《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第二章 随机变量及其分布（3/4）

上节课内容复习1）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会求离散型随机变量的分布律：会确定分布律中的未知参数(1)对任意的自然数n，有 p，≥0;(2)Zp,=1.2）若X表示一次贝努里试验中成功出现的次数，则 X~B(1,p)3）若X表示n重贝努单试验中成功出现的次数则X~B(n,p)P(X = k)= Chp*(1 - p)"-k(k=0,1,...,n)

1）掌握离散型随机变量分布律的定义和性质，会 求离散型随机变量的分布律；会确定分布律中的未 知参数  0; ⑴ 对任意的自然数n，有 pn   1. n ⑵ pn 上节课内容复习 PX k C p  p  k n  k k n k   n 1   0， 1， ，  3）若 X 表示n重贝努里试验中成功出现的次数， 则 X ~ B ( n , p ), 2）若 X 表示一次贝努里试验中成功出现的次数， 则 X ~ B ( 1 , p )

4）掌握泊松分布P(X=k)- 一元(k=0, 1,2,...)k!Poisson定理的应用若随机变量 X~ B(n,p),令：=npak则有P(X=k)=Chp*(1-p)"-k-2e2k!5）掌握几何分布：若X表示贝努里试验中A首次发生时试验的次数P(X = k)= (1 - p)"" p (k = 1,2, ., 0)

   0， 1， 2，   !     e k k P X k k   4）掌握泊松分布； Poisson 定理的应用 若随机变量 X ~ Bn， p， 令：  np     k k n k P X k Cn p p  则有   1    e k k ! 5）掌握几何分布：若 X 表示贝努里试验中A首次 发生时试验的次数             1 1,2, , 1 P X k p p k  k

6）掌握随机变量分布函数的定义及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率F(x)=PlX ≤ x)F(x)是一个单调不减右连续的函数；0≤ F(x)≤1;F(-8) = 0, F(8)=1;P(a< X≤b) =F(b)-F(a)P(X =a) =F(a)-F(a-0)

6）掌握随机变量分布函数的定义及性质; 会计算与 随机变量相联系的事件的概率 F ( x )  P{ X  x } F (x) 是一个单调不减右连续的函数； 0  F ( x )  1; F ( )  0, F ( )  1; Pa  X  b  Fb Fa PX  a  Fa Fa  0

第二章随机变量及其分布S4连续型随机变量的概率密度概率密度及其性质指数分布均匀分布正态分布与标准正态分布

概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 §4 连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度回顾上一节例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数0,x<0,1tF(x) =0≤x<2,41.x ≥2.2130x=J f(t)dt,[o,602x<0,其中 f(x)=3例5F(x)=3x/2, 0≤ x<1,0,其它.1,x≥1

         1, 2. , 0 2, 4 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 0 1 2 3 1 x 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 回顾上一节 例2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘 上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X的分布函数.   x f (t)dt,         0, . ,0 2, ( ) 2 其它 其中 x x f x           1, 1. / 2, 0 1, 0, 0, ( ) x x x x 例5 F x

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概念与性质1) 定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x) =/f(t)dt,则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度连续型随机变量的分布函数F）是连续函数

一、连续型随机变量的概念与性质 1) 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存 在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.   x F(x) f (t)dt, 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的分布函数F(x) 是连续函数

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度由定义知道，概率密度f(x）具有以下性质10f(x) ≥ 0.前两个条件是概率密度的充分必要条件2°I f(x)dx = 1.x030P[xi <X≤x2) = F(x2)-F(x))f(x)Jr f(x)dx. (x ≤x2)0x x2 x

由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： 1 ( ) 0. 0 f x  2 ( )d 1. 0     f x x f (x) 0 x 1 3 { } ( ) ( ) 1 2 2 1 0 P x  X  x  F x  F x f (x) 0 x 1 x 2 x 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 ( )d . ( ) 1 2 2 1 f x x x x x x    前两个条件是概率密度 的充分必要条件

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度4°若f(x)在点x处连续，则有VF'(x) = f(x)F(x) = (m f(t)dt即F(x + △x) - F(x)f(x) = limArAr-→0tPx 0*若不计高阶无穷小，有f (x)Px < X ≤ x + Ax) ~ f(x)Ax.xx+4x0

4 0 若f (x)在点x处连续，则有 x F x x F x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 即 x P x X x x x          { ) lim 0 若不计高阶无穷小，有 P{x  X  x  x}  f (x)x.   x F(x) f (t)dt, 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 F(x)  f (x). f (x) 0 x x  x

第二章随机变量及其分布S4连续型随机变量的概率密度注意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！P(x =a)= f(a) !我们不能认为：连续型随机变量的一个重要特点：设X是连续型随机变量，则对任意的实数α，有P[x = a}= 0

注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！ 我们不能认为： PX  a f a ！ 设 X 是连续型随机变量，则对任意的实数a， 有 PX  a 0 连续型随机变量的一个重要特点： §4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布S4连续型随机变量的概率密度说明若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x)，则X在任意区间G（G可以是开区间也可以是闭区间，或半开半闭区间可以是有限区间，也可以是无穷区间）取值的概率为，此公式非常重要！P(X e G)=J f(x)dx

说 明 若已知连续型随机变量 X的密度函数为 f x， 也可以是无穷区间）上取值的概率为， 闭区间，或半开半闭区间 可以是有限区间， 则 在任意区间 （ 可以是开区间也可以是 , X G G ,        G P X G f x dx 第二章 §4连续型随机变量的概率密度 随机变量及其分布 此公式非常重要！