《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（4/4）

第四章随机变量的数字特征$5矩·矩·二维正态分布的性质

§5 矩 第四章 随机变量的数字特征 •矩 •二维正态分布的性质

第四章$5矩随机变量的数特征一、矩的定义若EXk存在，称之为X的K阶原点矩若 E(XEX)存在，称之为 X的 k阶中心矩若 E(X-EX)"(Y-EY)存在，称之为 X和 Y的k+I阶混合中心矩所以EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩，协方差Cov(X，Y)是二阶混合中心矩

一、矩的定义 第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 若EX 存在，称之为X的k阶原点矩. k 若 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩. k E(X  EX ) 若 存在，称之为 X 和 Y 的k+l 阶混合中心矩. k l E(X  EX ) (Y  EY ) 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差Cov(X，Y)是二阶混合中心矩

第四章随机变量的数字特征$5矩设随机变量X～N(o，1)，试求 E(x")例1解FE(x0)- x1(x)ax-2 [xedxN(1)当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以E(x")- 0.(2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以x+82EX"n[x"e 2 dx-/2元x2=t,则x=/2Vt-241，dx=21/dt令2

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例 1 设随机变量 X ~ N0， 1，试求 EX n ． 解   n E X       x f x x n d      x e x x n d 21 22  ⑴ 当 n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以 EX n   0． (2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以      0 2 d 22 2 EX x e x x n n  , 22 t x 令  2 2 , 21 21 则 x  t  t dx 2 t d t 21 21   

第四章随机变量的数字特征+8n1n2L2 t2222e-tdtEXn2元0nn+1+822C2e-dtTV元0n22n+ 1r(二2√元其中[xt-le-*dx.r(t)=

第四章 随机变量的数字特征        0 2 1 2 2 1 2 2 d 2 2 EX t e t t n n n        0 1 2 1 2 d 2 t e t t n n  ) 2 1 ( 2 2    n n  ( ) d . 0 1 t x e x t  x    其 中  

第四章随机变量的数字特征$5矩利用-函数的性质：「(r+1)=r()，得（))=E(x")2V元22n-1n-3("3)T222V元22n-3n-1)22元22(n-1) 元=(n-1)!23V元

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用 函数的性质： r  1  r r，得              2 1 2 2 1 2 n n E X n n               2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n                2 1 2 1 2 3 2 2 1 2  n n n      2 2 2 2 1 !! n n n     n  1!!

第四章随机变量的数学特征85矩因而,！n为偶数E(x)-[(n-1)n为奇数1其中,n为奇数1.3.5.....nn!!=n为偶数2.4.6......nn=4时，EX1=3

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 因而，          0 . 1 !! , 为奇数 为偶数 n n n E X n 其中，             2 4 6 . 1 3 5 , !! 为偶数 为奇数 n n n n n   4 3. 4 n  时 ， EX 

第四章随机变量的数字特征S5矩二、二维正态分布的性质1)二维随机变量（X,Y)服从二维正态分布台X,Y的任意线性组合aX+bY服从一维正态分布2)若(X,Y)服从二维正态分布,U=aX+bYV=cX+dY,则(U,V)也服从二维正态分布3)若(X,Y)服从二维正态分布则X,Y独立台X,Y不相关

二、二维正态分布的性质 第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 1) 二维随机变量 (X,Y ) 服从二维正态分布  X,Y 的任意线性组合aX  bY 服从一维正态分布. 2) 若(X,Y )服从二维正态分布，U  aX  bY, 则(U,V )也服从 二维正态分布. 则X,Y独立  X,Y不相关. 3) 若(X,Y )服从二维正态分布， V  cX  dY

85矩第四章随机变量的数字特征例2(I) 设 X,Y 独立, X ～ N(1,4), Y ~ N(2,9),求：2X-Y的分布;(2)(X,Y) ~ N(1,2,4,9,0.5)求：2X-Y的分布;解（(1) E(2X-Y) =2EX-EY=0D(2X -Y) =4DX +DY= 4×4+9 = 25则:2X -Y ~ N(0,25)(2) D(2X -Y) = 4DX + DY - 2× 2Cov(X,Y)1=25-4pxxVDXVDY=25-4×=×2×3=132则:2X -Y ～ N(0,13)

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例2 (1) 设 X,Y 独立，X ~ N(1,4), Y ~ N(2,9), 求：2X Y 的分布； 解 求：2X Y 的分布； (1) E( 2X Y ) D( 2X Y ) 则：2X Y ~ N(0,25) (2) D(2X Y ) 则：2X Y ~ N(0,13) (2) (X,Y ) ~ N(1,2，4,9，0.5)  4DX  DY  25 - 4 XY DX DY  4DX  DY  2 2Cov(X,Y )  2EX  EY  0 2 3 13 2 1  25  4     4 4  9  25

85矩第四章随机变量的数字特征例3 设 X,Y 独立,X ～ N(u,α2),Y～ N(u,α),又U=X+aY，V=X-bY,a,b是常数试给出U与V相互独立的充分必要条件解 由X,Y独立，X～N(u,α2),Y～N(u,α2),知(X,Y) ~ N(u, u,?,o",0),故(U,V)服从二维正态分布,且U,V独立的充分必要条件是ov(U,V)=0而 Cov(U,V)= Cov(X + aY,X -bY)= Cov(X, X) - bCov(X,Y)+ aCov(Y,X)- abCov(Y,Y)= DX -abDY=(1-ab)α故U与V相互独立的充分必要条件是ab=1

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例3 设 X,Y 独立，X ~ N(, 2 ),Y ~ N(, 2 ),又 U  X  aY , V  X  bY,a,b是常数， 试给出U与V相互独立的充分必要条件. 解 故 (U,V )服从二维正态分布,且 Cov(U,V )  0 而 Cov(U,V )  Cov(X  aY, X  bY )  Cov(X, X)  bCov(X,Y )  aCov(Y , X )  abCov(Y ,Y )  DX  abDY 2  (1 ab) 故U与V相互独立的充分必要条件 是 ab  1. 由 X,Y 独立，X ~ N(, 2 ),Y ~ N(, 2 ), 知 （X,Y ) ~ N(, , 2 , 2 ,0)， U,V独立的充分必要条件是

$5矩第四章随机变量的数字特征例4 设二维随机变量X,Y)的密度函数为f(x, y) ==[pi(x, y) +2 (x, y)l,其中β(x,y)和β,(x,y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相数分别为一和-它们的边缘密33度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1.(1)求随机变量X和 Y的密度函数fx(x)和f(y)及X和Y的相关系数。(2)问X和Y是否独立？为什么？

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 设二维随机变量(X,Y )的密度函数为 f (x, y) [ (x, y) (x, y)], 1 2 2 1    其中 1 (x, y)和 2 (x, y)都是二维正态密度函数，且它们对应 (1)求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f (x) f ( y) X 和 Y 及X和Y的相关系数。 (2)问 X 和 Y是否独立？为什么？ 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密 3 1 3 1  度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1. 例4