x),随机变量X()的分布函数为F(c(x)

例10 解 的分布函数为 ( )．令： 设 ， ， ， 是独立的连续型随机变 量， X F x X X X i i 1 2  n ( ) ( ) ( ) ( ， ， ， )， ， ， ， ， n n n X X X X X X X X   1 2 1 1 2 max min = = 试求随机变量 X(1) 与X(n) 的分布函数． ( ) ( ) 设随机变量 X 1 的分布函数为F 1 (x)， §5 多维随机变量函数的分布 ( ) ( ) 随机变量 X n 的分布函数为F n (x) ． 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例10（续）4则F()(x)= P(X() ≤x)= P(max(X,X,,.,X.)≤x)=P(X≤x,X,≤x,..,X,≤x= P(X ≤x)P(X, ≤x)...P(X, ≤x)=H F,(x)i=-1

则 ( ) ( ) F n x = PX(n)  x = Pmax(X1 ， X2 ， ， Xn )  x = P X1  x， X2  x， ， Xn  x  = PX1  xPX2  xPXn  x F (x) i n i=1 =  §5 多维随机变量函数的分布 例10（续） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例10（续）Fo(x)= P(X(a) ≤x)= P(min(X,X,,X,)≤x),,X,)>x}=1- P(min(X,X2,=1-P(X >x,X, >x,X, >x7=1-P[X >x)P(X, >x].P(X,>x)-1-[1-P[X ≤x][1-P[X, ≤x].[1-P[X, ≤x]=1-[1- F,(x)]

( ) ( ) F1 x = PX(1)  x = Pmin(X1 ， X2 ， ， Xn )  x = 1 − P X1  x， X2  x， ， Xn  x  = 1− Pmin(X1 ， X2 ， ， Xn )  x = 1 − PX1  xPX2  xPXn  x  PX x PX x  PX x = 1 − 1 − 1  1 − 2   1 − n   F (x) i n i = −  − = 1 1 1 §5 多维随机变量函数的分布 例10（续） 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布85多维随机变量函数的分布例11设系统L是由n个相互独立的子系统L，L,，1..并联而成，并且L,的寿命为X，它们都服从参数为的指数分布，试求系统L的寿命Z的密度函数解由于系统L是由n个相互独立的子系统L，L，，L并联而成，故有z=max(X, X, .., X,),又因为子系统L,的寿命X,服从参数为的指数分布因此X的密度函数为[ae-xx>0J(x)= r(x)--0x≤0

例11 解 数分布，试求系统 的寿命 的密度函数． 并联而成，并且 的寿命为 ，它们都服从参数为 的 指 设系统 是 由 个相互独立的子系统 ， ， ， L Z L X L n L L L i i n  1 2  Z = max(X1 ， X2 ， ， Xn )， 并联而成，故有 由于系统L是 由n个相互独立的子系统L1 ， L2 ， ， Ln 因 此 的密度函数为 又因为子系统 的寿命 服从参数为 的指数分布， i i i X L X  ( ) ( )      = = −0 0 0 x e x f x f x x i   第三章 多维随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布