第3章复变函数的积分
-1- 复变函数的积分 第3章
第3章复变函数的积分$ 3. 1复变函数积分的概念S 3. 2柯西-古萨基本定理$3.3基本定理的推广一复合闭路定理$3.4原函数与不定积分$3.5柯西积分公式$3.6解析函数的高阶导数$3.7解析函数与调和函数的关系在微积分中，微分法和积分法是研究函数性质的重要方法。在复变函数中，积分法和微分法一样是研究复变函数性质的重要方法和有力工具。-2
-2- §3.1 复变函数积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 基本定理的推广-复合闭路定理 §3.4 原函数与不定积分 §3.5 柯西积分公式 §3.6 解析函数的高阶导数 §3.7 解析函数与调和函数的关系 第3章 复变函数的积分 在微积分中，微分法和积分法是研究函数性质的重要方法。 在复变函数中，积分法和微分法一样是研究复变函数性质的重要方法和有力工具
S3.1复变函数积分的概念有向曲线1.m2.积分的定义中3. 积分存在的条件及其计算法m4. 积分性质m-
-3- 1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质 §3.1 复变函数积分的概念
0. 实变函数的和分nZf(5k)Axkf(x)dx = lim8-→0k=1三个要素：被积函数、积分区间、积分微元推广到复变函数：(1)f(x) → f(z)(2)[a,b] -→ C(3)△x → △z
-4- 0. 实变函数的积分 (1) ( ) ( ) (2)[ , ] (3) f x fz ab C x z 0 1 ( ) lim ( ) n b k k a k f x dx f x 三个要素：被积函数、积分区间、积分微元 推广到复变函数：
1.有向曲线-预备知识“参数表示法”二维平面中的曲线有一种表示方法x=x(t)实变函数中，二维平面上有曲线(α≤t≤β)[y= y(t)x'(t)、y(t) eC[α,β], 且[x(t)} +[y'(t)P ±0复变函数中，C:z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)(1)z'(t)连续且z'(t)±0C一复平面（平面）上的一条光滑曲线。约定：C-光滑曲线或分段光滑曲线（因而可求长）。5
-5- 1. 有向曲线-预备知识 2 2 ( ) : () ( ) ( ) ( ) [ , ], [ ( )] [ ( )] 0 x xt C t y yt xt yt C xt yt 二维平面上有曲线 、 且 复变函数中，C z t x t iy t t : ( ) ( ) ( ) ( ) (1) zt zt () () 0 连续且 C z — 复平面( 平面)上的一条光滑曲线。 约定： 光滑曲线或分段光滑曲线（因而可求长）。 C 实变函数中， 二维平面中的曲线有一种表示方法“参数表示法
C的方向规定：开曲线：指定起点a，终点b，若α→b为正，记作C，则b→α为负，记作C-;闭曲线：正方向一一观察者顺此方向沿C前进一周C的内部一直在观察者的左边·B(终点)福CA(起点C单连通域多连通域-6
-6- : , C C 闭 曲线 正方向 观察者顺此方向沿 前 在 进 一 周 的内部一直 观察者的左边 。 C的方向规定 : A(起点) C B(终点) C C : ; a b ab C ba C 开曲线 指定起点 ，终点 ，若 为正，记作 ， 则 为负，记作 单连通域 多连通域
2. 积 分的定义yZn-lN京n5kB定义设(1)函数w=f(z) zEDNzkZk-l(2)C为区域D内点A→点B的一条光滑有向曲线。Dx(3)将AB任意分划成n个小弧段：各分点为z(A),z"",z,(B)S，读zeta(4)V点5kE zk-1zk，作乘积 f(S)Azk(5)作和式S,=f(S)Azk=l△z=z-zk-1,记△S为zk-1-的长度(弧长)，=max[AS)1≤k≤n
-7- 2. 积分的定义 0 1 (3) ( ), , , ( ) n AB n zAz zB 将 任意分划成 个小弧段： 各分点为 1 (4) ( ) k kk k k z z fz ⌒ 点 ，作乘积 1 1 1 1 (5) ( ) , max{ } n n kk k k k k k kk k k n S fz z z z S zz S ⌒ 作和式 记 为 的长度(弧长)， 定义 设 函数 (1) ( ) w fz z D A D B x y o 1 1z k1 z k k z n1 z k z (2)C DA B 为区域 内点 点 的 一条光滑有向曲线。 ζ，读zeta 0 z n z
无论如何分割C.,如何取S，读zetaZ f(5h)Az=I (2)若 lim8>0(n-→00) k=l则称该极限值I为f(z)沿曲线C从(A→B)的积分记作，(f(z)dz = limf()△zk(3)n→0k=1分割→取乘积→求和→取极限(1)若C为闭曲线，则记作：Φ_f(z)dz(2)如果[f(z)dz存在，一般不能写成[°f(z)dz:f(z)dz不仅与起点和终点a,b有关，还与曲线C的形状和方向有关。（后面内容介绍）8
-8- 0 ( ) 1 lim ( ) I (2) n k k n k f z 若 , C k 无论如何分割 如何取 1 , ( ) lim ( ) (3) n k k C n k f z dz f z 记作 (1) ( ) C C f z dz 若 为闭曲线，则记作： 分割 取乘积 求和 取极限 则称该 为 沿曲线 从 极 积分 限值 fz C A B () ( ) , 的 (2) ( ) ( ) () , b C a C f z dz f z dz f z dz a b C 如果 存在，一般不能写成 。 不仅与起点和终点 有关，还与曲线 的形状和方向有关。(后面内容介绍) ζ，读zeta
Zx特例：当曲线C是x轴上区间:a≤x≤b，而f(z)=u(x)时则有[f(z)dz= [~ u(x)dx这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义此外：当(2)是解析函数的时候，积分与路径无关。这将在后面介绍
-9- 特例： : () () () () b C a C x a x b f z ux f z dz u x dx 当曲线 是 轴上区间 ，而 时， 则有 这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义 此外：当f(z)是解析函数的时候，积分与路径无关。 这将在后面介绍。 y x (z)
3. 积分存在的条件及其针算方法定理当f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲线C上连续时，则f(-)必沿C可积，即「f(=)dz存在。且c f(z)dz = fudx - vdy + if.vdx + udy(4)如何记忆？ (u +iv)(dx + idy)利用（(z）和dz相乘源这个定理表明，（f(z)dz可以通过两个二元实变函数的第二型曲线积分来计算。-10
- 10 - 3. 积分存在的条件及其计算方法 () (, ) (, ) ( ) ( )d C f z u x y iv x y C fz C fz z 当 在光滑曲线 上连 续时，则 必沿 可积，即 存在。 定理 ( )d d d d d (4) CC C f z z ux vy i vx uy 且 ( ) C f z dz 这个定理表明， 可以通过两个二元 实变函数的第二型曲线积分来计算。 ( )(d d ) C u iv x i y 如何记忆? 利用f(z)和dz相乘