《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布（3/5）

上节课内容复习1）掌握二维随机变量分布函数的定义及性质F(x, y)= P(X≤x,Y≤y)(1)F(x,J)是变量x,y的单调不减函数;(2) 0 ≤ F(x, y)≤1, 且 F(-00, y) = 0; F(x,-00) = 0;F(-80,-) = 0; F(+0,+80) = 1.(3) F(x, y)=F(x+0,y), F(x, y)=-F(x y+0),(4) F(x2,y2) -F(x2,J1) -F(X1,y2) + F(x1,y1) ≥ 0

1）掌握二维随机变量分布函数的定义及性质； 上节课内容复习 Fx， y  PX  x， Y  y (1) F (x , y )是变量 x , y 的单调不减函数； F( , y)  0;F( x, )  0; F ( , )  0; F ( , )  1. (2) 0  F( x, y)  1, 且 (3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), (4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x2 y 2  F x2 y1  F x1 y 2  F x1 y1 

2）掌握二维离散型随机变量分布律的定义和性质会求二维离散型随机变量的分布律：P(X = x,Y = y,}= pj, i, j =1,2,...Pi, ≥0, p, =1i,j3）掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面某一区域上的概率F(x,y)=jj.r(u,v)advdlu,f(x,y) ≥ 0,-818 j f(x, y)dxdy =1, P(X,Y) e G)= J r(x,y)dxdy.1818G

2）掌握二维离散型随机变量分布律的定义和性质； 会求二维离散型随机变量的分布律；    G P{(X,Y ) G} f (x, y)dxdy. 3）掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会 运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面 某一区域上的概率. PX  xi ,Y  y j  pij , i, j  1,2,  0, 1 ,    i j i j i j p p ( , )  1,       f x y dxdy f (x, y)  0, F(x, y) f (u,v)dvdu, x y    

4）掌握二维均匀分布的定义及性质(x, y)eDDG0(x, y)@ DBBxP((X,Y) e G) = [[ f(x, y)dxdyAG5）二维正态分布(X, Y)~N(u,μ2,,2)f(x, y)=产2元0,0, /1-r21[(x-)2r(x-μ-μ)(-).exp21-r)0a29i92-00 0(i=1, 2), -1<r <1

5）二维正态分布                                       2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 exp 2 1 1            x r x y y r r f x， y X Y N  r 2 2 2 ， ~ 1 ，  2 ， 1 ，      i  1， 2,  i  0 i  1， 2,  i  1  r  1. 4）掌握二维均匀分布的定义及性质；              x y D x y D f x y A ， ， ， 0 1 {( , ) } ( , ) . A B P X Y G f x y dxdy G     D x y A G B

掌握边缘分布的三对公式60Fx(x) = F(x,80)F(y) = F(,y)Pi.= P(X =xi)-Zp,p.,=P(Y= y)-Zp)+8fx(x)=[r(x, y)dy f(v)=[f(x, y)dx8.O

        f x  f x y dy X ，         f Y y  f x， y dx F ( x ) X  F ( x ,  ) F ( y ) Y  F (  , y )   i i p  P X  x .   j pij p . j  P Y  y j    i ij p 6）掌握边缘分布的三对公式：

第三章多维随机变量及其分布S3条件分布·条件分布律·条件分布函数·条件概率密度

• 条件分布律 • 条件分布函数 • 条件概率密度 第三章 多维随机变量及其分布 §3 条件分布

第三章多维随机变量及其分布S3条件分布二、离散型随机变量的条件分布律设（X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为P, = P(X=x,Y=y,i, j=1,2,..(XY）关于X和关于Y的边缘分布律分别为09P(X = x,}= pi. -Zpij,i=1,2,..j=1p(= y,)= p.,-Pij，j=1,2,..i=1

一 、离散型随机变量的条件分布律 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为   , 1,2, 1         P X x p p i j i i i j   , 1,2, 1         P Y y p p j i j j i j (X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为 第三章 多维随机变量及其分布 §3条件分布 pij  PX  xi ， Y  yj , i, j  1,2, 

第三章多维随机变量及其分布S3条件分布上节例3掷一枚殷子，直到出现小于5点为止。X表示最后一次掷出的点数，Y为掷子的次数。求在抛掷了i次条件下，最后出现点的概率。解X的可能取值为1，2，3，4,Y的可能取值为1，2，3，··当j=1,2,··P(x=ilY=)P(X-Y-_ , 1-1,2.3.4P(Y=j)p.j

上节例3 解 X 的可能取值为1，2，3，4， Y 的可能取值为1，2，3，  第三章 多维随机变量及其分布 §3条件分布 PX  i |Y  j   PY j P X i Y j     , , j ij p p   当 j =1,2,  i =1,2,3,4 掷一枚骰子，直到出现小于5点为止。 X 表示最后一 次掷出的点数，Y 为掷骰子的次数。 求在抛掷了j 次 条件下，最后出现i点的概率

第三章多维随机变量及其分布83条件分布定义设(X,Y）是二维离散型随机变量，对于固定的，若P(=y}>0,则称P(x-xY=)-Px-l- -12..P(Y=y,)p.j为在Y=y;多条件下随机变量X的条件分布律同样对于固定的i,若P(X=x}>0,则称P(x -x,Y=y)_ Pu,j=1,2,..P(r=y,IX=x,)--P(X = x;}Pi.为在X=x;条件下随机变量Y的条件分布律

   j  i j P Y y P X x Y y     , 为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律. 第三章 多维随机变量及其分布 PX  xi |Y  yj  §3条件分布 , j ij p p   i  1,2,  定义 设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若 PY  yj  0, 则称       , 1,2, , |          j p p P X x P X x Y y P Y y X x i ij i i j j i 为在 X= xi条件下随机变量Y 的条件分布律. 同样对于固定的 i, 若 PX  xi  0, 则称

第三章多维随机变量及其分布S3条件分布条件分布律具有分布律的以下特性：10P( =y,IX =x,}≥0,2P(x-x,/Y=)-2P---1.2°p.ip.ji-1即条件分布律是分布律

第三章 多维随机变量及其分布 条件分布律具有分布律的以下特性： 1 0        1 0 2 | i i j P X x Y y   1.   j j p p      i 1 j ij p p §3条件分布 即条件分布律是分布律.   |   0, j X xi P Y y

第三章多维随机变量及其分布83条件分布例1一射手进行射击，击中目标的概率为p，射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律以及条件分布律解Y的取值是 2，3，4,X的取值是1，2，.，并且X<Y.X,Y的联合分布律为n-22n-m-1P[X = m,Y = n) =q"'pq=qppn = 2,3,..; m = 1,2,...,n -1.(其中q=1-p)

第三章 多维随机变量及其分布 例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击 到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标 所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次 数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律. 解 §3条件分布 Y的取值是 2， 3， 4， ； X的取值是 1， 2， ，并且 X  Y． X,Y 的联合分布律为 q pq p m n m  1  1 2 2 q p n   n  2,3,; m  1,2,,n  1. 其中 q  1 p  PX  m,Y  n