《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第三章 线性方程组的解和维向量（习题，含答案）

总习题三3.1求下列矩阵的秩以及最高阶非零子式(4111(112)4111-110(1) A=(2)A:41I1(243J11114)11-230(1215)21-64-1122(3) A=/(4) A=23-87 -11041L53-1411-2111321k0-k的秩为23.2问k取何值时可使矩阵A=203人C122312-1k20113的秩为3.3.3问k取何值时可使矩阵A=1-1041(2025[x +2x2 -2x =03.4问取何值时，齐次线性方程组3x+-=02x- +x=0（1）只有零解；（2）有非零解，并求出非零解[x +x, =,3.5问取何值时，非齐次线性方程组4x+xz+2x=+2[6x+x,+4x,=2元+3,（1）无解：（2）有解，并求出解X+x+x+x=1,3x +2x,+x+x=a,3.6问a.b取何值时，线性方程组X +2x, +2x4 = 3,5x,+4x,+3x+3x4=b,（1）无解：（2）有解，并在有解时求出解1

1 总习题三 3.1 求下列矩阵的秩以及最高阶非零子式. （1） 1 1 2 1 1 0 2 4 3 A            ； （2） 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 A              ； （3） 1 2 1 5 1 1 2 2 1 1 0 4 A            ； （4） 1 1 2 3 0 2 1 6 4 1 3 2 8 7 1 5 3 14 11 2 A                     . 3.2 问 k 取何值时可使矩阵 1 3 2 1 0 1 1 2 0 3 A k k             的秩为 2 . 3.3 问 k 取何值时可使矩阵 1 2 3 1 2 1 2 0 1 1 3 1 1 0 4 2 0 2 5 k A                    的秩为 3. 3.4 问  取何值时，齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 0 3 0 2 0 x x x x x x x x x                （1）只有零解；（2）有非零解，并求出非零解. 3.5 问  取何值时，非齐次线性方程组 1 3 1 2 3 1 2 3 , 4 2 2, 6 4 2 3, x x x x x x x x                   （1）无解；（2）有解，并求出解. 3.6 问 ab, 取何值时，线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 234 1 2 3 4 1, 3 2 , 2 2 3, 5 4 3 3 , x x x x x x x x a x x x x x x x b                       （1）无解；（2）有解，并在有解时求出解

(1+a)x +x +x+x =0,2x +(2+a)x,+x +x =0,3.7设方程组试问a取何值时，方程组有非零解，并3x +3x, +(3+a)x, +3x4 =0,4x+4x,+4x,+(4+a)x=0,求解.01上3.8设α,=2讨论向量组α,αz,α,线性相关性3233.9讨论向量组α的线性相关性αo(0-1t12303.10设α=2间β能否由向量组α,α,α,线性表(3)2（2）(1示，若能，并写出线性表达式(1)(3)(2)设α,=试问：3.112αα(2)(3)(k)（1）k为何值时α,αz,α,线性无关？（2）k为何值时α,αz,α,线性相关？并将α,表示成α,α,的线性组合3.12求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量由最大无关组线性表示(0)-2)4-21(1)α=32(1(2)α,=313(3)αα23131523.13求下列齐次线性方程组的一个基础解系2

2 3.7 设方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (1 ) 0, 2 (2 ) 0, 3 3 (3 ) 3 0, 4 4 4 (4 ) 0, a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x                            试问 a 取何值时，方程组有非零解，并 求解. 3.8 设 1 2 3 1 0 1 2 , 2 , 0 3 5 2                                        ，讨论向量组 1 2 3    , , 线性相关性. 3.9 讨论向量组 1 2 3 1 1 5 1 , 3 , 3 0 1 t                                      的线性相关性. 3.10 设 1 2 3 1 2 3 0 2 , 3 , 1 , 4 3 1 2 2                                                 ，问  能否由向量组 1 2 3    , , 线性表 示，若能，并写出线性表达式. 3.11 设 1 2 3 1 3 2 2 , 1 , 3 3 2 k                                      ，试问： （1） k 为何值时 1 2 3    , , 线性无关？ （2） k 为何值时 1 2 3    , , 线性相关？并将 3 表示成 1 2  , 的线性组合. 3.12 求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量由最大无关组线性表示 （1） 1 2 3 4 1 2 4 7 2 , 1 , 2 , 1 3 1 2 4                                                     ； （2） 1 2 3 4 1 1 5 1 1 , 1 , 2 , 3 3 1 8 1                                                     ； （3） 1 2 3 4 5 1 1 1 1 3 1 1 3 1 2 , , , , 2 1 3 2 1 3 1 5 4 2                                                                         . 3.13 求下列齐次线性方程组的一个基础解系

-3x +x+x +x=0x, +7x2-8x+9x4=0,x-3x+x+x=0,2x -3x, +3x,-2x =0,(1)(2)4x +11x, -13x, +16x = 0,x +x -3x, +x =0 +x2 +x -34=0,7x-2x +x,+3x=0x +3x, +5x,-4x=0,x+x,+x,+x+x,=0X +3x, +2x -2x4 +X, = 0,3x +2x2 +x +x4-3x,=0,(4)3(3)x-2x+x-x-x,=0,X2+2x,+2x+6xs=0,x-4x+x+-x=0[5x +4x-3x,+3x4-x,=0;x+2x+x-x+x=03.14求下列非齐次线性方程组的通解X +2x +3x4 =2,[x +x, =1,X+2x +x+=3,(1)4x+x+2x=3(2)2x +4x +x +4x =5,6x +x,+4x,=5;3x +6x2 +2x, +5x =8;x +x,+2x-3x=6,x+x+x+5x+x=2,X+x+x+5x4=0,x2+x-2x4=5,(3)(4)X +2x, +3x -5x4 =11X +x +2x +8x4 +, =1,x +3x +4x-7x=162x, +2x2+3x,+13x4+2x,=3(120)010，求r(BA).3.15设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而B=(354)(12-2)43t3. 16 设A=B为三阶非零矩阵，且AB=0，求t的值3-1(b)aCb,3.17设α=则下列三条直线aα,=α,=C-(b)(c)a1: ax+by+c =0l:ax+by+cz=0l:ax+b,y+c,=0（其中α+bz0，i=1,2,3）交于一点α1,α2,α,线性相关，α,α,线性无关3.18设A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，求证：当m>n时，行列式AB=03

3 （1） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 0, 3 0, 3 0, 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x                        （2） 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 7 8 9 0, 2 3 3 2 0, 4 11 13 16 0, 7 2 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x                        （3） 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0, 3 2 3 0, 2 2 6 0, 5 4 3 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           （4） 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 5 4 0, 3 2 2 0, 2 0, 4 0, 2 0. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                 3.14 求下列非齐次线性方程组的通解 （1） 1 3 1 2 3 1 2 3 1, 4 2 3, 6 4 5; x x x x x x x x              （2） 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 2, 2 3, 2 4 4 5, 3 6 2 5 8; x x x x x x x x x x x x x x x                     （3） 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 6, 2 5, 2 3 5 11, 3 4 7 16; x x x x x x x x x x x x x x x                       （4） 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 2, 5 0, 2 8 1, 2 2 3 13 2 3. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           3.15 设 A 是 4 3  矩阵，且 r A( ) 2  ，而 1 2 0 0 1 0 3 5 4 B            ，求 r BA ( ) . 3.16 设 1 2 2 4 3 3 1 1 A t              ， B 为三阶非零矩阵，且 AB  0 ，求 t 的值. 3.17 设 1 1 2 3 a a a             ， 1 2 2 3 b b b             ， 1 3 2 3 c c c             ，则下列三条直线 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 : 0 : 0 : 0 l a x b y c l a x b y c l a x b y c          （其中 2 2 0 i i a b   ，i 1,2,3 ）交于一点 1 2 3    , , 线性相关， 1 2  , 线性无关. 3.18 设 A 为 m n  矩阵， B 为 n m 矩阵，求证：当 m n  时，行列式 AB  0

总习题三答案11203.1（1）r(A)=3，最高阶非零子式D,=-110=-6：24341141-=189;（2）r(A)=4，最高阶非零子式D=411141122=2;（3）r(A)=3，最高阶非零子式D,=110/（4）r(A)=2，最高阶非零子式D213.2 k=2.3.3k=1.703. 4（1）±1：（2）元=1，通解为x=13.5（1）当入￥1时，方程组无解；（2）当入=1时，方程组有解，且为无穷多解，通解表达式为(1)-12c为任意常数.x=013.66（1）当a≠0或b±2时方程组无解：（2）当a=0且b=2时方程组有解，解为3c,c,为任意常数.x000-3.7当α=0时，方程组有非零解，通解表达式为4

4 总习题三答案 3.1 （1） r A( ) 3  ，最高阶非零子式 3 1 1 2 1 1 0 6 2 4 3 D     ； （2） r A( ) 4  ，最高阶非零子式 4 4 1 1 1 1 4 1 1 189 1 1 4 1 1 1 1 4 D   ； （3） r A( ) 3  ，最高阶非零子式 3 1 2 1 1 1 2 2 1 1 0 D   ； （4） r A( ) 2  ，最高阶非零子式 2 1 1 1 2 1 D    . 3.2 k  2. 3.3 k 1. 3.4 （1）  1 ；（2）  1 ，通解为 0 1 1 x c            . 3.5 （1）当  1 时，方程组无解； （2）当  1 时，方程组有解，且为无穷多解，通解表达式为 1 1 1 2 0 1 x c                         ，c 为任意常数. 3.6 （1）当 a  0 或 b  2 时方程组无解； （2）当 a  0 且 b  2 时方程组有解，解为 1 2 2 1 1 3 2 2 0 1 0 0 0 1 x c c                                           ， 1 2 c c, 为任意常数. 3.7 当 a  0 时，方程组有非零解，通解表达式为

DC,C2,C,为任意常数X1100当α=一10时，方程组也有非零解，通解表达式为141-12c为任意常数.x=c3-413.8线性相关3.9当1≠1时向量组线性无关：当1=1时向量组线性相关，3.10β能由向量组α,α2,α,线性表示，且β=α,+α-α(1)k+5;3.1111..1(2) k=5, α,=号α+73.12（1）r(,α,α)=3，其中α,αα为最大无关组，且=-2α(2）r(α,α2,αα）=2，其中αα为最大无关组，37且α=$-2,04=4 +20;=α,-2(3）R(αzα)=4，其中α,α4,α,为最大无关组且α,=2α-α2.13.13(1)x=kn，keR，其中n=115

5 1 2 3 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x c c c                                           ， 1 2 3 c c c , , 为任意常数. 当 a 10 时，方程组也有非零解，通解表达式为 1 4 1 2 3 4 1 x c                      ，c 为任意常数. 3.8 线性相关. 3.9 当 t 1 时向量组线性无关；当 t 1 时向量组线性相关. 3.10  能由向量组 1 2 3    , , 线性表示，且        1 2 3 . 3.11 （1） k  5 ； （2） k  5 ， 3 1 2 11 1 7 7      . 3.12 （1） 1 2 3 4 r( , , , ) 3      ，其中 1 2 4    , , 为最大无关组，且 3 2    2 ； （2） 1 2 3 4 r( , , , ) 2      ，其中 1 2  , 为最大无关组， 且 3 1 2 3 7 2 2      ， 4 1 2      2 ； （3） 1 2 3 4 5 R( , , , , ) 4       ，其中 1 2 4 5     , 为最大无关组， 且 3 1 2      2 . 3.13 （1） x k   ， k R  ，其中 1 1 1 1               ；

13317171920(2）x=kn+kn，k,eR，其中=72=1717100115-2-60(3）x=kn+kn，,,eR，其中n=0N2010(4)x=kn，keR，其中n=023.14（(1)x=n+kn，keR，其中n0-3200-(2)x=n+k+k，,,eR，其中nnn20210011125(3)x=+kn+kn，k,eR，其中nn2n2=010(0)0(1)(-2)11001(4)x=n+k+kn2,k,,eR,其中n0-3200-2003.15r(BA)=2

6 （2） 1 1 2 2 x k k     ， 1 2 k k R ,  ，其中 1 2 3 13 17 17 19 20 , 17 17 1 0 0 1                                       ； （3） 1 1 2 2 x k k     ， 1 2 k k R ,  ，其中 1 2 1 5 2 6 0 0 , 1 0 0 1                                       ； （4） x k   ， k R  ，其中 1 1 0 1 2                     . 3.14 （1） * x k     ， k R  ，其中 * 1 1 0             ， 1 2 1              ； （2） * 1 1 2 2 x k k       ， 1 2 k k R ,  ，其中 * 2 0 1 0               ， 1 2 1 0 0                ， 2 3 0 2 1                ； （3） * 1 1 2 2 x k k       ， 1 2 k k R ,  ，其中 * 1 5 0 0               ， 1 1 1 1 0                 ， 2 1 2 0 1               ； （4） * 1 1 2 2 x k k       ，1 2 k k R ,  ，其中 * 1 0 1 0 2                    ， 1 1 1 0 0 0                    ， 2 2 0 3 1 0                     . 3.15 r BA ( ) 2 

120提示：首先要明确初等行变换不改变矩阵的秩.而B=00=4≠0，则BA即为354A左乘可逆矩阵B，等价于对A进行若干次初等行变换，因此秩不变3.16=-3提示：B为三阶非零矩阵，且AB=0，设B=（β,β2,β），其中β（i=1,2,3）为3[1 22维非零列向量，因此Ax=0必有非零解，因此A=0，即4t3=0，可得1=-33 -1 13. 17证明：略a)b,Ci提示：三条直线交于一点一6有唯一解a2y(ab)(C3)→r(αα2,α)=r(α,α)=2（系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知量的个数）,αz,α,线性相关，α,α,线性无关3.18证明：略.提示：r(AB)≤min(r(A),r(B))，当m>n时可知AB为mxm矩阵且r(AB)≤min(r(A),r(B)<n<m进而有|AB|=0.7

7 提示：首先要明确初等行变换不改变矩阵的秩.而 1 2 0 0 1 0 4 0 3 5 4 B    ，则 BA 即为 A 左乘可逆矩阵 B ，等价于对 A 进行若干次初等行变换，因此秩不变. 3.16 t 3. 提示： B 为三阶非零矩阵，且 AB  0 ，设 1 2 3 B  ( , , )    ，其中 i （ i 1,2,3 ）为 3 维非零列向量，因此 Ax  0 必有非零解，因此 A  0 ，即 1 2 2 4 3 0 3 1 1 t    ，可得 t 3 . 3.17 证明：略. 提示：三条直线交于一点 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c x a b c y a b c                              有唯一解 1 2 3 1 2    r r ( , , ) ( , ) 2      （系数矩阵的秩  增广矩阵的秩  未知量的个数） 1 2 3    , , 线性相关， 1 2  , 线性无关. 3.18 证明：略. 提示： r AB r A r B ( ) min( ( ), ( ))  ，当 m n  时可知 AB 为 m m 矩阵且 r AB r A r B n m ( ) min( ( ), ( ))    进而有 AB  0