第4章级数复数项级数与复变函数项级数的概念和性质都是实数范围内相应概念和性质的推广。因此，在学习本章内容的时候，应当结合高等数学中级数部分复习，注意比较，在对比中学习。为什么要学习级数？因为第5章计算留数的时候，需要把解析函数展开成级数。而留数在计算积分的时候非常有用
-1- 级 数 第4章 复数项级数与复变函数项级数的概念和性质 都是实数范围内相应概念和性质的推广。因此， 在学习本章内容的时候，应当结合高等数学中级 数部分复习，注意比较，在对比中学习。 为什么要学习级数？ 因为第5章计算留数的时候，需要把解析函数展开成级数。 而留数在计算积分的时候非常有用
第4章级数S 4. 1复数项级数mS4. 2幂级数中S4.3泰勒级数s4.4洛朗级数
-2- §4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数 第4章 级数
S4.1复数项级数1．复数列的极限m2．复数项级数的概念m
-3- 1. 复数列的极限 2. 复数项级数的概念 §4.1 复数项级数
1.复数列的极限定义设复数列:{αn)(n=1,2,.),其中αn=an+ibn又设一复常数：α=a+ib，若>0,N>0,使当n>N时,恒有α,-α<那么α称为复数列(α当n→时的极限，记作limα,=α,或α,→α(当n→时)此时，也称复数列(α，收敛于α
-4- 1. 复数列的极限 定义 { }( 1,2, ), , n nn n 设复数列： 其中 ＝ n a ib 又设一复常数： a ib ， 0, 0, , { } n n N nN n 若 使当 时 恒有 ， 那么 称为复数列 当 时的极限， lim , ( ) { } n n n n n 记作 或 当 时 此时，也称复数列 收敛于
定理1（复数列收敛的充要条件）复数列α,)(n=1,2,...)，α,=a,+ib,，收敛于复数α=a+ib lima, =a, limb, =b。n-00n->00证明“=(必要性)”已知limα，=α，即，->0,N>0,当n>N时,恒有αn-αn>
-5- 定理1 (复数列收敛的充要条件) ( 1,2,.) = lim , lim n nn n n n n n n a ib a ib aa bb 复数列 ， ＝ ，收敛于复数 。 证明 ( ) lim 0, 0, , n n N nN n “ 必要性 ”已知 ，即， 当 时 恒有 2 2 ( )( ) ( ) ( ) lim , lim nnn n n nn nn n n n n a a ib b a a b b aa bb aa bb 又 ， 故
复数列(α(n=1,2,)收敛于复数α=a+ib liman=a,limb, =b。n→8“一充分性”已知lima,=a,limb,=b，即，n-8n→000V>0,3N>0,当n>N时,恒有a,-α号,,-<又|αn -α|= [(an -a)+i(bn -b)[≤|an -a +bn -b<故limα,=α.orn浪(1)定理回答了复数列极限存在的条件；(2)解决了复数列极限的计算方法；(3)把复数列的敛散性问题的研究转化为实数列的敛散性问题的研究，这是复变函数中非常重要的思想方法
-6- lim , lim 0, 0, , 2 2 ( )( ) lim . n n n n n n n n n nn n n aa bb N nN a a b b a a ib b a a b b “ 充分性”已知 ，即， 当 时 恒有 ， 又 故 (1)定理回答了复数列极限存在的条件； (2)解决了复数列极限的计算方法； (3)把复数列的敛散性问题的研究转化为实数列的敛散 性问题的研究，这是复变函数中非常重要的思想方法。 ( 1, 2,.) = lim , lim n n n n n n a ib aa bb 复数列 收敛于复数
例1判别下列复数列是否收敛，如收敛，求出极限。(I)α,=(1+二)e*;(2)a,=ncosineio =coso+isingn元元解 (1)lim α, = lim(1+-)e n = lim(1+-)(cos=+isin=n>0nn2n实部的极限为1，虚部的极限是0：复数列收敛，极限是1e" +e"n(2)lim α, = lim n cos in = lim n82n->0n>0n>00第一项极限为8，第二项极限是0：复数列不收敛，极限不存在ei-e-ie"+e-sinzCOSZ2i2
-7- 例1 解 判别下列复数列是否收敛，如收敛，求出极限。 1 1 (1) lim lim (1 ) lim (1 )(cos sin ) i n n nn n e i n nn n 实部的极限为1，虚部的极限是0 1 (1) =(1 ) ;(2) = cos i n n n e n in n 复数列收敛，极限是1 (2) lim = lim cos lim 2 n n n nn n e e n in n 复数列不收敛，极限不存在 第一项极限为 ，第二项极限是0 sin cos 2 2 zi zi zi zi ee ee z z i cos sin i e i
2. 复数项级数的概念定义设复数列：(α,}={a,+ib,)(n=1,2,.),称α,=α+α+…+α…--复数项无穷级数n=1级数的前面n项的和S, = af +α + ..+α, = Zα,--级数的部分和i=l8收敛则级数cα,称为收敛n=l且lims,=s称为级数的和若部分和数列(s,)n-→0080不收敛一则级数α,称为发散n=l-8-
-8- 2. 复数项级数的概念 1 2 1 n n + n 1 2 1 + n n ni i s 级数的前面 n项的和 -级数的部分和 lim n n s s 且 称为级数的和 1 n n － 则级数 称为收敛 1 n n － 则级数 称为发散 -复数项无穷级数 定义 {}{ } ( 1,2, ), n nn 设复数列： a ib n { }n s 收 敛 若部分和数列 不 收 敛 称
复数列α(n=12）收敛于复数α=a+ibliman=a,lim b, = bo定理1n-→o0读音sigma定理2（级数收敛的充要条件）t读音tau88080级数Za,和Zb.都收敛。α,(α,=a,+ib,)收敛n=ln=ln=l: S, =α =(a +ibr)=at +ibe =0, +it,证明：k=1k=1k=1k=1:级数收敛，由定理1,lims,=a+ib←limo，=a,limt，=bnn>0n将部分和数列s.看成定理1中的a,和b,都收敛。复数列（α），利用定理1n=1n=1由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题
-9- 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。 定理2 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。 11 11 ( ) nn nn n k kk k k nn kk kk s a ib a i b i 证明: (级数收敛的充要条件) ( 1, 2,.) = lim , lim n n n n n n a ib aa bb 复数列 收敛于复数 。 lim lim ,lim n nn n nn s a ib a b 级数收敛，由定理1， 1 1 n n n n a b 和 都收敛。 定理1 将部分和数列{sn}看成定理1中的 复数列{αn}，利用定理1 σ 读音sigma τ 读音tau
级数α,(α,=a,+ib,收敛a,和b,都收敛。定理2n=I783i$, - a, + +a, - ZαZ的敛散性。例1判别级数2nn=13in1O>又lims,=3i解：s,313i(1二2jPn>00j=1.级数收敛，且和为3i。例级数≥-(1+")是否收敛?nn=l n11/n级数是调和级数，是发散的解α.1/n级数是二级p级数，是收敛的nnnn11(1+)发散发散，Z收敛，级数1nnnn=l nn=1n=1-10-
- 10 - 例1 解 1 3 2n n i 判别级数 的敛散性。 1 1 311 3 3 (1 ), lim 3 22 2 n n n n jjn n j j i s i i si 又 级数收敛，且和为 3i。 1 1 (1 ) n i n n 例 级数 是否收敛？ 2 1 11 = (1 ) n i i n nnn 解 = 2 11 1 11 1 . nn n i n n nn 发散， 收敛， 级数 (1+ )发散 1/n级数是调和级数，是发散的 1/n2级数是二级p级数，是收敛的 1 2 1 + n n ni i s 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 定理2 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。