《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第五章 大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理S1大数定律S2中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 §2 中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理81大数定律问题：，为什么测量一个工件时，由于测量具有误差，以各次测量值的算术平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？这单反映了什么样的客观统计规律呢？我们把这问题给出数学表达：如果工件的真值为μ第n次测量误差为，，则污，就是一个独立同分布均值为0的随机变量序列.第n次测量值就是X,=μ+3,(X，就是均值为μu的独立随机变量序列

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么 以各次测量值的 算术平均值来作为测量的结果？而且 只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？ 我们把这问题给出数学表达： , 第n次测量误差为 n 则 n 就是一个独立同分布， 均值为0的随机变量序列. , n Xn n 第 次测量值就是 =  +   就是均值为的独立随机变量序列. Xn 这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 如果工件的真值为 

S1大数定律第五章大数定律及中心极限定理测量的经验就是：当n充分大时，n次测量值的算术平均值X==(X +.·X,)n应该和真值u很接近即大量测量值的算术平均值具有稳定性这就是大数定律所阐述的

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 即大量测量值的算术平均值具有稳定性. 这就是大数定律所阐述的. 当n充分大时，n次测量值的算术平均值 ( ) 1 X1 Xn n X = + 应该和真值 很接近, 测量的经验就是：

第五章大数定律及中心极限定理S1大数定律·切比雪夫大数定律伯努利大数定律·辛钦大数定律

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 •切比雪夫大数定律 •伯努利大数定律 •辛钦大数定律

S1大数定律第五章大数定律及中心极限定理一、定义定义1设Y,Y，.是随机变量序列，u是一个常数若对任意 ε>0，有lim P(IY, -μK)=1, 或 lim P(IY, -μ≥)= 0.n8n8则称Y,Y,，.依概率收敛于u,记为Y,Pμ想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列收敛性的区别

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定义1 lim | − | = 1, →   n n P Y 若对任意 设Y1 ,  ,Yn , 是随机变量序列，是一个常数；   0，有 lim | − | = 0, →   n n 或 P Y 则称Y1 ,  ,Yn , 依概率收敛于,记为 ⎯→  P Yn 想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别. 一、定义

81大数定律第五章大数定律及中心极限定理若X,P>a,Y,P>b.定理1函数g(x,y)在点(a,b)连续则 g(X,,Y,)-P→g(a,b).回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 g(X ,Y ) g(a,b). P 则 n n ⎯→ 定理1 若 Xn ⎯ P→a，Y b. P n ⎯→ 函数g(x, y)在点(a,b)连续， 回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性

第五章大数定律及中心极限定理81大数定律定理2（切比雪夫大数定律）（Chebyshev大数定律）设随机变量X，X...相互独立，且具有相同的数学期望及方差，EXk=μ,DXk=α2,k=1,2,...则X，服从大数定律，即对任意的ε>0有2X-401k=l,2x -4≥81-0,或Plimn->[n k=]P(X-μZ)≤?/XPu,其中X-ZX.即n k=1D

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 定理2（ 切比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差， 设随机变量 X1 , Xn 相互独立， , , 1,2, , EXk =  DXk =  2 k =  即对任意的   0 有 1, 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P 则 服从大数定律, Xn (Chebyshev大数定律) 0, 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n 或 P . 1 , 1  = ⎯→ = n k k P X n 即 X  其中 X   2 2 P | X −  |    / 

S1大数定律第五章大数定律及中心极限定理证明"W1Z.ZE=u,EXXkuknnk=1k=1k=192n"WN。2ZDX,DXknnnk=1k=lk=l由切比雪夫不等式得：P(lX-μ≥≤ /292x,-4≥8PA≤小2nnk=-1≥X-μ≥8=0.当n→8时，Pk=l思考：角能否把定理中独立性条件减弱？

第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 由切比雪夫不等式得：        −  =   n k Xk n P 1 1 0. 1 1 =       →   −  =   n k Xk n 当n 时，P 证明       =  = n k EXk n 1 1        = n k Xk n E 1 1       =  = n n k 1 1  = ,       =  = n k DXk n 1 2 1        = n k Xk n D 1 1       =  = n n k 1 2 2 1  . 2 n  = 2 2   n    2 2 P | X −  |    /  思考：能否把定理中独立性条件减弱？

81大数定律第五章大数定律及中心极限定理定理3（伯努利大数定律）（Bernoulli大数定律）7（雅各布Jocob（1654-1705），瑞士数学家）2设n，为n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则：对任意的 ε>0有2LAPlimpn-00nn-→n?V即证>p.n令第k次试验中A发生1,Xkk = 1,2,.,n.=10，食第k次试验中A不发生V

第五章 大数定律及中心极限定理 定理3（伯努利大数定律）(Bernoulli大数定律) （雅各布 Jocob（1654-1705），瑞士数学家） 设nA 为n重贝努里试验中事件 A发生的次数， p是事件A发生的概率， lim = 1,       −  → p  n n P A n 证 令 1,2, , . 0 , 1, k n k A k A Xk =     = ，第 次试验中 不发生 第 发生， 则：对任意的   0 有 §1 大数定律 lim = 0       −  → p  n n P A n 或 p. n 即 nA ⎯ P→

81大数定律第五章大数定律及中心极限定理则 nA-ZX,k=1X，,X，相互独立同服从于两点分布且 EX, = p, DX, = p(1-p), k = 1,2,:.,nPx-pke/=,lim 1P由定理2有n→001即lim P.00该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义

第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 1 1 lim 1, n k n k P X p n  →  =     −  =    lim = 1.       −  → p  n n P A n 即 则  ， = = n k nA Xk 1 , , . X1  Xn 相互独立同服从于两点分布 EX p DX p(1 p) k 1,2, ,n, 且 k = ， k = − ， =  §1 大数定律