《复变函数》课程教学课件（讲稿）第02章 解析函数

第2章解析函数

-1- 解析函数 第2章

第2章解析函数S11解析函数的概念ms2函数解析的充要条件mS3初等函数mS4平面场的复势*m将一元函数微分学推广到复变函数。解析函数是复变函数研究的主要对象，也是本课程应该掌握的重点内容之一。解析函数是比可导函数条件更强的复变函数。2

-2-  §1 解析函数的概念  §2 函数解析的充要条件  §3 初等函数  §4 平面场的复势*  §1 解析函数的概念  §2 函数解析的充要条件  §3 初等函数  §4 平面场的复势* 第2章 解析函数 将一元函数微分学推广到复变函数。 解析函数是复变函数研究的主要对象，也是本课程应该掌握的重点内容之一。 解析函数是比可导函数条件更强的复变函数

s 2. 1解析函数的概念1.复变函数的导数定义02.解析函数的概念m

-3-  1. 复变函数的导数定义  2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念

0. 回顾实变函数的导数与缴分的概念一元函数中函数f(x)在x的导数：Ayf'(xo) = limAx-0 △xf(x。 +△x)- f(xo)= limAr->0Axlim p(△x) = 0f(% +△x)-f(x)= f(x)Ar+p(△x)△xAx-￥0p(Ax)Ax是关于△x的高阶函数的微分：dy=f(xo)dx无穷小量（当△x趋于0）可导连续可微极限存在

-4- 0. 回顾实变函数的导数与微分的概念 一元函数中 0 0 0 ( ) limx fx x y f x   x     函数( )在 的导数： 0 0 0 ( ) () lim x fx x fx   x        0 00 f( ) () () x x fx f x x x x          0 函数的微分：dy f x dx  ( ) 极限存在 连续 可导 可微   0 lim 0 x  x     ρ(Δx) Δx是关于Δx的 高阶 无穷小量(当Δx趋于0)

.复变函数的导数(1)导数定义-形式上与一元函数的导数完全一致定义 设函数w=f() zED,且zo、 Zo +△zED,f(zo +Az)- f(zo)存在，则称函数f(2)如果极限limAzAz→0在点zo处可导。称此极限值为f(z)在zo的导数dwf(zo +)- f(zo)= lim记作 f(z):该式有时也叫差商dzK4->012=2如果函数w=f(z)在区域D内处处可导，则称函数f(z)在区域D内可导。5

-5- 如果函数 w = f(z) 在区域D内处处可导，则称 函数 f (z) 在区域D内可导。 一 . 复变函数的导数 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数f (z) 在点 z0处可导。称此极限值为 f (z) 在 z0的导数， 记作 z f z z f z z       ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim z z z dw fz z fz f z dz z          (1)导数定义-形式上与一元函数的导数完全一致 该式有时也叫差商

(1)△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零。所以使复变函数的可导性具有许多独特性质和应用(2) z=x+iy, △z=△x+iy, △f(或△w)=f(z+△z)-f()例1 证明：f(z)=Re(2)在平面上的任何点都不可导AfRe(z + △z)-Re(z)证明limlimAzAz→04-→0△z△xx+△x-xlim= limAz0Az→0 Ax+iy△x +iy当△z取实数趋于0时,f/△z→1;Af不存在。= lim当△z取纯虚数趋于0时,Af/△z→0;Az4z-→>0极限不存在，处处不可导注：或者以△1k△x方式，让△-趋于C

-6-  (1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 所以使复变函数的可导性具有许多独特性质和应用。 (2)z= x+iy, Δz=Δx+iΔy, Δf(或Δw)=f(z+Δz)-f(z) 例1 证明 在平面上的任何点都不可导 : ( ) Re( ) . fz z  0 0 Re( ) Re( ) lim lim z z f zz z z z         0 0 lim lim z z x xx x   x iy x iy          0 , 1; 0 , 0; z fz z fz         当 取实数趋于 时 当 取纯虚数趋于 时 0 limz fz      不存在。 证明 极限不存在， ∴处处不可导 注：或者以∆y=k ∆x方式，让∆z趋于0

dvf(o +)-f(=0)limA0Adt例求 f(z)=z的导数解按照导数的定义f(z+△z)- f(z)limAz4-->0(z+N) -z?=lim= lim(2z+z)= 2zz>0>0

-7- 2 例 求 的导数 fz z () .  解 0 2 2 0 0 ( ) () lim ( ) = lim = lim(2 ) 2 z z z fz z fz z zz z z z z z             按照导数的定义 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim z z z dw fz z fz f z dz z         

dhf( +)-f(z0)-limf'(.A0Ad(2)可导与连续的关系若 w=f(z) 在点 zo处可导>W=f(z)在点 zo处连续2证明:若f(z)在z.可导,则Vε>0,3S>0f(zo +z)- f(20) 使得当00p(=)是关于△-的高阶无穷小由此可得f(z+z)-f(zo)= f(zo)△z+(z)z,量（当趋于0）上式两边取极限,limf(z。+△z)=f(zo),:.f(z)在z.连续Az-注意：可导一定是连续的。但连续却不一定可导。8

-8- (2)可导与连续的关系 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z)在 点 z  0 处连续. ?       0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000 0 ( ) , 0, 0, ( ) () 0 , () , ( ) () ( ), lim 0, ( ) () () , lim ( ) ( ), ( ) : z z fz z fz z fz z fz z fz z fz z fz z z fz z fz f z z z z fz z fz fz z                                        若 在 可导 则 使得当 时 有 令 则 由此可得 上式两边取极限， 在 证明 连续 注意：可导一定是连续的。但连续却不一定可导。 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim z z z dw fz z fz f z dz z          ρ(Δz) Δz是关于 Δz的高阶无穷小 量(当Δz趋于0)

设f(=)=u(x.y)+i(xy)在=。=x+iy处连续limu(x,y)=u(xo,yo)BLo-J0limv(x,y)=v(Xo.yo)(x.y)(1o.30)例?考查f(2)=2的连续性与可导性解：i设z=x+iy,则z=x-iy，显然f(z)=z是连续的根据导数定义z+zAx-iAyf(z+)-f()Z= lim limf(z)= limAz>0A-0Ax+iy40若我们设沿△=k△x，使z→0Ar-ik△x1-ikk是任意的，值不确定，=lim即极限不存在A-0△x+ik△x1+ik:f(z)=z极限不存在，虽然处处连续，但处处不可导

-9- 0 ( ) () ( ) lim z f z z fz f z z        考查 的连续性与可导性 fz z ( )  0 0 lim lim z z z z z x iy   z x iy          0 1 lim z 1 x ik x ik   x ik x ik         若我们设沿 ，使 y kx z  0 ∴ 极限不存在，虽然处处连续，但处处不可导 根据导数定义 解： 设z x iy z x iy f z z   ,则 ，显然 ( )= 是连续的 例 f( )= z z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim v x, y v x , y lim u x, y u x , y z x iy f z u x, y iv x, y x ,y x ,y x ,y x ,y          在 处连续 设 k是任意的，值不确定， 即极限不存在

派(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为△z→0是在平面区域上以任意方式趋于0的缘故。2)在高等数学(实变函数)中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的，但在复变函数中，却轻而易举。-10-

- 10 -  (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于0的缘故。 (2) 在高等数学(实变函数)中要举出一个处处 连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举