《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（2/5）

第三章多维随机变量及其分布82边缘分布边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度

边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布边缘分布函数1）边缘分布的定义：如果(X，Y)是一个二维随机变量，称X(或者Y)的分布为X(或者Y)关于二维随机变量(X,Y)的边缘分布.边缘分布也称为边沿分布或边际分布

一、边缘分布函数 如果X， Y 是一个二维随机变量， 边缘分布也称为边沿分布或边际分布． §2 边缘分布 1）边缘分布的定义： 称 X 或者Y 的     . , 缘分布 分布为 X 或者Y 关于二维随机变量 X Y 的边 第三章 多维随机变量及其分布

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布2）已知联合分布函数求边缘分布函数Y)的分布函数为F(x，y)e设二维随机变量(X，则X的分布函数为Fx(x) = P(X≤x)= P(X≤x,Y<0)= F(x,0)则Y的分布函数为Fr(y) =P(Y≤y)= P(X<00,Y≤y)= F(0, y)

设二维随机变量X， Y 的分布函数为Fx， y， 2）已知联合分布函数求边缘分布函数 §2 边缘分布 则 X 的分布函数为 则 Y 的分布函数为 F ( x ) X  F ( x ,  ) F ( y ) Y  F (  , y )  PX  x  PX  x,Y    PY  y  PX  ,Y  y 第三章 多维随机变量及其分布

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布例1设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为xF(x, y)= Al B+arctanC +arctan?23(8<x<+8,8<y<+8试求：（(1)常数A、B、C(2)X及Y的边缘分布函数解星（1)由分布函数的性质，得元1= F(+0, +)= AB+C22x元C0 = F(x, -o) = A B+arctan-22J-30=(-, )-(-号)C+arctan

解 设二维随机变量X， Y 的联合分布函数为                  3 arctan 2 arctan y C x F x， y A B    x   ，    y    试求：⑴ 常数 A、 B、 C；⑵ X 及Y的边缘分布函数． ⑴由分布函数的性质，得 1  F ，                  2 2   A B C 例1 §2 边缘分布                2 2 arctan  C x A B                3 arctan 2 y A B C  0  Fx，   0  F ， y 第三章 多维随机变量及其分布

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布1元元CB由以上三式可得，A==S422,22元xy-(+arctan+ arctan2)32(-8 o0元1xHid+ arctan(-8<x<+8)2元

   x   ，    y    第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 由以上三式可得， ， ， ． 2 2 1 2    A  B  C  ⑵ X 的边缘分布函数为                  3 arctan 2 2 arctan 2 1 2 x y F x y    则 ，                 3 arctan 2 2 arctan 2 1 lim 2 x y y            2 arctan 2 1  x  F x  Fx，  X ( ) (  x  )

第三章多维随机变量及其分布S2边缘分布同理，Y的边缘分布函数为Fy(y) = F(o, y)x元元2= lim+ arctan+ arctan2八223x-→0元1元+arctan(-8<y<+8)23元

第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 同理， Y 的边缘分布函数为                 3 arctan 2 2 arctan 2 1 lim 2 x y x            3 arctan 2 1  y  F y F y Y ( )  ， (  y  )

82边缘分布第三章多维随机变量及其分布一已知联合分布律求边缘分布律随机变量(X，Y)的联合分布律为(i，j=1,2,.)Pi, = P(X = x,Y = y, 3,现求随机变量X的分布律：Pi. = P(X = x.) - P(X =x,U(Y = y,))= P(U(X =x,Y=- y,) -Ep(X=x,Y=y,)1Zp (i=1,2,)?同理，随机变量Y的分布律为：P, =P(Y = y,j=Zp(X=x,Y=y,}-Zpj(j=1,2

二、已知联合分布律求边缘分布律 随机变量X， Y 的联合分布律为  , i j i j p  P X  x ， Y  y { , ( )} j j i  P X  x  Y  y { ( , )} i j j  P  X  x Y  y 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 i，j  1， 2，  i  1， 2，    j  1， 2，   同理，随机变量 Y 的分布律为： 现求随机变量X的分布律：   i i p  P X  x .       j i j P X x ,Y y p . j  P Y  y j        i i j P X x ,Y y   j pij   i ij p

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布X以及Y的边缘分布律也可以由下表表示Yyiy2yjXpixipi1P12Pi.prjX2P21P2jP2.P22..x,Pi2pi.pilPi.........1p.jP.1P.2P.j

X以及Y的边缘分布律也可以由下表表示 Y X 1 y 2 y . j y . i p 1 x 11 p p12 . j p1 . p1 2 x p21 p22 . p2 j . 2 p      i x i1 p i2 p . pij . i p      p j p1 2 p . p j . 1 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布例2从1,2,3,4这4个数中随机取出一个，记为X，e再从1到X中随机地取出一个数，记为Y,试求(X,Y)的联合分布律及X与Y各自的边缘分布律解X与Y的可能取值都是1.2.3.4，而且X≥Y当i<j时,Pi,= P(X =i,Y =j)=0当i≥j时，pi=P(X=i,Y=)1-px-1-x-1--1-再由pi.p及p,=pi可得X与Y各自的边缘分布律为

例 2 解 第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 i 4i 1 1 4 1    p P X i Y j i j   ,   0 p P X i Y j i j   ,   P X  iP Y  j | X  i 从 1, 2, 3, 4这4 个数中随机取出一个， 记为 X， . 1 ( , ) 联合分布律及 与 各自的边缘分布律 再从 到 中随机地取出一个数， 记为 ，试求 的 X Y X Y X Y X 与Y 的可能取值都是1, 2, 3, 4，而且 X  Y， 当 i  j 时， 当 i  j 时，   j 再由 pi. pij   i 及 p. j pij 可得 X 与Y 各自的边缘分布律为

S2边缘分布第三章多维随机变量及其分布例2（续）Y3241Pi.X1-41-41-41-41-400011-81-21-8 1-2.-1600223011611416161347328p.j4848

Y X 1 2 3 4 pi  1 41 0 0 0 41 2 81 81 0 0 41 3 121 121 121 0 41 4 161 161 161 161 41 p j 48 25 48 13 487 483 1 第三 章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 例 2（续）