线性代数课程教案二O二三年
线性代数课程教案 二〇二三年
教案 (页)线性代数总计：40学时课程名称讲课：40学时学分课程性质公共必修课实验：0学时知识目标：通过该课程的学习，使学生掌握关于线性代数的行列式、矩阵、线性方程组、向量的线性关系、矩阵对角化及二次型等知识的基本概念、基本理论和基本方法。能力目标：通过该课程的学习，提升学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力；初步掌握处理线性关系的基本思想和方法：会用线性代数知识分析、解决线性模型中的实际问题的能力，为相关的后续课程的开设做好必要的知识储备。教学目标素质目标（思政目标）：1.通过本课程的学习培养学生良好的学习习惯、数学素养及思维严谨、工作务实的工作作风；2.培养学生厚积薄发、实事求是、精益求精、一丝不苟和科学严谨的治学态度；3.培养学生能够用联系的、全面的、发展的观点看问题，正确对待人生发展中的顺境与逆境，处理好人生发展中的各种矛盾，积极向上的人生态度。教学要求学生需具备初等数学知识和计算技能。教学方法课堂讲授、启发式教学、案例教学等教学手段板书、多媒体教学、线上线下混合式教学考核方式闭卷1.吴赣昌：线性代数．北京：中国人民大学出版社.20062.吴传生．经济数学线性代数（第二版）：北京：高等教育出教学参考版社.2009资料3.同济大学数学系：工程数学：线性代数（第六版）：北京：高等教育出版社，2013备注
教案（扉页） 课程名称 线性代数 总计： 40 学时 课程性质 公共必修课 学分 讲课： 40 学时 实验： 0 学时 教学目标 知识目标：通过该课程的学习，使学生掌握关于线性代数的行 列式、矩阵、线性方程组、向量的线性关系、矩阵对角化及二次型 等知识的基本概念、基本理论和基本方法。 能力目标：通过该课程的学习，提升学生的抽象思维能力、逻 辑推理能力和运算能力；初步掌握处理线性关系的基本思想和方法； 会用线性代数知识分析、解决线性模型中的实际问题的能力，为相 关的后续课程的开设做好必要的知识储备。 素质目标（思政目标）： 1.通过本课程的学习培养学生良好的学习习惯、数学素养及思 维严谨、工作务实的工作作风； 2.培养学生厚积薄发、实事求是、精益求精、一丝不苟和科学 严谨的治学态度； 3.培养学生能够用联系的、全面的、发展的观点看问题，正确 对待人生发展中的顺境与逆境，处理好人生发展中的各种矛盾，积 极向上的人生态度。 教学要求 学生需具备初等数学知识和计算技能。 教学方法 课堂讲授、启发式教学、案例教学等 教学手段 板书、多媒体教学、线上线下混合式教学 考核方式 闭卷 教学参考 资 料 1.吴赣昌. 线性代数. 北京：中国人民大学出版社.2006 2.吴传生. 经济数学线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出 版社.2009 3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高 等教育出版社．2013 备注
章节（单元）教案要素行列式内容n阶行列式的定义教学2章节名称s1.1n阶行列式的定义时数1.1.1二阶与三阶行列式时间年月日第节单元内容1.1.2排列与逆序1.1.3n阶行列式知识目标：理解二阶、三阶及n阶行列式的定义。能力目标：掌握二阶、三阶行列式的对角线法则及n阶行列式的计算方法。教学目标思政目标：通过对线性代数在各个领域中应用的简介，激发学生学习数学的热情，激发学生学习的主观能动性。重点：n阶行列式的定义。重点难点难点：用定义法计算n阶行列式。教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和教学要求计算技能。教学方法课堂讲授、启发式教学、案例教学等授课方式线上线下混合式教学作业：习题一1.（2）（3）2.3.（3）（4)练习4.(2)6.7.(2)(3)(4)作业思考：习题一（B）1.2.1.吴赣昌．线性代数．北京：中国人民大学出版社.20062.吴传生，经济数学线性代数（第二版）：北京：高等教育出参考版社.2009资料3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版），北京：高等教育出版社：2014
章节（单元）教案 要 素 行列式 内 容 n 阶行列式的定义 章节名称 §1.1 n 阶行列式的定义 教学 时数 2 单元内容 1.1.1 二阶与三阶行列式 1.1.2 排列与逆序 1.1.3 n 阶行列式 时间 年 月 日 第 节 教学目标 知识目标:理解二阶、三阶及 n 阶行列式的定义。 能力目标:掌握二阶、三阶行列式的对角线法则及 n 阶行列式的 计算方法。 思政目标：通过对线性代数在各个领域中应用的简介，激发学 生学习数学的热情，激发学生学习的主观能动性。 重点难点 重点：n 阶行列式的定义。 难点：用定义法计算 n 阶行列式。 教学要求 教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和 计算技能。 教学方法 课堂讲授、启发式教学、案例教学等 授课方式 线上线下混合式教学 练 习 作 业 作业：习题一 1.（2）（3） 2. 3.（3）（4） 4.（2） 6. 7.(2) (3) (4) 思考: 习题一（B）1. 2. 参 考 资 料 1.吴赣昌. 线性代数. 北京：中国人民大学出版社.2006 2.吴传生. 经济数学线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出 版社.2009 3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高 等教育出版社．2014
章节（单元）教案导入：（思政内容：线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题.我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：1.如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；2.如果你想继续深造，考研，必须学好线代.因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础.例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论.3.如果你想提高自已的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲.他在自己的数学名著《数学概观》中说：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去.按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论.，如教学流程果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。4.如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：（1）想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学），恭喜你，你的职业未来将是最光明的.如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）：(2)想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算(3)想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。（4）想搞经济研究.好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门.这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型.列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖(5)相当领导，好，要会运等学，运筹学的一个重要议题是线性规划.许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的.线性规划的知识就是线代的知识啊.比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商
章节（单元）教案 教学流程 导入： （思政内容：线性代数有什么用?这是每一个圈养在象牙塔里, 在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个 问题.我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由,竟然也罗列了不 少,不知道能不能说服你： 1.如果你想顺利地拿到学位,线性代数的学分对你有帮助； 2.如果你想继续深造,考研,必须学好线代.因为它是必考的数 学科目,也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础.例如, 泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论. 3.如果你想提高自己的科研能力,不被现代科技发展潮流所抛 弃,也必须学好,因为瑞典的 L.戈丁说过,没有掌握线代的人简直就 是文盲.他在自己的数学名著《数学概观》中说： 要是没有线性代数,任何数学和初等教程都讲不下去.按照现行的 国际标准,线性代数是通过公理化来表述的.它是第二代数学模型, 其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论.,如 果不熟悉线性代数的概念,像线性性质、向量、线性空间、矩阵等 等,要去学习自然科学,现在看来就和文盲差不多,甚至可能学习社 会科学也是如此. 4.如果毕业后想找个好工作,也必须学好线代： (1)想搞数学,当个数学家（我靠,这个还需要列出来,谁不知道 线代是数学）.恭喜你,你的职业未来将是最光明的.如果到美国打 工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）. (2)想搞电子工程,好,电路分析、线性信号系统分析、数字滤波 器分析设计等需要线代,因为线代就是研究线性网络的主要工具； 进行 IC 集成电路设计时,对付数百万个集体管的仿真软件就需要依 赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程,好,电磁场、光波导分 析都是向量场的分析,比如光调制器分析研制需要张量矩阵,手机 信号处理等等也离不开矩阵运算. (3)想搞软件工程,好,3D 游戏的数学基础就是以图形的矩阵运 算为基础；当然,如果你只想玩 3D 游戏可以不必掌握线代；想搞图 像处理,大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具,《阿凡 达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象. (4)想搞经济研究.好,知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗? 哈佛大学教授,1949 年用计算机计算出了由美国统计局的25 万条经 济数据所组成的 42 个未知数的 42 个方程的方程组,他打开了研究 经济数学模型的新时代的大门.这些模型通常都是线性的,也就是 说,它们是用线性方程组来描述的,被称为列昂惕夫“投入-产出” 模型.列昂惕夫因此获得了 1973 年的诺贝尔经济学奖. (5)相当领导,好,要会运筹学,运筹学的一个重要议题是线性规 划.许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的.线性 规划的知识就是线代的知识啊.比如,航空运输业就使用线性规划 来调度航班,监视飞行及机场的维护运作等；又如,你作为一个大商
场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润.(6)对于其他工程领域，没有用不上线代的地方.如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组.知道马尔科夫链吗?这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。（7）另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对教学流程对称矩阵的研究。）在中学里，我们已经学过四则运算，也学过解方程和方程组，但仅仅局限于解简单的方程组，比如一元二次方程，二元一次方程等，但对于多元一次方程如何寻求一个简单有共性高效的方法，尤其在现在大量采用计算机，程序化运算显得尤其重要。例如四元一次方程组：X, +x,2xg +3x,= 02x +x2 -6x + 4x4 = -13x, + 2x 8x +7x, = 1X-x-6x-x=-2引出今天要学的内容：行列式。（思政内容：行列式出现于线性方程组的求解，它是数学语言的改革，是一种速记表达方式。它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。—P.S.Laplace行列式的概念最早是由十七日本数学家关孝和提出来的（1683年）
教学流程 场的老板,线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货,以达 到最大利润. (6)对于其他工程领域,没有用不上线代的地方.如搞建筑工 程,那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探,勘探 设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来 解决；飞行器设计,就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解 大型的线性方程组,在这个求解的过程中,有两个矩阵运算的技巧： 对稀疏矩阵进行分块处理和进行 LU 分解； 作餐饮业,对于构造一 份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗?这 个工程分析中十分有效的有限元方法,其基础就是求解线性方程 组.知道马尔科夫链吗?这个“链子”神通广大,在许多学科如生物 学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型,实 际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序 列,看看,矩阵、向量又出现了. (7)另外,矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领 域的微分方程、连续的或离散的动力系统中,甚至数学生态学家用 以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡； 大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实 验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上,最小 二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在 线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率） 的应用中,他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几 何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例 如置信椭圆体）中,某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对 对称矩阵的研究. ) 在中学里，我们已经学过四则运算，也学过解方程和方程组，但仅仅局 限于解简单的方程组，比如一元二次方程，二元一次方程等，但对于多元一 次方程如何寻求一个简单有共性高效的方法，尤其在现在大量采用计算机， 程序化运算显得尤其重要。例如四元一次方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 0 2 6 4 1 3 2 8 7 1 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x 引出今天要学的内容：行列式。 （思政内容：行列式出现于线性方程组的求解，它是数学语言 的改革，是一种速记表达方式。 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 ——P.S.Laplace 行列式的概念最早是由十七日本数学家关孝和提出来的（1683 年）
新知讲解：一、二阶与二阶行列式一个二元一次方程组a+a2x=b(1.1)[a2a22x=b当ai2-2a210时，用消元法求解，得其解为b,a2 -azb,arb,-ba21(1.2)x=X=aia22-azb2iaia22=ai2b21记a1 42D==aQ22 - a221[a21a2[ba2=ba2-aizbD, =[b 2bJan(1.3)D, ==a,bz -ba21D[a21则[b412[a bb. a22a1 b.D.D2X=,=Da Daa12[a21 2[2 2]教学流程将D称为二阶行列式对于由9个元素α,(i,j=1,2,3)排成的式子，定义a2321Cn2C233=+2+2+g5123称为三阶行列式（互动环节：学生们讨论三阶行列式展开式的记忆方法，老师可以从对角线方向加以引导，也可以从项数、符号及每项的构成方向上加以引导）其规律遵循图1.1所示的对角线法则：
教学流程 新知讲解： 一、二阶与二阶行列式 一个二元一次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b （1.1） 当 11 22 12 21 a a a a 0时，用消元法求解，得其解为 1 22 12 2 1 11 22 12 21 b a a b x a a a b ， 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b b a x a a a b （1.2） 记 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a 1 12 1 1 22 12 2 2 22 b a D b a a b b a 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b b a a b （1.3） 则 1 12 2 22 1 1 11 12 21 22 b a b a D x a a D a a , 11 1 21 2 2 2 11 12 21 22 a b a b D x a a D a a 将 D 称为二阶行列式. 对于由 9 个元素 ( , 1,2,3) ij a i j 排成的式子，定义 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 称为三阶行列式. （互动环节：学生们讨论三阶行列式展开式的记忆方法，老师可 以从对角线方向加以引导，也可以从项数、符号及每项的构成方向 上加以引导） 其规律遵循图 1.1 所示的对角线法则：
图 1.1如果三元线性方程组a+a2 +a =ba+ax2+a-=b,[a+a2+a=b的系数行列式a2sD=￥02ian21[a3132a用消元法求解这个方程组，可得ARD,(1.5)，=X=，X=DDD则[bQ2s[a b asaa2bD,=a2 a2 bbad2D, =ba2sD, =a21[ba2sb,as[asianb[as1教学流程[3233 4例1计算三阶行列式D=[4 -5 2解：按对角线法则，有D=3×(-3)×2+2×4×4+2×(-5)×3-3×(-3)×4-2×2×2-3×4×(-5)=-18-30+32+36+60-8=72知识点巩固：111例2求解方程12x=064x解：方程左端的三阶行列式
教学流程 图 1.1 如果三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a 用消元法求解这个方程组，可得 1 1 D x D ， 2 2 D x D ， 3 3 D x D （1.5） 则 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 b a a D b a a b a a ， 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 a b a D a b a a b a ， 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 a a b D a a b a a b 例 1 计算三阶行列式 3 2 3 2 3 4 4 5 2 D 解：按对角线法则，有 3 ( 3) 2 2 4 4 2 ( 5) 3 3 ( 3) 4 2 2 2 3 4 ( 5) 18 30 32 36 60 8 72 D 知识点巩固： 例 2 求解方程 2 1 1 1 1 2 0 6 4 x x 解 ：方程左端的三阶行列式
D=2x2+6x+4-12-x2-4x=x2 +2x-8于是得x2+2x-8=0解之，得x= 2,x=-4.二、排列与逆序定义1由正整数1,2..-n组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为(iizi）定义2在一个n级排列(i.i,i,i.)中，如果数i,>i，则称数i与i构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为t(iizi)设在一个n级排列(i.i,)中所有比i,(t=i,2,n)大的且排在i,前面的数共有1个，则i的逆序数的个数为1，而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即教学流程t(ii2i,)=t,+t +.., i=l知识点巩固：例3计算排列32514的逆序数解：因为3排在首位，故其逆序的个数为0；在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1；在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0：在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1易见所求排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1=5定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列定义4把一个排列.ii)中某两个数i、,的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列i.i,,i.），这样的变换称为一个对换，记为(i,i).将两个相邻元素对换，称为相邻对换，定理1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列证明：第一种情形，先看相邻对换的情况
教学流程 2 2 2 2 6 4 12 4 2 8 D x x x x x x 于是得 2 x 2x 8 0 解之，得 x 2, x 4 . 二、排列与逆序 定义 1 由正整数1, 2,n 组成的一个没有重复数字的 n元有序数组，称为一 个 n级排列，简称排列，记为 1 2 ( ) n i i i . 定义 2 在一个 n级排列 1 2 ( ) s t n i i i i i 中，如果数 s t i i ，则称数 si 与 t i 构成 一个逆序.一个 n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为 1 2 ( ) n i i i . 设在一个 n 级排列 1 2 ( ) n i i i 中所有比 ( ,2, ) ti t i n 大的且排在 t i 前面的 数共有 i t 个，则 t i 的逆序数的个数为 i t ，而该排列中所有自然数的逆序的个数 之和就是这个排列的逆序数.即 n i n n i i i i t t t t 1 1 2 1 2 ( ) 知识点巩固： 例 3 计算排列 32514 的逆序数 解 ： 因为 3 排在首位，故其逆序的个数为 0； 在 2 的前面比 2 大的数有 1 个，故其逆序的个数为 1； 在 5 的前面比 5 大的数有 0 个，故其逆序的个数为 0； 在 1 的前面比 1 大的数有 3 个，故其逆序的个数为 3； 在 4 的前面比 4 大的数有 1 个，故其逆序的个数为 1. 易见所求排列的逆序数为 (32514) 0 1 0 3 1 5 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 定义 4 把一个排列 1 2 ( ) s t n i i i i i 中某两个数 si 、 t i 的位置互换，而其余数 不动，得到另一个排列 1 2 ( ) t s n i i i i i ，这样的变换称为一个对换，记为 ( , ) s t i i . 将两个相邻元素对换，称为相邻对换. 定理 1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性.也就是说，经过一次对 换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列. 证明：第一种情形，先看相邻对换的情况
设排列为aa,abb.bm，对换a与b，变为a,a,bab..bm，显然，a.ai,bb这些元素的逆序数经过对换并不改变，a、b两元素的逆序数改变为：当a>b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变：当a1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半证明：n级排列的总数为n!个设其中奇排列为p个，偶排列为9个，若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1，p个奇排列均变成偶排列，故p≤q.同理，对每个偶排列都做同一对换，则q个偶排列均变为奇排列，故q≤p，从而n!p=q=2三、n阶行列式的定义通过观察三阶行列式的展开式可得如下结论：(1)三阶行列式共有3！项；(2)每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积；(3)每项的符号取决于，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号所以，三阶行列式可表示为Ja2a3(a2 a2 aa-Z(-1)(wb)aua2sshiJzjsa3ag2a33其中为对所有3级排列jij2j,求和Js定义5由n2个元素α,(i,j=1,2.n)排成n行、n列构成的记号：
教学流程 设排列为 1 l 1 m a a abb b ，对换 a 与 b ，变为 1 l 1 m a a bab b ，显然， 1 1 , l m a a b b 这些元素的逆序数经过对换并不改变， a 、b 两元素的逆序数 改变为： 当 a b 时，经对换后 a的逆序数增加 1 而b 的逆序数不变； 当 a b 时，经对换后 a的逆序数不变而b 的逆序数减少 1. 所以，排列 1 l 1 m a a abb b 与排列 1 l 1 m a a bab b 的奇偶性改变. 第二种情形，再看一般情况. 设排列为 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c ， 对它做 m 次相邻对换，变成 1 l 1 m 1 n a a abb b c c ；再做 m 1次相邻对 换 ， 变 成 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c . 总 之 ， 经 2m 1 次 相 邻 对 换 ， 排 列 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c 变成排列 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c ，所以这两个排列的奇偶 性改变. 定理 2 n个自然数 (n 1) 共有 n!个 n级排列，其中奇偶排列各占一半. 证明： n级排列的总数为 n!个. 设其中奇排列为 p 个，偶排列为 q 个，若对每个奇排列都做同一对换，则由 定理 1， p 个奇排列均变成偶排列，故 p q .同理，对每个偶排列都做同一对 换，则 q 个偶排列均变为奇排列，故 q p ，从而 ! 2 n p q . 三、 n阶行列式的定义 通过观察三阶行列式的展开式可得如下结论： （1） 三阶行列式共有3!项； （2） 每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积； （3） 每项的符号取决于，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如 果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号. 所以，三阶行列式可表示为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( 1) j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a 其中 1 2 3 j j j 为对所有 3 级排列 1 2 3 j j j 求和. 定义 5 由 2 n 个元素 ( , 1,2 ) ij a i j n 排成 n行、 n列构成的记号：
ana2...aina21a22Z(-1)aa2am:anan2a.(1.6)称为n阶行列式，其中表示对所有n阶排列jijj,求和，行列式有时hhij也简记为det(a,）或a，这里a,称为行列式的元素n阶行列式的定义具有以下规律：（互动环节：学生们讨论n阶行列式展开式的特点，老师可以从项数、符号及每项的构成方向上加以引导）（1）行列式由n!项求和而成：（2）每项是取自不同行、不同列的n个元素乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：(-1y(b-)a2“-m.（3）若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中(-1)(h）是指项的符号，且列序构成n级排列(jijzj.)，若此排列为奇排列则此项取负号，教学流程若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负（思政内容：强调行列式的书写格式，利用行列式的规范性引入德育元素：诚信，严谨，科学。让学生体会科学的方法论中严谨，实事求是的重要性，从而达到培养科学思维方式的目的。）定理3n阶行列式也可定义为D=E(-1)apiap2*apn(1.7)其中，t为行标排列piPz"p,的逆序数证明：按行列式定义有D=E(-1)'aipa2p"amp。"记D -Z(-1)agiap2*-apn由上面讨论知：对于D中任一项(-1)αm2pam，总有且仅有D中某一项(-1)agig2"4与之对应并相等：反之，对于D中的任一项
教学流程 n n n j j j j j nj j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) （1.6） 称为 n阶行列式，其中 1 2 n j j j 表示对所有 n 阶排列 1 2 n j j j 求和，行列式有时 也简记为 det( ) ij a 或 ij a ，这里 ij a 称为行列式的元素. n阶行列式的定义具有以下规律： （互动环节：学生们讨论 n 阶行列式展开式的特点，老师可以 从项数、符号及每项的构成方向上加以引导） （1）行列式由 n!项求和而成； （2）每项是取自不同行、不同列的 n个元素乘积，每项各元素行标按自 然数顺序排列后就是行列式的一般项形式： 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n j j j j j nj a a a （3）若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中 1 2 ( ) ( 1) n j j j 是指 项的符号，且列序构成 n级排列 1 2 ( ) n j j j ，若此排列为奇排列则此项取负号， 若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负. （思政内容：强调行列式的书写格式，利用行列式的规范性引 入德育元素：诚信，严谨，科学。让学生体会科学的方法论中严谨， 实事求是的重要性，从而达到培养科学思维方式的目的。） 定理 3 n阶行列式也可定义为 1 2 1 2 ( 1) n t D p p p n a a a ， (1.7) 其中，t 为行标排列 1 2 n p p p 的逆序数. 证明 ： 按行列式定义有 1 2 1 2 ( 1) n t D p p np a a a ， 记 1 2 1 1 2 ( 1) n t D p p p n a a a 由上面讨论知：对于 D 中任一项 1 2 1 2 ( 1) n t p p np a a a ，总有且仅有 D1中某一项 1 2 1 2 ( 1) n s q q q n a a a 与 之 对 应 并 相 等 ； 反 之 ， 对 于 D1 中 的 任 一 项