《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第二章 随机变量及其分布（4/4）

上节课内容复习1）掌握连续型随机变量概率密度的性质：会确定密度函数中的未知参数，掌握分布函数与概率密度的关系，会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某一区间上的概率,会运用概率密度的性质计算积分。(1) F(x) = / f(t)dt;(2) f(x)≥ 0, /f(x)dx = 1;(3)P(xi<X≤x,) = F(x,)- F(x) =f (x)dx:(4) F(x) = f(x)

1）掌握连续型随机变量概率密度的性质：会确定密 度函数中的未知参数，掌握分布函数与概率密度的 关系，会运用概率密度求连续型随机变量取值落在 实轴某一区间上的概率,会运用概率密度的性质计算 积分。   x (1) F ( x) f (t)dt; (2) ( )  0, ( )d  1;    f x f x x (3) { } ( ) ( ) 1 2 2 1 P x  X  x  F x  F x ( )d ; 2 1   x x f x x (4) F(x)  f (x). 上节课内容复习

2）掌握均匀分布：X~ U [a, b]0xb3)掌握指数分布：X～E(a)工e-ax0x≤0x>0F(c)=1拉f(x)=?-ax0x≤0x>0-e

2）掌握均匀分布: X ~ U [a , b] 3）掌握指数分布: X ~ E(λ)           0 其 它 1 a x b b a f x          0 0 0 x e x f x  x                  x b a x b b a x a x a F x 1 0           1 0 0 0 e x x F x  x

4）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率。X~N(u, 0),Y=X-"_ (O.,1)a(x-u)2g21(0)=/2018<x<+8et2 -2e@(-x) = 1 - @(x)Fx(x)= P(X ≤ x)= @(=u)b-μ)-@Φ(二u)Pla< X < b) =@Φ(0

4）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函 数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率。 X ~ N 0， 1 :   2 2 2 1 x x e     F ( x )  P{ X  x }  X ( )    x  P{a  X  b} ) ( ) . - (          b a  ( x)  1   x  ~   ~ ( 0, 1 ) 2 N X X N Y      ， ，               f x e x x 2 2 2 2 1   

$5随机变量的函数的分布离散型连续型定理及其应用

§5 随机变量的函数的分布 离散型 连续型 定理及其应用

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布随机变量的函数设X是一随机变量，Y是X的函数，Y=g(X)，则Y也是一个随机变量.当X取值x时，Y取值=g(x)本节的任务就是：已知随机变量X的分布，且Y=g(X)，求随机变量Y的分布

随机变量的函数 也是一个随机变量．当X 取值 x时，Y 取值 y  gx. §5 随机变量的函数的分布 本 节 的 任 务 就 是 ：   变 量 的分布． 已知随机变量 的分布，且 ，求随机 Y X Y  g X 设 X 是一随机变量，Y 是 X的函数，Y  g X, 则Y 第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布一、高离散型随机变量的函数设X是离散型随机变量，其分布律为P(X = x,}= pn(n=1,2,..)XXnXX2或Pkpnkpp2Y是X的函数：Y=g(x)，则Y也是离散型随机变量，它的取值为yi,y2,.',yn,其中yn=g(xn）(n=1,2,..)

一、离散型随机变量的函数 PX  x  p  n  1, 2,   n n X 1 x 2 x ， n x  pk 1 p p2 ， n p  或 y1 ， y2 ， ， yn ，  其中 y  gx   n  1， 2，  n n 第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布 设 X 是离散型随机变量，其 分布律为   量，它的取值为 Y是X 的函数：Y  g X ，则Y也是离散型随机变

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布第一种情形如果yi，y2'yn，··两两不相同，则由P(Y = y,}= P(X = x,)(n=1, 2, ..)可知随机变量Y的分布律为(n=1,2, ..)P(Y = y, }= p.Yy1Yn或PkPnP1p2

第 一 种 情 形 如果 y1 ， y2 ， ， yn ，  两两不相同，则由 PY  y  PX  x  n  1， 2，  n n 可知随机变量Y的分布律为 PY  y  p  n  1, 2,   n n 或 Y 1 y 2 y ， n y  pk 1 p p2 ， n p  第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布第二种情形如果yi，y2，yn，·有相同的项·则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量Y=g(X)的分布律

第 二 种 情 形 如果 y1 ， y2 ， ， yn ，  有相同的项，   律. 应的概率相加，即可得 随机变量 的分布 则把这些相同的项合并 （看作是一项），并把 相 Y  g X 第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布例1设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)中的分布律20-11XPk0.20.30.10.4解Y的所有可能取值为 0，1，4.且 Y=0 对应于(X-1)2=0,解得 X=1,所以,P (Y=0}=P(X=1}=0.1,同理,P(Y=-1}=P[X-0+P[X-2}=0.3+ 0.4=0.7,401YP[Y=4}= P[X= -1}= 0.2,所以， Y=(X-1)2 的分布律为Pk/0.10.20.7

设随机变量 X 具有以下的分布律，试求Y = (X-1)2 的分布律. pk X -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解 Y 的所有可能取值为 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 例1 第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布 0，1，4. 所以, P {Y=0}=P{X=1}=0.1, 同理, P{Y=1} P{Y=4} pk Y 0 1 4 所以， 0.1 0.7 0.2 Y=(X-1)2 的分布律为 =P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7, = P{X= -1}= 0.2

第二章随机变量及其分布$5随机变量的函数的分布例2已知X的概率分布为元PX="l= pq',k = 0,1,2,...2其中p+q=1,0<p<1,求Y=sinX的概率分布解Y的取值为-1，0，18pZ2m元pqP[Y=0} = PU(X = 2m1-q2m=0m=08元P(Y =1}= PU(X = 2m元 +一2m=08元pq4m+1ZU(X =(4m+1)")Ppq21-qm=0m=0

例2 已知X的概率分布为 , 0,1,2, 2         P X  k pq k  k     0 2 m m pq 第二章 随机变量及其分布 §5 随机变量的函数的分布 PY  0 其 中 p  q  1, 0  p  1, 求Y  sin X 的概率分布 解 Y 的取值为-1，0，1               0 ) 2 ( 2 m P X m  2 1 q p        0 4 1 m m pq PY  1               0 ) 2 ( 2 m P X m   4 1 q pq                 0 ) 2 ( (4 1) m P X m 