《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（1/5）

第三章多维随机变量及其分布81二维随机变量S2边缘分布S3条件分布$4相互独立的随机变量85两个随机变量的函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布 § 1 二维随机变量 § 2 边缘分布 § 3 条件分布 § 4 相互独立的随机变量 § 5 两个随机变量的函数的分布

第三章多维随机变量及其分布s1二维随机变量二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度

§1 二 维 随 机 变 量  二维随机变量  联合分布函数  联合分布律  联合概率密度 第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量一、二维随机变量1）定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是 S=le],设 X-X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机向量，或二维随机变量X(e)SY(e)

1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。 S e X(e) Y(e) 一、二维随机变量 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量注意事项(1)二维随机变量也称为二维随机向量;(2)我们应把二维随机变量(ees)(X, Y)=(x(e), Y(e)看作一个整体，因为X与Y之间是有联系的(3)在几何上，二维随机(X，Y)可看作平面上的随机点

注 意 事 项 ⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量； ⑵ 我们应把二维随机变量 X， Y   Xe， Ye  e  S  看作一个整体，   上的随机点． ⑶ 在几何上，二维随机变量 X， Y 可看作平面 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 因为 X 与Y 之间是有联系的；

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量2）二维随机变量的例子例1考察某地区成年男子的身体状况，令X：该地区成年男子的身高：Y：该地区成年男子的体重则(X，Y)就是一个二维随机变量例2考察某地区的气候状况，令X：该地区的温度;Y：该地区的湿度！则(X，Y)就是一个二维随机变量

2）二维随机变量的例子 例1 考察某地区成年男子的身体状况，令 X：该地区成年男子的身高； 则X， Y 就是一个二维随机变量． Y：该地区成年男子的体重． 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 例2 考察某地区的气候状况，令 X：该地区的温度； 则X， Y 就是一个二维随机变量． Y：该地区的湿度．

第三章多维随机变量及其分布81二维随机变量二、联合分布函数1）定义设(X，Y)是一个二维随机变量，则对于任意一对实数(x，y),F(x, y)=P(X≤x, Y≤y)是(x，)的函数．我们称此函数二维随机变量(X，Y)的分布函数y2）二元分布函数的几何意义(x, y)F(x，y)表示平面上的随机点(X，Y)落在以(x，)为右上(X, Y)顶点的无穷矩形中的概0

  实 数 ， ， 设 ， 是一个二维随机变量，则对于任意一对 x y X Y    ， 的分布函数. 是 ， 的函数．我们称此函数为二维随机变量 X Y x y Fx， y  PX  x， Y  y 二、联合分布函数 §1 二维随机变量 1）定 义 第三章 多维随机变量及其分布 y o (x, y) (X, Y )       顶点的无穷矩形中的概率 ． ， 落在以 ， 为右上 ， 表示平面上的随机点 X Y x y F x y 2）二元分布函数的几何意义

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量3）一个重要的公式设x,<x，<2，则P(xi<X≤x2,yi<Y≤y2)=F(x,,y2)-F(x,,y) -F(x,,yz) +F(x,y)y个(x1, y2)(x2, y2)y2(X, Y)y1(x2, y1)(xi,yi)x0XiX2

3）一个重要的公式 设 x1  x2 ，y1  y2 ，则 Px1  X  x2 ， y1  Y  y2    2 2  F x ， y   1 2  F x ， y y o x x 1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量   2 1  F x ， y   1 1  F x ， y

S1二维随机变量第三章多维随机变量及其分布4）分布函数具有以下的基本性质：(1)F(x，y)是变量x，y的不减函数，即对于任意固定的y,当x<x,时，F(xj,y)≤F(x2,y);对于任意固定的x,当y<y,时，F(x,y)≤F(x,y2);(2) 0 ≤F(x, y)≤1, 且对于任意固定的 y，F(-o,)=0;对于任意固定的x，F(x,-8)=0;F(-8,-8) = 0;F(+8,+8) = 1

4）分布函数具有以下的基本性质： (1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， ( , ) ( , ) ; 1 2 F x y  F x y ( , ) ( , ) ; 1 2 F x y  F x y 对于任意固定的 y , F( , y)  0; F( x, )  0; F ( , )  0; F ( , )  1. (2) 0  F( x, y)  1, 且 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， 对于任意固定的 x

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量(3) F(x,y)=F(x+0,y), F (x ,y )=F(x y+0)即F(x，)关于x右连续，关于也右连续(4) F(x2,y2)-F(x2,J1)-F(x1, y2)+ F(xi, J1)≥ 0.yA(xi, y2)(x2, y2)y2(X, Y)yi(Xi,y1)(x2, y1)0xX1X2

(3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续. y o x x 1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) (4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x2 y 2  F x2 y1  F x1 y 2  F x1 y1  第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量

第三章多维随机变量及其分布S1二维随机变量5）n维随机变量设E是一个随机试验，S是其样本空间，X, =X,(e)(ees) (i=1,2,..,n)是该样本空间上的n个随机变量则称)(ees)为样本空间S上的n维随机变量

5）n 维随机变量 设 E是一个随机试验，S是其样本空间， X X e  e S  i n i  i   1， 2， ， 是该样本空间上的n个随机变量． 则称  X e X e X e  e S  X X X n n  ， ， ，  ， ， ，   1 2 1 2 为样本空间S上的n维随机变量． 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量