《复变函数》课程教学课件（讲稿）第06章 共形映射

第6章共形映射

-1- 共形映射 第6章

第6章共形映射s6.1共形映射的概念S 6. 2 分式线性映射S6.3唯一决定分式线性映射的条件S6.4几个初等函数构成的映射

-2- §6.4 几个初等函数构成的映射 §6.1 共形映射的概念 §6.2 分式线性映射 §6.3 唯一决定分式线性映射的条件 第6章 共形映射

回顾第一章5.2.映射的概念复变函数的几何意义高等数学里面经常把实变函数用几何图形来表示。对于复变函数，由于一个复变函数反映了两对变量u，v和x，y之间的对应关系，因此无法用同一平面内的几何图形表示，必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系，或者说映射。在几何上，函数W=z)可以看作：函数值集合（值域）定义域w=T(z)>WEG"（w平面）的映射zEG(z平面)(变换)称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。V4w=f(z)Vt(w)(2)G*Gw=f(z)7xu0O·即：复变函数的几何意义是一个映射（变换）-3-

-3- o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上， 函数w=f(z)可以看作： ( ) ( ( ). z  G z平面 w   f(z) w  G* w平面）的映射 变换 称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。 5.2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 z w=f(z) w 定义域 函数值集合(值域) • 即：复变函数的几何意义是一个映射（变换） 高等数学里面经常把实变函数用几何图形来表示。 对于复变函数，由于一个复变函数反映了两对变量u，v和x，y之间的对应关系，因此无法用 同一平面内的几何图形表示，必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系，或者说映射。 回顾第一章

S6. 1 共形映射的概念曲线的切线1.m2.解析函数的导数的几何意义m3.共形映射的概念中

-4-  1. 曲线的切线  2. 解析函数的导数的几何意义  3. 共形映射的概念 §6.1 共形映射的概念

1. 曲线的切线设连续曲线C:z=z(t)，te[α,βl，它的正向取t增大时点z移动的方向，z(t)为一连续函数取曲线C上两点P(z。= z(t。)),P(z= z(t +△t)形成割线其中P,P对应的参数分别为to,t+△t，tE(α,β),y割线P.P对应于参数t增大(z)C: z = z(t)的方向。Pz=z(to+△t)则割线的方向向量P.P与向量Poz(to + △t) - z(to) zo=z(to)2方向相同。x△t05

-5- : () [ , ] ( ) C z zt t t z zt   ， ，它的正向取   增大时点 移动的方向， 为一连 设连续曲线 续函数。 1. 曲线的切线 0 0 0 ( ) () P P zt t zt t     则割线的方向向量 与向量 方向相同。 00 0 0 0 00 0 ( ( )), ( ( )) , , , ( , ), C P z zt Pz zt t PP tt t t        取曲线 上两点 形成割线 其中 对应的参数分别为 ， C : z  z(t)  o x y (z) P0 P 割线 PP t 0 对应于参数 增大 的方向。 z0=z(t0) z=z(t0+∆t)

割线方向P.P的极限位置（P趋向P）为P.处切线：z(to +△t) - z(to)的向量表示z'(to）= lim△t△t→0与曲线C相切于点P：zo=z(t。)，且方向与C正向一致。:. 若z'(to)+ 0,to E(α,β),y(z)C: z = z(t)则曲线C在z.有切线(T)PZ=z(t+△t切线倾角β=Argz(to)。TPzo=z(to)x06

-6-  T C : z  z(t)  o x y (z) P0 P PP P P P 0 00  割线方向 的极限位置( 趋向 )为 处切线： 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim t zt t zt z t t         表示 的向量 与曲线C P z zt C 相切于点 ： ，且方向与 正向一致。 00 0 =( ) 0 0 0 0 ( ) 0, ( , ), ( ) Arg ( ) zt t Cz T z t          若 则曲线 在 有切线 ， 切线倾角 。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ z0=z(t0) z=z(t0+∆t)

定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线(1)Argz(to)----曲线C在点zo处切线的正向与x轴正方向之间的夹角。y(2)若曲线C,与曲线C,相Ci :z = zi(t)(2)交于点z0，在交点处两曲线正向之间的夹角就是Zo0它们的两条切线正向之C, : z = z(t)x间的夹角。0

-7-  定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线. : C2 ( ) 2 z  z t ( ) 1 :z  z t C1 o x y (z) 0 z  (1)Argz'(t0)-曲线C在点z0处切线的正向与x轴 正方向之间的夹角。 (2)若曲线C1与曲线C2相 交于点z0，在交点处两曲 线正向之间的夹角就是 它们的两条切线正向之 间的夹角

2. 解析函数的导数的几何意义(辐角和模设w=f(z)在区域D内解析，z.为D内一点，且f(z)0在D内过z.引一条有向光滑曲线C：曲线C的参数方程:z= z(t t ε[α,β]点zo= z(to), (t。 E(α,β)), z(to)≠O, 则W=f(2)z平面上曲线C:z=z(t)>w平面上曲线I:W=f[z(t)映射曲线：过点w。=f(zo），正向取t增大方向的曲线

-8- 2. 解析函数的导数的几何意义(辐角和模) 0 0 设w fz D z D f z  ( ) ( ) 0, 在区域 内解析， 为 内一点，且   0 在 内过 引一条有向光滑曲线 D z C : 0 0 曲线 : 过点 ，正向取 增大方向的曲线。  w fz t  ( ) 0 00 0 点z zt t z t   () (, ) () 0 ，( )   ， ，  则 ( ) : ( ) : [ ( )] wfz z C z zt w w f zt      平面上曲线 平面上曲线 ~~~~~~~~~~ 映射 ~~~~~~~~~~~~~~ 曲线 的参数方程 C z zt t : () [ , ]    

：w=f[z(t)](从函数角度看），复合函数求导:. w'(to) = f'(zo)z'(to) ± 0两个复数乘积的辐角= Argw'(to)= Argf'(zo)+ Argz'(to)等于它们的辐角相加记@α0即 Argf'(zo) = Argw'(to)- Argz'(to)即α=-(1)(w)ytV(2)C : z = z(t)r:W=f[z(t)]T!w=f(z)TWoZo0dxu00

-9- 0 00  wt f z zt () ( )() 0     Ar 0 00   gw t   ( ) Arg f ( ) Ar z zt g ( ) 记    Arg ( ) Arg ( ) Arg ( ) 0 00 即 f   z wt zt   即      (1) C : z  z(t) o (z) x y o v (w) u  : w  f [z(t)] w f (z)   T '  T 0 z w0 w f zt  [ ( )]( ) 从函 复合 数角度看 ， 函数求导 两个复数乘积的辐角 等于它们的辐角相加

（假设放在一个平面上）若视x轴与u轴、v轴与v轴的正向相同，称曲线C的切线(T)正向与映射后曲线I的切线(T)正向之间的夹角为(原曲线C经映射w=f(z)在点z.的ty转动角，记作α。(2) (w)y7a0x@uα =Φ-Φ 即Argf'(z)= Argw(to)-Argz(to)(1)- 10 -

- 10 - 0 ( ) ( ') ( )) x uy v CT T C w fz z    若视 轴与 轴、 轴与 轴的正向相同， 称曲线 的切线 正向与映射后曲线 的切线 正向 之间的夹角为(原曲线 经映射 在点 的 转动角，记作 。 ~~~~~~~ Arg ( ) Arg ( ) Arg ( ) 0 00       即 f z wt zt    T ' u  x T  0 z w 0  (1) v y ( z ) ( w ) (假设放在一个平面上 )