第5章留数
留 数 第5章
第5章留数S 5. 1孤立奇点m留数S 5. 2m$5. 3留数在定积分计算的应用S 5. 4对数留数与幅角原理m留数在计算积分的时候非常有用，涉及到孤立奇点。而孤立奇点涉及到第4章的级数
§5.1 孤立奇点 §5.2 留数 §5.3 留数在定积分计算的应用 §5.4 对数留数与幅角原理* 第5章 留数 留数在计算积分的时候非常有用，涉及到孤立奇点。 而孤立奇点涉及到第4章的级数
S5.1孤立奇点1．孤立奇点定义2. 孤立奇点分类3.孤立奇点性质4.零点与极点的关系
1. 孤立奇点定义 2. 孤立奇点分类 3. 孤立奇点性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点
孤立奇点定义1.1定义若f(z)在z.处不解析，但在z.的某个去心邻域0<zz<内解析，则称z为f(z)的孤立奇点。f(z)=e:2例如----z=0为孤立奇点1--z=1为孤立奇点f(z)z-11f(z):--z=0及z=1/n元(n =±1，±2，)sin!都是它的奇点
1. 孤立奇点定义 例如 1 ( ) z f z e -z=0为孤立奇点 1 1 ( ) sin z f z -z=0 及 z=1/ n (n = 1 , 2 , . ) 都是它的奇点。 1 ( ) 1 f z z -z=1为孤立奇点 定义 0 0 0 0 ( ) 0 () fz z z z z z fz 若 在 处不解析，但在 的某个去心邻 域 内解析，则称 为 的孤立奇点。 ~~~~~~~~~
7----z=0及z=1/n元(n =±1,±2，)f(z)sin!都是它的奇点。1但lim=0.在z=0不论多么小的去心邻域n→on元2内，总有f(z)的奇点存在，1故z=0不是sin!的孤立奇点。x这说明奇点未必是孤立的
1 lim 0, 0 ( ) n z n f z 但 在 不论多么小的去心邻域 内，总有 的奇点存在， x y o 这说明奇点未必 是孤立的。 1 1 0 sin z 故 z 不是 的孤立奇点。 1 1 ( ) sin z f z -z=0及 z=1/n (n = 1 , 2 ,.) 都是它的奇点
2.3孤立奇点分类以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据将孤立奇点进行分类，例如：展开式的不同情况，-2nz2sin zN1(-1)5!3!(2n + 1)!22l(-1)"_2m--特点：没有负幂次项1zk+o0Sinz3!51(2n+1)!(2n+1)!e0_n-1≥"~1+o0+81D>(2)++2!n!n!n!ZZn=0n=0！特点：只有有限多个负幂次项="=k+0=0n!11(3)e = 1 +2!n!特点：有无穷多个负幂次项
2. 孤立奇点分类 以下将 f ( z ) 在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据 展开式的不同情况，将孤立奇点进行分类，例如： 24 2 sin (1) 1 ( 1) 3! 5! (2 1)! n n z zz z z n 特点：没有负幂次项 1 1 0 0 1 1 (2) 1 ! ! 2! ! z nn n n n e zz z z zz n n z n 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 1 (3) 1 2! ! z n ezz z n 特点：有无穷多个负幂次项 0 1 ,| | ! z n n e zz n 3 5 21 21 0 ( 1) sin ( 1) , | | 3! 5! (2 1)! (2 1)! n nn n n zz z z zz z n n
定义 设z是f()的一个孤立奇点，在 z的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数：(i) f(z)= c,(z-z0)"n=0没有负幂次项，称 z=z为f(z)的可去奇点;Zc,(z-zo)" (c-m±0,m≥1)(ii) f(z) =n=-m只有有限多个负幂次项，称z=zo为f(z)的m级极点(ii) f(2) = Z c,(z- zo)"Yn=有无穷多个负幂次项，称 z=zo为f(z)的本性奇点。1
设 z0是 f (z)的一个孤立奇点，在 z0 的去心邻域内， 若 f (z)的洛朗级数： 0 0 () ( ) ( )n n n i fz c z z 没有负幂次项，称 z=z0为f (z)的可去奇点; 0 ( ) ( ) ( ) ( 0, 1) n n m n m ii f z c z z c m 只有有限多个负幂次项，称 z=z0为f (z)的m 级极点; 0 ( ) () ( )n n n iii f z cz z 有无穷多个负幂次项，称 z=z0为f (z)的本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ 定义
可去奇点，没有负幂次项m级极点，只有有限个负幂次项3.孤立奇点性质本性奇点，有无穷多个负幕次项口若z为f()的可去奇点-O f(z)=c,(z- zo)" lim f(z)= Con=0若补充定义：f(zo)=Co，则f(z)在 z解析口若z为f(z)的m级极点(m≥1)+8台f(2)= c,(z-zo)" (c-m±0,m≥1)n=-m1 lim f(z)= 80 ← f(z) (2-20)m8(2)=→20其中:g(2)=Cm+Cm+1(z-zo)+C-m+2(z-zo) +.,(g(2)无负幂项)g(2)在z-zol<S内是解析函数，且g(z)0
3. 孤立奇点性质 00 0 若补充定义： ， 则 在 解析 fz c fz z ( ) () . 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) n n z z n f z c z z fz c 若 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点 0 ( ) ( ) ( 0, 1) n n m n m fz c z z c m 若 z 0 为 f ( z ) 的m 级极点 (m 1) 0 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) m z z f z f z g z z z 可去奇点，没有负幂次项 m级极点，只有有限个负幂次项 本性奇点，有无穷多个负幂次项 2 10 20 0 0 : ( ) ( ) ( ) ,( ( ) ) ( ) ( ) 0. mm m gz c c z z c z z gz gz z z gz 其中 无负幂项 在 内是解析函数，且
z?-3z +2例如：f(z) :(有理分式函数(z2 + 1)(z - 1)4z=1为f(z)的一个三级极点，z=土i为f(z)的一级极点。要注意！z-3z+2(z-)(z-2): f(z) =(-2 +1)(z -1)4(=2 +1)(z-1)4口若z为f()的本性奇点→f(z)的洛朗级数有无穷多项负幂次项← lim f(z)不存在，也不为Z→20
2 2 4 3 2 ( ) ( 1)( 1) z z f z z z 例如： z=1为 f (z)的一个三级极点， z=i为 f (z)的一级极点。 0 ( ) lim ( ) z z f z f z 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 不存在，也不为 若 z0为 f (z)的本性奇点 (有理分式函数) 2 2 42 4 3 2 ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1) zz zz f z zz zz 要注意！
4.．零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数 f(z)如果能表示成f(z) =(z -zo)" d(z)其中：d(z)≠0,d(z)在z。点解析,m为一正整数(zo)不等于0说明(z)无正z-z,乘项，则称 z=zo为f(z)的m级零点(z)在z.解析说明o(z)无负z-z.项函数f(=）在点=解析f(=）在=的某一邻域内可展成Taylor级数c,(=-=)。第四章I=例如： z=0与z=1分别是 f(z)=z(z-1)的一级与三级零点
4. 零点与极点的关系 不恒等于 0的解析函数 f ( z )如果能表示成 0 () ( ) () m f z zz z 0 0 其中： 在 点解析 为一正整数 ( ) 0, ( ) , z zz m 则称 z = z 0 为 f ( z) 的m 级零点 。 3 z z f z zz 0 1 ( ) ( 1) 与 分别是 的一级 与 三 级 零点。 例如： 定义 φ(z 0 )不等于 0说明φ(z)无正z-z 0乘项， φ(z) 在 z 0解析说明φ(z)无负z-z 0 项 0 0 0 0 () () Taylor ( )n n n fz z fz z cz z 函数 在点 解析 在 的某一邻域内 可 展 成 级数 。 第四章