中学数学教学资源（试卷习题）第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷（含答案）.pdf_大学文库

第五届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷（本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）题号一二三四总分得分得分评卷人一、填空题（每小题 6 分，共 36 分） 1．如图 1 的 A 和 B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡” A 的半径是 6 米，“子碉堡” B 的半径是 3 米，两个碉堡中心的距离 AB  80 米．我侦察兵在安全地带 P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点 P 到敌人两座碉堡中心的距离 PA 和 PB 的大小，请你利用圆的知识计算出 PA  _ ， PB  _ ． 2．小丽将一个边长为 2a 的正方形纸片 ABCD 折叠，顶点 A 落到 CD 边上的点 M 的位置，折痕交 AD 于 E ，交 BC 于 F ，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G （如图 2）．在折叠过程中，小丽发现当点 M 在 CD 边上的任意位置时，（点 C D ，除外）， △CMG 的周长总是相等的，那么 △CMG 的周长为． 3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织 360 名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆 40 个座位，租金 400 元；乙种客车每辆 50 个座位，租金 480 元，则租用该公司客车最小需付租金元． 4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的 A B C ，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参加吗？快快行动吧！（请把答案写在每间房所提供的答题卡上） A B P M N 图 1 A B D C E F G M 图 2 A 房间在 △ABC 中， AB  2 ， AC  2 ，    B 30 ，求 BAC 的度数． B 房间已知直角三角形两边 x y ，的长满足 2 2 x y y      4 5 6 0，求第三边的长． C 房间 O 的半径 OA  2 ，弦 AB AC ，的长分别为方程 2 x x     (2 2 2 3) 4 6 0 的两个根，求 BAC 的度数．

题目并不难哟，把答案写在下面吧！ A 房间答题卡：； B 房间答题卡：； C 房间答题卡：． 5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数 ( 0 0) k y x x k x     ，的性质”作了如下探究：因为 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 k k k k y x x x k x k x x x x          ，所以当 x  0 ， k  0 时，函数 k y x x   有最小值 2 k ，此时 k x x  ， x k  ．借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为 3 4 800m ，深为 3m，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为元． 6．某公司员工分别住在 A B C ，，三个住宅区， A 区有 30 人， B 区有 15 人， C 区有 10 人，三个区在一条直线上，位置如图 3 所示．公司的接送车打算在 A 区， B 区， C 区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在．得分评卷人二、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 7．如图是一个圆形的街心花园， A B C ，，是圆周上的三个娱乐点，且 A B C ，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿 AOB，BOC ， AOC 三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从 A 点出发，其中甲沿着圆走回原处 A ，乙沿着 AOB ， BOC ，COA 也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（）Ａ．甲先回到 A Ｂ．乙先回到 A Ｃ．同时回到 A Ｄ．无法确定 8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高的两个队可以参加半决赛，若总积分相同还要按下一步的规则排序．胜平负每场得分 3 1 0 100 米 200 米 A 区 B 区 C 区图 3 A B C O m 图 4

现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（）Ａ．9 分Ｂ．10 分Ｃ．11 分Ｄ．12 分 9．如图 5， A B C ，，是固定在桌子上的三根立柱，其中 A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到 B 柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入 A B C ，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（）Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．9 10．有红、黄、绿三块面积均为 2 20cm 的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图 6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是 2 20cm ，黄色纸片面积是 2 14cm ，绿色纸片面积是 2 10cm ，那么正方形盒子的底面积是（）Ａ． 256 2 cm 5 Ｂ． 2 54cm Ｃ． 2 48cm Ｄ． 246 2 cm 5 11．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴一次得 5 分，套中小狗一次得 2 分，小明共套 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套 10 次得 61 分，则小鸡被套中（）Ａ．2 次Ｂ．3 次Ｃ．4 次Ｄ．5 次 12．如图 7，在边长是 20m 的正方形池塘周围是草地，池塘边 A B C D ，，，处各有一棵树，且 AB BC CD    4 m，现用长 5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）Ａ． A 处或 C 处Ｂ． B 处Ｃ． B 处或 D 处Ｄ． D 处得分评卷人三、解答题（本大题共 3 个小题，满分 38 分） 13．（本题 12 分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．级别被保险人住院医疗费用级距保险公司给付比例 1 1 000 元及以下部分 55％ 2 1 000 元至 4 000 元部分 60％ 3 4 000 元至 7 000 元部分 70％ 4 7 000 元至 10 000 元部分 80％ 5 10 000 元至 30 000 元部分 90％ A B C 图 5 空黄 14 空红 20 绿 10 图 6 A B D C 图 7

三、解答题（13 题 12 分，14 题 12 分，15 题 14 分，满分 38 分） 13．解：当住院医疗费为 7 000 元时，被保险人应支付： 1 000 (1 55 ) 3 000 (1 60 ) 3 000 (1 70 ) 2 550          ％％％（元）．由于李明家支付费用 3 000 2 550 元  元，所以李明住院的医疗费用在 7 000 元至 10 000 元之间（即第 4 级别）．················5 分所以超过 7 000 元部分的医疗费为： (3 000 2 550) (1 80 ) 2 250     ％元．所以保险公司为李明给付的保险费应为： 7 000 2 250 3 000 6 250    元． ···11 分答：保险公司要再为李明给付保险金 6 250 元（付给医院）． ····························12 分 14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数． 10 2 (0 5 ) 1 20 (5 10 ) 3 40 2 (10 16 ) 5 x x x y x x x x x         且是整数且是整数且是整数分分分 ≤ ≤ ， . ≤ ≤ ， . ≤ ≤ ， . （2）每件利润＝每件售价－每件进价，即 M y Q   ，所以当 0 5 ≤x≤ 时， 2 2 M x x x         10 2 0.125( 8) 12 0.125 6     ．所以当 x  5 时， M 取最大值 9.125 元．······················································7 分当 5 10 ≤x≤ 时， 2 M x x    0.125 2 16．所以当 x  5 时， M 取最大值 9.125 元．······················································9 分当 10 16 ≤x≤ 时， 2 M x x    0.125 4 36．所以当 x 10 时， M 取最大值 8.5 元． ·······················································11 分以上 x 的取值均为整数，因此，该服装第 5 周每件销售利润 M 最大．················12 分 15．过 P 作直线 DE AB ∥ ，交 BC 于 D ，交 AC 于 E ，在 BC 上取点 F ，使 DF BD  ，延长 FP 交 AB 于点 G ，则 △BFG 的面积最小． ··········································6 分证明：若过 P 任作一直线，交 BC 于 M ，交 AB 于 N ，过 G 作 GK BC ∥ ，交 MN 于 K ．·····························································8 分由 DP AB ∥ ， BD DF  知： DP 是 △BFG 的中位线，得 PG PF  ．进而可得 △MPF KPG ≌△ ．···································································12 分 NPG MPF S S △  △ ，所以 BMN BFG S S △  △ ． ·····················································14 分四、开放题（每小题 20 分，共 40 分） 16．（1）① b 或 c 中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空 2 分，共 6 分） A B C P D E F G M N K

（2）答案不惟一．评分标准：（满分共计 14 分） ①编写题目符合实际（5 分）； ②解题所列方程符合所要求的数量关系（7 分）； ③题目新颖、有创新意义（2 分）． 17．方案一：应用相似三角形知识如图 1 所示：在距离金字塔一定距离的 D F ，两点，分别竖立两个竿 CD 和 EF （长度都为 h ），当人分别站在 M N ，两点时能保证 A C A E ，，，分别在一条直线上测出 MN FN MD ，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）．理由如下：·····························································································6 分从图中易知： Rt△MCD MAB ∽Rt△ ，Rt△NEF NAB ∽Rt△ ． ·················7 分可得 AB MB CD MD  ，即 AB MD MB CD  ．① ···············································8 分 AB NB EF FN  ，即 AB FN NB EF  ．②·······················································9 分 ②－①得 AB FN MD NB MB CD ( ) ( )    ．又知 MN NB MB   ，可得 MN CD AB FN MD   ．因为 CD 已知， MN FN MD ，，均可测出，所以 AB 的高度可以计算得出． ·························································10 分方案二：应用解直角三角形知识如图 2 所示，在平面内取 C D ，两点，使 B C D ，，三点在同一条直线上，用测角器在 C D ，两点分别测得塔顶 A 的仰角为   ，，再测量出 CD 间的距离，则塔高可求得（测角器的高度忽略不计）． ························································································6 分理由如下：在 Rt△ACB 和 Rt△ADB 中， CB AB  cot ， DB AB  cot  ．··························································7 分因为 CB DB CD   ，所以 AB AB CD cot cot     ．·····························································8 分所以 cot cot CD AB     ．因为 CD，  ，都可以测出，所以塔高 AB 可求得． ····································10 分 A B C D E MF N 图 1 A B D C 图 2  