第六章参数估计S5置信区间·置信区间与置信度一个正态总体未知参数的置信区间·两个正态总体中未知参数的置信区间
第六章 参数估计 §5 置信区间 •置信区间与置信度 •一个正态总体未知参数的置信区间 •两个正态总体中未知参数的置信区间
第六章参数估计S5置信区间x,)在统计推断中，未知参数θ的点估计(X,.e是一种有用的形式，一旦得到了样本观测值(x，·估计值(x,…，x，)能使我们对未知参数θ的值有一个明确的数量概念但是，点估计值(x，，x）仅仅是未知参数θ一个近似值，没有反映出这个近似值的误差范围，这在应用上是非常不方便的区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围并希望知道这个范围包含该参数的可信程度
在统计推断中，未知参数 的点估计 X1 ， ， Xn ˆ 但是，点估计值 ˆx1， ， xn 仅仅是未知参数 一个 第六章 参数估计 §5 置信区间 区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围， 并希望知道这个范围包含该参数的可信程度. 是一种有用的形式，一旦得到了样本观测值 x1 ， ， xn ， 估计值 ˆx1， ， xn 能使我们对未知参数 的值有一个 明确的数量概念． 近似值，没有反映出这 个近似值的误差范围， 这在应用 上是非常不方便的．
第六章参数估计S5置信区间置信区间与置信度定义设总体X含一待估参数；对于样本X，,X,找出统计量,=9,(X,…,X,)(i=1,2),é <é,,使得：P<<é,}=1-α,(0<α<1)称区间(θ，é)为的置信度为1一α的置信区间区间(é，é,)是一个随机区间1-α给出该区间含真值0的可靠程度,α表示该区间不包含真值θ的可能性例如：若α=5%，即置信度为1一α=95%这时重复抽样100次，则在得到的100个区间中包含0真值的有95个左右，不包含真值的有5个左右通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%
一、 置信区间与置信度 找出统计量 使得： 设总体 含一待估参数 ；对于样本 , ˆ ˆ ( , , )( 1,2), ˆ ˆ , , , 1 1 2 1 X X i X X X i i n n } 1 , (0 1) ˆ ˆ { P 1 2 ) 1 . ˆ ˆ ( 称区间 1 ， 2 为 的置信度为 的置信区间 ) . ˆ ˆ ( 区 间 1， 2 是一个随机区间 定义 . 1 , 不包含真值 的可能性 给出该区间含真值 的可靠程度 表示该区间 95 5 . 100 100 5% 1 95% . 真值的有 个左右，不包含 真值的有 个左右 这时重复抽样 次，则在得到的 个区间中包含 例如：若 ，即置信度为 通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%. 第六章 参数估计 §5 置信区间
第六章参数估计S5置信区间例1设X,,X,为总体X～N(u,)的一个样本其中已知求u的置信度为l一α的置信区间x-μ~ N(0,1).解构造样本的函数U=O./ Vn(X-μ)则P/-zα/2>=1-α<Zα/2o. / /n<μ<X+Zα/2即PX-Zα/2=1-α7一福Vn则X-za12%,X+za/2Vnn就是u的置信度为1一α的置信区间
. 1 . , , ~ ( , ) , 2 0 2 1 0 已 知 求 的置信度为 的置信区间 设 为总体 的一个样本其 中 例1 X Xn X N 解 n X U / 0 构造样本的函数 ~ N(0,1). 1- / ( - ) - / 2 0 / 2 z n X P z 则 - 1 0 / 2 0 / 2 n X z n 即 P X z 则 就是的置信度为1的置信区间. 第六章 参数估计 §5 置信区间 n X z n X z 0 / 2 0 / 2 - ,
第六章参数估计S5置信区间求置信区间的步骤：(1)找一个样本的函数 Z = Z(X,,X,;0)它包含待估参数，而不包含其它未知数且Z的分布是已知的，不懒于未知参数0(2)对给定的置信度一α，确定常数a,b,使Pa<Z<b}=1-α.(3)从不等式a<Z(X,.X,;0)<b得到等价的不等式g, <0<é,其中é =é(X,,..x,),9, =0,(Xi,..X,)都是统计量(4)随机区间(é，é）是置信度为1-α的置信区间
求置信区间的步骤： (1) ( , , ; ), 找一个样本的函数 Z Z X1 Xn . . 的分布是已知的，不依赖于未知参数 它包含待估参数 ，而不包含其它未知参数 且 Z { } 1 . (2) 1 , , P a Z b 对给定的置信度 ，确定常数a b 使 . , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ (3) ( , ; ) 1 2 1 1 1 2 2 1 1 都是统计量 其 中 （ ） ， （ ） 从不等式 得到等价的不等式 n n nX X X X a Z X X b ) 1 . ˆ ˆ (4) ( 随机区间 1， 2 是置信度为 的置信区间 第六章 参数估计 §5 置信区间
第六章参数估计85置信区间二、一个正态总体未知参数的置信区间1）均值的区间估计设X,,X,为总体X～N(u,α")的一个样本在置信度1一α下，来确定u的置信区间(Q，)(1)方差已知时，估计均值设已知方差2=构造样本的函数-~ N(0,1)o. / Vn
1） 均值的区间估计 1 ( ). , , ~ ( , ) , 1 2 2 1 在置信度 下，来确定 的置信区间 ， 设 为总体 的一个样本 X Xn X N (1)方差已知时，估计均值 , 2 0 2 设已知方差 二、一个正态总体未知参数的置信区间 n X U / 0 构造样本的函数 ~ N(0,1). 第六章 参数估计 §5 置信区间
第六章参数估计S5置信区间对于给定的置信度－α，查正态分布表，找出，使得：P(a, <U<2,}=1-α.由此可找出无穷多组，；通常我们取对称区间(2,2),使：PU<2=1-α即:x-μL<2}=1-αPl-a<O.Vn
: 1 1 2 使 得 对于给定的置信度 ，查正态分布表，找出， ， 间 使 ： 由此可找出无穷多组 ， ；通常我们取对称区 ( , ), 1 2 即： } 1- - {- 0 n X P { } 1 . P 1 U 2 P{|U | } 1- 第六章 参数估计 §5 置信区间
第六章参数估计S5置信区间由正态分布表的构造，PUk}=1-α，可知：p(x)0X1ox2查正态分布表Φ()=1-α/2,=。,得：2(X-μ)Vn1< Zα/2-Zα/2do600,X+zα/2推得，随机区间：X - zα/2VnVn是μ的置信度为1一α的置信区间
查正态分布表 ( ) 1 / 2, ,得 ： 2 z / 2 0 / 2 ( - ) - z X n z 由正态分布表的构造，P{|U | } 1，可知： 推得，随机区间： 是 的置信度为 1 的置信区间 . 第六章 参数估计 §5 置信区间 n X z n X z 0 / 2 0 / 2 - ,
第六章参数估计S5置信区间说明：（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下置信区间越短，估计精度越高（2）在置信度固定的条件下，n越大，置信区间越短，估计精度越高（3）在样本量n固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低
说明： （1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下， 置信区间越短，估计精度越高. （2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间 越短，估计精度越高. （3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间 越长，估计精度越低. 第六章 参数估计 §5 置信区间
第六章参数估计S5置信区间例2已知幼儿身高服从正态分布，现从5～6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110(cm);假设标准差。。=7，置信度为95%；试求总体均值u的置信区间解已知o，=7,n=9,α=0.05.由样本值算得：(115 + 120 + . . . +110) = 115查正态分布表得临界值z0.025－1.96，由此得置信区间：(115-1.96×7 / /9 ,115+1.96×7 / /9)=(110.43,119.57)00,X+ zα12X - Zα/2in
解 (115 120 110) 115 9 1 x 查正态分布表得临界值z 0.025 1.96，由此得置信区间： (110.43 , 119.57) (115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9) 7, 9, 0.05. 已知 0 n 例2 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼 儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）； 假设标准差 0 7，置信度为95%； 试求总体均值的置信区间. 第六章 参数估计 §5 置信区间 n X z n X z 0 / 2 0 / 2 - , 由样本值算得：