第一章概率与随机事件S1随机事件的概率三、频率与概率1)频率的定义和性质定义：在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n,称为事件A发生的频数。比值 n/n称为事件A发生的频率，并记成f(A)
三 、 频 率 与 概 率 1） 频率的定义和性质 定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn (A) 。 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率它具有下述性质：1°0≤f n(A)≤1 ;2°f,(S)=1;3°老若A1,A2，…,A是两两互不相容事件，则f,(AiUA2U...UAn)= f n(Ai)+ f n(A2)+ ... + f n(Ak)
f (A1 A2 Ak ) n 3 若A1 , A2 ,, Ak是两两互不相容事件，则 它具有下述性质 : 1 0 f ( A ) 1 ; n 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率 2 ( ) 1; n f S 1 2 ( ) ( ) ( ) f f f n n n A A Ak
第一章概率与随机事件81随机事件的概率频率的稳定性2)J.(H)n实验者nH德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.50966019K·皮尔逊120000.5016K·皮尔逊24000120120.5005
2 ） 频率的稳定性 实 验 者 德•摩根 蒲 丰 K •皮尔逊 K •皮尔逊 n nH fn (H) 2048 4040 12000 24000 1061 2048 6019 12012 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率事件发生事件发生的可能性的大小的频繁程度概率频率稳定值频率的性质概率的公理化定义
频 率 稳 定 值 概率 事件发生 的频繁程度 事件发生 的可能性的大小 频率的性质 概率的公理化定义 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率3)概率的定义十定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为 P(A)称为事件A 的概率，要求集合函数 P(.)满足下列条件100 ≤ P(A) ;2 °P(S) = 1;3°若A,,A2…是两两互不相容事件,则P(AiU A,U.) = P(Ai) + P(A2) + : :
3） 概率的定义 定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件： 2 ( ) 1 ; 0 P S 1 0 ( ) ; 0 P A P(A1 A2) P(A1) P(A2) 3 0 若 A1 , A2 , 是 两 两 互 不 相 容 事 件,则 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率4 )概率的性质与推广性质 1 P(O)= 0QmQUQU性质2若A1,A2,…,A,是两两互不相容事件,则P(AIUA2U...UAn)= P(A)+ P(A2)+..: + P(An)A UA, U...UA, = A, U...UA, UOUOU
4 ） 概率的性质与推广 性 质 1 P ( ) 0 性 质 2 若 A1 , A2 , , A n是 两 两 互 不 相 容 事 件 ,则 ( ) P A1 A2 An §1 随机事件的概率 第一章 概率与随机事件 A1 A2 An A1 An P(A1) P(A2) P(An)
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率性质 3A B= P(B-A) =P(B)-P(A)P(A)≤ P(B)AB=AU(B-A)B性质4P(B-A)= P(BA)= P(B)- P(AB)B-A=B-ABB性质 5P(A)≤1AcSS
性质 3 A B P(B A) S A B A (B A) B 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率 性质 4 P(B A) P(BA) S B A B A B A B P(A) P(B) P(B) P(A) P(B) P(AB) 性 质 5 P ( A) 1 A S
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率性质 6P(A)=1P(A)AS=AUAB=AS性质 7P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB)BAUB=AU(B-AB)S
§1 随机事件的概率 性 质 6 P ( A ) 1 P ( A) S A B A 第一章 概率与随机事件 性质 7 P(A B) S A B A ( B A B ) A B S A A P(A) P(B) P(AB)
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率性质 8P(AUBUC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)性质9对任意n个事件A，A,，，A，有P(U4)-P(4) -ZP(4.4,)1≤i<j≤ni=-1+EP(A,A,A)+. + (-1)"-"P(A,A, .A.)1≤i<j<k≤n
§1 随机事件的概率 性质 8 P(A B C) 第一章 概率与随机事件 性质 9 对任意n个事件 A1 , A2 , , An , 有 n i P Ai 1 n i P Ai 1 P AiAj P AiAjAk P A1A2 An 1 i j n 1 i j k n 1 1 n P(A) P(B) P(C ) P(AB ) P(AC ) P(BC ) P(ABC )
第一章概率与随机事件S1随机事件的概率四、排列组合公式1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。3）排列：(1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 n
1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n 种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。 3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。 r n 四、排列组合公式 2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n 种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm 种方法。 第一章 概率与随机事件 §1 随机事件的概率