
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷(本卷满分150分,考试时间120分钟)题号E四总分二得分评卷人得分填空题(每小题6分,共36分)、1.如图1的A和B是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”,被称为“母碉堡”A的半径是6米,“子碉堡”B的半径是3米,两个碉堡中心的距离AB=80米,我侦察兵在安全地带P的视线恰好与敌人的“母子堡”都相切,为了打击敌人,必须准确地计算出点P到敌人两座调堡中心的距离PA和PB的大小,请你利用圆的知识计算出MPA:,PB=DMENPBF图 1B图22.小丽将一个边长为2α的正方形纸片ABCD折叠,顶点A落到CD边上的点M的位置,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图2),在折叠过程中,小丽发现当点M在CD边上的任意位置时,(点C,D除外),△CMG的周长总是相等的,那么△CMG的周长为3:国际蔬菜科技博览会开幕,学校将组织360名师生乘车参观.某客车出租公司有两种客车可供选择:甲种客车每辆40个座位,租金400元:乙种客车每辆50个座位,租金480元元,则租用该公司客车最小需付租金4.光明路新华书店为了提倡人们“多读书,读好书”,每年都要开展分年级免费赠书活动,今年获得免费赠书的前提是:顺利通过书店前的A,B,C三个房间(在每个房间内都有一道题,若能在规定的时间内顺利答对这三道题,就可免费得到赠书),同学们你们想参加吗?快快行动吧!(请把答案写在每间房所提供的答题卡上)C房间A房间B房间在△ABC中,O的半径OA=2,弦已知直角三角形两边AB=2,AB,AC的长分别为方程x,的长满足AC=2,x2-(2~2+2/3)x+4/6=0-5y+6=02-4-ZB=30°,求的两个根,求ZBAC的度数,求第三边的长,ZBAC的度数
第五届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题卷 (本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 题号 一 二 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 1.如图 1 的 A 和 B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”,被称为“母碉堡” A 的半径是 6 米,“子碉堡” B 的半径是 3 米,两个碉堡中心的距离 AB 80 米.我侦察兵 在安全地带 P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切,为了打击敌人,必须准确地计算 出点 P 到敌人两座碉堡中心的距离 PA 和 PB 的大小,请你利用圆的知识计算出 PA _ , PB _ . 2.小丽将一个边长为 2a 的正方形纸片 ABCD 折叠,顶点 A 落到 CD 边上的点 M 的位置, 折痕交 AD 于 E ,交 BC 于 F ,边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G (如图 2).在折叠过程中, 小丽发现当点 M 在 CD 边上的任意位置时,(点 C D , 除外), △CMG 的周长总是相等的, 那么 △CMG 的周长为 . 3.国际蔬菜科技博览会开幕,学校将组织 360 名师生乘车参观.某客车出租公司有两种客 车可供选择:甲种客车每辆 40 个座位,租金 400 元;乙种客车每辆 50 个座位,租金 480 元,则租用该公司客车最小需付租金 元. 4.光明路新华书店为了提倡人们“多读书,读好书”,每年都要开展分年级免费赠书活动, 今年获得免费赠书的前提是:顺利通过书店前的 A B C , , 三个房间(在每个房间内都有一 道题,若能在规定的时间内顺利答对这三道题,就可免费得到赠书),同学们你们想参加吗? 快快行动吧!(请把答案写在每间房所提供的答题卡上) A B P M N 图 1 A B D C E F G M 图 2 A 房间 在 △ABC 中, AB 2 , AC 2 , B 30 ,求 BAC 的度数. B 房间 已知直角三角形两边 x y , 的长满足 2 2 x y y 4 5 6 0, 求第三边的长. C 房间 O 的半径 OA 2 ,弦 AB AC , 的长分别为方程 2 x x (2 2 2 3) 4 6 0 的两个根,求 BAC 的度数.

题目并不难哟,把答案写在下面吧!A房间答题卡::B房间答题卡:C房间答题卡:k5.某校数学课外活动探究小组,在教师的引导下,对“函数y=x+(x>0,k>0)的性x质”作了如下探究:kk=(Vk) -2/x) +2Vk=(V-1+2k,所以当x>0,因为y=x+Xk+Ik0时,函数y=x+X借助上述性质:我们可以解决下面的问题:某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池,其容积为4800m2,深为3m,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低元.总造价为6.某公司员工分别住在AB,C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人,三个区在一条直线上,位置如图3所示.公司的接送车打算在A区,B区,C区中只设一个停靠点,要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小,那么停靠点的位置应在-100 米*—200米—→B区C区A区图3评卷人得分二、选择题(每小题6分,共36分)7.如图是一个圆形的街心花园,A,B,C是圆周上的三个娱乐点,且A,B,C三等分圆周,街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB,BOC,AOC三条道路,一天早晨,有甲、乙两位晨练者同时从A点出发,其中甲沿着圆走回原处A,乙沿着AOB,BOC,COA也走回原处,假设他们行走的速度相同,则下列结论正图4确的是()A,甲先回到AB.乙先回到AC.同时回到AD.无法确定8.小明很喜欢打篮球,他是班里篮球队的主力队员,恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛,比赛是每五个队进行单循环比赛,得分规则如下表,小组赛后总积分最高的两个队可以参加半决赛,若总积分相同还要按下一步的规则排序。胜平负每场得分310
题目并不难哟,把答案写在下面吧! A 房间答题卡: ; B 房间答题卡: ; C 房间答题卡: . 5.某校数学课外活动探究小组,在教师的引导下,对“函数 ( 0 0) k y x x k x , 的性 质”作了如下探究: 因为 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 k k k k y x x x k x k x x x x ,所以当 x 0 , k 0 时,函数 k y x x 有最小值 2 k ,此时 k x x , x k . 借助上述性质:我们可以解决下面的问题: 某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池,其容积为 3 4 800m ,深为 3m,如果池底每平方 米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低 总造价为 元. 6.某公司员工分别住在 A B C , , 三个住宅区, A 区有 30 人, B 区有 15 人, C 区有 10 人,三个区在一条直线上,位置如图 3 所示.公司的接送车打算在 A 区, B 区, C 区中只 设一个停靠点,要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小,那么停靠点的位置应 在 . 得分 评卷人 二、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 7.如图是一个圆形的街心花园, A B C , , 是圆周上的三个娱乐点,且 A B C , , 三等分圆周,街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有 经过圆心的沿 AOB,BOC , AOC 三条道路,一天早晨,有甲、乙两 位晨练者同时从 A 点出发,其中甲沿着圆走回原处 A ,乙沿着 AOB , BOC ,COA 也走回原处,假设他们行走的速度相同,则下列结论正 确的是( ) A.甲先回到 A B.乙先回到 A C.同时回到 A D.无法确定 8.小明很喜欢打篮球,他是班里篮球队的主力队员,恰好这个星期他所在的九年级十个班 要进行篮球比赛,比赛是每五个队进行单循环比赛,得分规则如下表,小组赛后总积分最高 的两个队可以参加半决赛,若总积分相同还要按下一步的规则排序. 胜 平 负 每场得分 3 1 0 100 米 200 米 A 区 B 区 C 区 图 3 A B C O m 图 4

现在小明若想直接进入半决赛,问小明所在的队至少要积()A.9分B.10分C.11分D.12分9,如图5,AB,C是固定在桌子上的三根立柱,其中A柱上穿有三个大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大,现想将这三个圆片移动到B柱上,要求每次只能移动一片(叫移动一次),被移动的圆片只能放入A,B,C三个柱之一,且较大的圆片不能叠在小圆片的)上面,那么完成这件事至少要移动圆片的次数是(空空黄14红20绿10BcA图5图 6B. 7C. 8D.9A.610.有红、黄、绿三块面积均为20cm2的正方形纸片,放在一个底面是正方形的盒子内,它们之间互相叠合(如图6),已知露在外面的部分中,红色纸片面积是20cm2,黄色纸片面积是14cm2,绿色纸片面积是10cm2,那么正方形盒子的底面积是()256 cm2246cm?B.54cm2C. 48cm2D.A.5511.小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴一次得5分,套中小狗一次得2分,小明共套10次,每次都套中了,每个小玩具都至少套中一次,小明套10次得61分,则小)鸡被套中(A. 2次B. 3次C.4次D.5次12.如图7,在边长是20m的正方形池塘周围是草地,池塘边A,BGD处各有一棵树,且AB=BC=CD=4m,现用长5m的绳子将一头牛拴在一棵树上,为了使牛在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在()+AD.D处A:A处或C处B.B处c.B处或D处DCB得分评卷人图7三、解答题(本大题共3个小题,满分38分)13.(本题12分)阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”,保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”级别被保险人住院医疗费用级距」保险公司给付比例155%1000元及以下部分260%1000元至4000元部分370%4000元至7000元部分80%47000元至10000元部分590%10000元至30000元部分
现在小明若想直接进入半决赛,问小明所在的队至少要积( ) A.9 分 B.10 分 C.11 分 D.12 分 9.如图 5, A B C , , 是固定在桌子上的三根立柱,其中 A 柱上穿有三个大小不同的圆片, 下面的直径总比上面的大,现想将这三个圆片移动到 B 柱上,要求每次只能移动一片(叫 移动一次),被移动的圆片只能放入 A B C , , 三个柱之一,且较大的圆片不能叠在小圆片的 上面,那么完成这件事至少要移动圆片的次数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 10.有红、黄、绿三块面积均为 2 20cm 的正方形纸片,放在一个底面是正方形的盒子内, 它们之间互相叠合(如图 6),已知露在外面的部分中,红色纸片面积是 2 20cm ,黄色纸片 面积是 2 14cm ,绿色纸片面积是 2 10cm ,那么正方形盒子的底面积是( ) A. 256 2 cm 5 B. 2 54cm C. 2 48cm D. 246 2 cm 5 11.小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得 9 分,套中小猴一次得 5 分,套中小狗一次得 2 分, 小明共套 10 次,每次都套中了,每个小玩具都至少套中一次,小明套 10 次得 61 分,则小 鸡被套中( ) A.2 次 B.3 次 C.4 次 D.5 次 12.如图 7,在边长是 20m 的正方形池塘周围是草地,池塘边 A B C D , , , 处各有一棵树,且 AB BC CD 4 m,现用长 5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上,为了使牛在草地上活动区域的面积最 大,应将绳子拴在( ) A. A 处或 C 处 B. B 处 C. B 处或 D 处 D. D 处 得分 评卷人 三、解答题(本大题共 3 个小题,满分 38 分) 13.(本题 12 分)阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”,保险公司按 下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”. 级别 被保险人住院医疗费用级距 保险公司给付比例 1 1 000 元及以下部分 55% 2 1 000 元至 4 000 元部分 60% 3 4 000 元至 7 000 元部分 70% 4 7 000 元至 10 000 元部分 80% 5 10 000 元至 30 000 元部分 90% A B C 图 5 空 黄 14 空 红 20 绿 10 图 6 A B D C 图 7

95%630000以上部分(注:在被保险期间,被保险人按上述标准累计自付金额超过6000元的部分,保险公司按100%的标准给付)现在,该中学的学生李明因病住院,除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外,李明的家人又支付了医疗费用3000元.请问保险公司为李明支付了多少保险金?14.(本题12分)轻纺城服装批发市场经营季节性服装,当季节即将来临时,服装价格呈上升趋势。设某种服装开始时预定价为每件10元,从第一周上市开始每周(7天)涨价2元,从第5周开始保持20元的价格平稳销售:在季节即将过去时,从第11周开始,服装批发市场开始削价,平均每周削价2元,直到16周周末后,该服装已不再销售(1)试建立价格y与周次x之间的函数关系:(2)若此服装每件进价O与周次x之间的关系为:Q=-0.125(x-8)+12(0≤x≤16,且x是整数),试间该服装第几周每件销售利润M最大?15.(本题14分)如图8,某房地产开发公司购得一块三角形地块,在靠近/B的内部有一千年的古樟树要加以保护,市政府规定要过P点划一三角形的保护区,你怎样划这条线才能使被划去的△BDE的面积最小?为什么?A·PB4C图:
6 30 000 以上部分 95% (注:在被保险期间,被保险人按上述标准累计自付金额超过 6 000 元的部分,保险公司按 100% 的标准给付) 现在,该中学的学生李明因病住院,除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外,李明的家 人又支付了医疗费用 3 000 元.请问保险公司为李明支付了多少保险金? 14.(本题 12 分)轻纺城服装批发市场经营季节性服装,当季节即将来临时,服装价格呈上 升趋势.设某种服装开始时预定价为每件 10 元,从第一周上市开始每周(7 天)涨价 2 元, 从第 5 周开始保持 20 元的价格平稳销售;在季节即将过去时,从第 11 周开始,服装批发市 场开始削价,平均每周削价 2 元,直到 16 周周末后,该服装已不再销售. (1)试建立价格 y 与周次 x 之间的函数关系; (2)若此服装每件进价 Q 与周次 x 之间的关系为: 2 Q x x x 0.125( 8) 12(0 16 ) ≤ ≤ ,且 是整数 ,试问该服装第几周每件销售利润 M 最 大? 15.(本题 14 分)如图 8,某房地产开发公司购得一块三角形地块,在靠近 B 的内部有一 千年的古樟树要加以保护,市政府规定要过 P 点划一三角形的保护区,你怎样划这条线才 能使被划去的 △BDE 的面积最小?为什么? A B C P 图 8

得分评卷人四、开放题(本大题满分40分)16.(本题20分)在生活中不难发现这样的例子:三个量a,b和c之间存在着数量关系a=bc.例如:长方形面积=长×宽,匀速运动的路程一速度×时间(1)如果三个量a,b和c之间有着数量关系a=bc,那么:①当a=0时,必须且只须;②当b(或c)为非零定值时,α与c(或b)之间成函数关系:当a(a≠O)为定值时,b与c之间成函数关系.(2)请你编一道有实际意义的应用性问题,解题所列的方程符合数量关系:=_b,(其xx-c中x为未知数,a,,b,c为已知数,不必解方程)17.(本题20分)金字塔是古代世界著名的奇迹之一,嘉立在尼罗河西岸的70多座金字塔每年都吸引着来自世界各地的游客,流连在金字塔下,抬眼望去,几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天,显得气势非凡.此刻,游人心里很自然地会想:金字塔究竞有多高呢?假设你是一位游人,如何测量金字塔的高度呢?写出你的测量方案,并说明理由(注意:至少提供两种测量方案,并且,你的方案一定要切实可行).第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷参考答案一、填空题(每小题6分,共36分)4.A:105°或15°B:2V2或/13或1.160米,80米2.4a3.3520元V5:C:15°或75°6.A区5.297600二、选择题(每小题6分,共36分)57~12. C BBAD
得分 评卷人 四、开放题(本大题满分 40 分) 16.(本题 20 分)在生活中不难发现这样的例子:三个量 a b , 和 c 之间存在着数量关系 a bc .例如:长方形面积=长×宽,匀速运动的路程=速度×时间. (1)如果三个量 a b , 和 c 之间有着数量关系 a bc ,那么: ①当 a 0 时,必须且只须 ; ②当 b (或 c )为非零定值时, a 与 c (或 b )之间成 函数关系; ③当 a a( 0) 为定值时, b 与 c 之间成 函数关系. (2)请你编一道有实际意义的应用性问题,解题所列的方程符合数量关系: a b x x c ,(其 中 x 为未知数, a b c , , 为已知数,不必解方程). 17.(本题 20 分)金字塔是古代世界著名的奇迹之一,矗立在尼罗河西岸的 70 多座金字塔, 每年都吸引着来自世界各地的游客,流连在金字塔下,抬眼望去,几十层楼高的塔像柄巨剑 直刺云天,显得气势非凡.此刻,游人心里很自然地会想:金字塔究竟有多高呢? 假设你是一位游人,如何测量金字塔的高度呢?写出你的测量方案,并说明理由(注意:至 少提供两种测量方案,并且,你的方案一定要切实可行). 第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题卷参考答案 一、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 1.160 米,80 米 2.4a 3.3 520 元 4. A :105 或 15 ; B :2 2 或 13 或 5 ; C :15 或 75 5.297 600 6. A 区 二、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 7~12.CBBAD B

三、解答题(13题12分,14题12分,15题14分,满分38分)13.解:当住院医疗费为7000元时,被保险人应支付:1000×(1-55%)+3000×(1-60%)+3000×(1-70%)=2550(元)由于李明家支付费用3000元>2550元,5分所以李明住院的医疗费用在7000元至10000元之间(即第4级别).所以超过7000元部分的医疗费为:(3000-2550)-(1-80%)=2250元,所以保险公司为李明给付的保险费应为:7000+2250-3000=6250元.11分··-12分答:保险公司要再为李明给付保险金6250元(付给医院).14.解:(1)根据价格的“上升”“平稳”、“削价”,建立分段函数,10+2x0≤x≤5,且x是整数.分y=^205≤x≤10,且x是整数3分40-2x10≤x≤16,且x是整数)·5分(2)每件利润=每件售价一每件进价,即M=y-Q,所以当0≤x≤5时,M=10+2x-[0.125(x-8)? +12= 0.125x2 +6所以当x=5时,M取最大值9.125元.7分当5≤x≤10时,M=0.125x2-2x+16.所以当x=5时,M取最大值9.125元9分当10≤x≤16时,M=0.125x2-4x+36.所以当x=10时,M取最大值8.5元:11分以上x的取值均为整数,因此,该服装第5周每件销售利润M最大:12分15.过P作直线DE//AB,交BC于D,交AC于E,在BC上取点F,使DF=BD,延长FP交AB于点G,则△BFG的面积最小,*6分证明:若过P任作一直线,交BC于M,交AB于N,8分过G作GK//BC,交MN于K由DP//AB,BD=DF知:DP是△BFG的中位线,得PG=PF·12分进而可得△MPF△KPG.·14分SANPG>SAMPF,所以SABMN>SABFGM四、开放题(每小题20分,共40分)16.(1)①b或c中有一个为零:②正比例:③反比例(每空2分,共6分)
三、解答题(13 题 12 分,14 题 12 分,15 题 14 分,满分 38 分) 13.解:当住院医疗费为 7 000 元时,被保险人应支付: 1 000 (1 55 ) 3 000 (1 60 ) 3 000 (1 70 ) 2 550 % % % (元). 由于李明家支付费用 3 000 2 550 元 元, 所以李明住院的医疗费用在 7 000 元至 10 000 元之间(即第 4 级别).················5 分 所以超过 7 000 元部分的医疗费为: (3 000 2 550) (1 80 ) 2 250 % 元. 所以保险公司为李明给付的保险费应为: 7 000 2 250 3 000 6 250 元. ···11 分 答:保险公司要再为李明给付保险金 6 250 元(付给医院). ····························12 分 14.解:(1)根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”,建立分段函数. 10 2 (0 5 ) 1 20 (5 10 ) 3 40 2 (10 16 ) 5 x x x y x x x x x 且 是整数 且 是整数 且 是整数 分 分 分 ≤ ≤ , . ≤ ≤ , . ≤ ≤ , . (2)每件利润=每件售价-每件进价,即 M y Q ,所以当 0 5 ≤x≤ 时, 2 2 M x x x 10 2 0.125( 8) 12 0.125 6 . 所以当 x 5 时, M 取最大值 9.125 元.······················································7 分 当 5 10 ≤x≤ 时, 2 M x x 0.125 2 16. 所以当 x 5 时, M 取最大值 9.125 元.······················································9 分 当 10 16 ≤x≤ 时, 2 M x x 0.125 4 36. 所以当 x 10 时, M 取最大值 8.5 元. ·······················································11 分 以上 x 的取值均为整数,因此,该服装第 5 周每件销售利润 M 最大.················12 分 15.过 P 作直线 DE AB ∥ ,交 BC 于 D ,交 AC 于 E ,在 BC 上取点 F ,使 DF BD , 延长 FP 交 AB 于点 G ,则 △BFG 的面积最小. ··········································6 分 证明:若过 P 任作一直线,交 BC 于 M ,交 AB 于 N , 过 G 作 GK BC ∥ ,交 MN 于 K .·····························································8 分 由 DP AB ∥ , BD DF 知: DP 是 △BFG 的中位线,得 PG PF . 进而可得 △MPF KPG ≌△ .···································································12 分 NPG MPF S S △ △ ,所以 BMN BFG S S △ △ . ·····················································14 分 四、开放题(每小题 20 分,共 40 分) 16.(1)① b 或 c 中有一个为零;②正比例;③反比例.(每空 2 分,共 6 分) A B C P D E F G M N K

(2)答案不惟一评分标准:(满分共计14分)①编写题目符合实际(5分):②解题所列方程符合所要求的数量关系(7分)③题目新颖、有创新意义(2分)17.方案一:应用相似三角形知识如图1所示:在距离金字塔一定距离的D,F两点,分别竖立两个竿CD和EF(长度都为h),当人分别站在M,N两点时能保证AGA1分别在一条直线上测出MNFNM的距离,则塔高即可得到(其中人的高度忽略不计).·6分理由如下:7分从图中易知:Rt△MCDRt△MAB,Rt△NEFRt△NAB.ABMB可得即ABMD=MBCD.①8分CD-MDAB_NB即ABFN=NBEF.-9分EF"FN②-①得 AB(FN-MD)=(NB-MB)ICD.MNECD又知MN=NB-MB,可得AB=FN-MD因为CD已知,MN,FN,MD均可测出,所以AB的高度可以计算得出。10分B7aBBDMFDCN图1图 2方案二:应用解直角三角形知识如图2所示,在平面内取C,D两点,使B,D三点在同一条直线上,用测角器在C,DC两点分别测得塔顶A的仰角为α,β,再测量出CD间的距离,则塔高可求得(测角器的高6分度忽略不计)理由如下:在Rt△ACB和Rt△ADB中,CB=ABcotα,DB=ABcotβ7分因为CB-DB=CD,8分所以ABcotα-ABcotβ=CDCD所以AB=cotα-cotβ10分因为CD,α,β都可以测出,所以塔高AB可求得
(2)答案不惟一. 评分标准:(满分共计 14 分) ①编写题目符合实际(5 分); ②解题所列方程符合所要求的数量关系(7 分); ③题目新颖、有创新意义(2 分). 17.方案一:应用相似三角形知识 如图 1 所示:在距离金字塔一定距离的 D F , 两点,分别竖立两个竿 CD 和 EF (长度都为 h ), 当 人 分 别 站 在 M N , 两点时能保证 A C A E , , , 分别在一条直线上测出 MN FN MD , , 的距离,则塔高即可得到(其中人的高度忽略不计). 理由如下:·····························································································6 分 从图中易知: Rt△MCD MAB ∽Rt△ ,Rt△NEF NAB ∽Rt△ . ·················7 分 可得 AB MB CD MD ,即 AB MD MB CD .① ···············································8 分 AB NB EF FN ,即 AB FN NB EF .②·······················································9 分 ②-①得 AB FN MD NB MB CD ( ) ( ) . 又知 MN NB MB ,可得 MN CD AB FN MD . 因为 CD 已知, MN FN MD , , 均可测出, 所以 AB 的高度可以计算得出. ·························································10 分 方案二:应用解直角三角形知识 如图 2 所示,在平面内取 C D , 两点,使 B C D , , 三点在同一条直线上,用测角器在 C D , 两点分别测得塔顶 A 的仰角为 , ,再测量出 CD 间的距离,则塔高可求得(测角器的高 度忽略不计). ························································································6 分 理由如下: 在 Rt△ACB 和 Rt△ADB 中, CB AB cot , DB AB cot .··························································7 分 因为 CB DB CD , 所以 AB AB CD cot cot .·····························································8 分 所以 cot cot CD AB . 因为 CD, , 都可以测出,所以塔高 AB 可求得. ····································10 分 A B C D E MF N 图 1 A B D C 图 2

(方案设计合理,正确可酌情给分)
(方案设计合理,正确可酌情给分)