中学数学教学资源（试卷习题）2016年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷（含答案）

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：：姓名：成绩：三四五合计题号得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答：3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a、b满足|a-3|+|b-2|+/1-a+a=3，则a+b等于（)A、-1B、2C、3D、52、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、ABDF、ABCF、ACEF的面积分别为S,、S，、S、S+，则S,S,与S,S的大小关系为（B、S,S, =S,S4A、S,S,S,S.D、不能确定O1020BC第2题图第2题图3、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“*”定义为：(a，b)*(c，d)=(ac-bd，ad+bc).如果对于任意实数m，n都有(m，n)*(x，y)=(n，-m)，那么(x,J)为(2A、(0,1)B、(1,0)C、(-1, 0)D、(0,-1)4、如图，已知三个等圆O、O,、O,有公共点0，点A、B、C是这些圆的其他交点

F 第 2 题图 E D B A C O3 O1 第 2 题图 B A C O2 2016 年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 （考试时间：2016 年 3 月 4 日下午 3：00—5：00） 班级：: 姓名： 成绩： 题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分 140 分； 2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答； 3、解题书写不要超出装订线； 4、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1、已知实数 a、b 满足 | a  3|  | b  2 |  1 a  a  3 ，则 a  b 等于（ ） A、1 B、2 C、3 D、5 2、如图，点 D、E 分别在 ABC 的边 AB、AC 上，BE、CD 相交于点 F，设四边形 EADF、BDF 、 BCF 、 CEF 的面积分别为 1 S 、 2 S 、 3 S 、 4 S ，则 S1S3 与 S2 S4 的大小关系为（ ） A、 S1S3  S2 S4 B、 S1S3  S2 S4 C、 S1S3  S2 S4 D、不能确定 3、对于任意实数 a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“  ”定义为： a，b c，d  ac  bd，ad  bc .如果对于任意实数 m，n 都有 m，n x，y  n， m ，那么 x，y 为（ ） A、（0，1） B、（1，0） C、（-1，0） D、（0，-1） 4、如图，已知三个等圆⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 有公共点 O，点 A、B、C 是这些圆的其他交点

则点O一定是MBC的（)A、外心B、内心C、垂心D、重心)5、已知关于x的方程(x-2)-4|x-2/-k=0有四个根，则k的范围为（A、-1人k人0B、-4<k<0C、0人k人1D、0<k<46、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为75°，则小巷的宽度w等)于（h+kC、VhkD、B、kA、h2二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、化简V2+V+V2-V的值为8、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有两个实数根α、β，那么(α-1)2+(β-1)的最小值是个9、设四位数abcd满足10d3=100Qa+100c+10d+b，则这样的四位数有10、如图，MN是OO的直径，MN=2，点A在OO上，ZAMN=30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为三、（本大题满分20分）11、设实数a，b， c满足：abe0且14(g +6+c)-(a+2b+3)，求+26°+3的值。ab+ac+bcV

则点 O 一定是 ABC 的（ ） A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 5、已知关于 x 的方程  2 4 | 2 | 0 2 x   x  k  有四个根，则 k 的范围为（ ） A、1 k  0 B、4  k  0 C、0  k 1 D、0  k  4 6、设在一个宽度为 w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于 P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地 面。将梯子的顶端放于一堵墙的 Q 点时，Q 离开地面的高度为 k，梯子的倾斜角为 45 ，将该梯子 的顶端放于另一堵墙的 R 点时，R 离开地面的高度为 h，梯子的倾斜角为 75 ，则小巷的宽度 w 等 于（ ） A、h B、k C、 hk D、 2 h  k 二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分） 7、化简 2  3  2  3 的值为 ． 8、如果关于 x 的实系数一元二次方程 2 3 3 0 2 2 x  k  x  k   有两个实数根  、  ，那么     2 2  1   1 的最小值是 ． 9、设四位数 abcd 满足 10d 1000a 100c 10d  b 3 ，则这样的四位数有 个． 10、如图，MN 是⊙O 的直径， MN  2 ，点 A 在⊙O 上， AMN  30，B 为 ⌒ AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA PB 的最小值为 ． 三、（本大题满分 20 分） 11、设实数 a，b，c 满足：abc 0 且     2 2 2 2 14 a  b  c  a  2b  3c ，求 ab ac bc a b c     2 2 2 2 3 的值。 O M N P A

四、（本大题满分25分）12、已知抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在×轴的负半轴上），与轴交于点C（1）求m的取值范围：（2）若|OA:OB=3:1，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得PCO=ZBCO

四、（本大题满分 25 分） 12、已知抛物线 2 1 3 2 y  x  m  x  m  与 x 轴相交于两点 A、B（点 A 在 x 轴的正半轴上， 点 B 在 x 轴的负半轴上），与 y 轴交于点 C. （1）求 m 的取值范围； （2）若 | OA|:|OB| 3:1 ，在该抛物线对称轴右边图像上求一点 P 的坐标，使得 PCO BCO

五、（本大题满分25分）13、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D，E分别在AB，AC边上，且AD=AE.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且BP=CQ=DR，连结直线PQ与BC交于点L，OK与CD，BE分别交于点M，N.求证：(1) PL=LQ;(2) MQ=NRADRAQMBLP

五、（本大题满分 25 分） 13、如图，等腰三角形 ABC 中， AB AC，D，E 分别在 AB，AC 边上，且 AD AE .P 在 AB 的延长线上，QR 分别在线段 CE、DB 上，且 BP CQ  DR ，连结直线 PQ 与 BC 交于点 L，QR 与 CD，BE 分别交于点 M，N.求证： （1） PL  LQ ； （2） MQ  NR L M Q E R N P D B A

2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、C.2、C.3、D.4、C.5、B.6、A.二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）10、2.7、V6.8、18.9、3.三、（本大题满分20分）11、解：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,(5分）得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0,（10分）配方得(3a-c)+(2a-b)+(3b-2c)2=0,所以3a-c=0，2a-b=0，3b-2c=0，即c=3a，b=2a.(15分）代入+269+30得ab+ac+bca+2b2+3c2a2+8a?+27a236(20分）ab+ac+bc2a?+3a?+6a2=11解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c),得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0,(5分）(3a +6b)3a+6b3a+6b))+13a+10b2-4ab=05[c22()c+(5553a+6b.25614.6-562Q2ab=0,5(c5555143a + 6b所以5(c（10分）(2a-b)2=0,553a+6b=0,2a-b=0,由此得，5(（15分）解得b=2a，c=3a.代入+26+320得ab+ac+bca+2b+3c2_a+8a+27a36(20分）ab+ac+bc2a?+3a2+6g?11四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，所以△=[2(m+1)}+4(m+3)=4m2+12m+16=(2m+3)2+3>0,可知m是任意实数.（5分）又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，所以方程，-x2+2（m+1)x+m+3=0的两根一正一负，所以-(m+3)-3所以所求m的取值范围是m>-3.（10分）(2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a>0，b<0

2016 年全国初中数学联赛初赛试卷 （考试时间：2016 年 3 月 13 日下午 3：00—5：00） 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1、C． 2、C． 3、D． 4、C． 5、B． 6、A． 二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分） 7、 6 ． 8、18． 9、3． 10、 2 ． 三、（本大题满分 20 分） 11、解：由 14(a 2b 2c 2 )(a2b3c) 2， 得 13a 210b 25c 24ab6ac12bc0，·············································（5 分） 配方得(3ac) 2(2ab) 2(3b2c) 20， ·············································（10 分） 所以 3ac0，2ab0，3b2c0， 即 c3a，b2a．·······································································（15 分） 代入 2 2 2 a b c 2 3 ab ac bc     得 2 2 2 a b c 2 3 ab ac bc      2 2 2 2 2 2 8 27 2 3 6 a a a a a a      36 11 ．···········································（分） 解法二：由 14(a 2b 2c 2 )(a2b3c) 2， 得 13a 210b 25c 24ab6ac12bc0，·············································（5 分） 5[c 2( 3 6 5 a b  )c 3 6 5 a b   2 ]13a 210b 24ab 2 (3 6 ) 5 a b  0， 5(c 3 6 5 a b  ) 2 56 5 a 2 14 5 b 2 56 5 ab0， 所以 5(c 3 6 5 a b  ) 2 14 5 (2ab) 20，···············································（10 分） 由此得，c 3 6 5 a b  0，2ab0， 解得 b2a，c3a．····································································（15 分） 代入 2 2 2 a b c 2 3 ab ac bc     得 2 2 2 a b c 2 3 ab ac bc      2 2 2 2 2 2 8 27 2 3 6 a a a a a a      36 11 ．···········································（分） 四、（本大题满分 25 分） 12、解：（1）由已知得，x 22(m1)xm3有两个不相同的实数解， 所以[2(m1)] 4(m3) 4m12m16(2m3) 3＞0， 可知 m 是任意实数．·································································（5 分） 又因为点 A 在 x 轴的负半轴上，点 B 在 x 轴的正半轴上． 所以方程，x 22(m1)xm3的两根一正一负， 所以 (m3)＜0，解得 m＞3． 所以所求 m 的取值范围是 m＞3．···············································（10 分） （2）解法一：设点 A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0

则 a=-3b,且 a+b=2(m+1),ab=-(m+3),解得m=0.函数解析式为y=-x2+2x+3.(15分）所以A(3,0),B(-1,0)，C(0,3)。由PCO=BCO可知BC与PC关于直线OC对称。作B关于OC的对称点B，则B(1，O)，设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则[3=k-0+b,[k =-3,，解得[0=k-1+b(b=3IB即PC是一次函数y=-3x+3的图象。把1=-3+3代入J=-x2+2x+3，得-3x+3=-x2+2x+3,(20分）解得x=0，x=5，当x=0时，J=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去当x=5时，J=-12，此时点P的坐标为(5，-12)。故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得ZPCO=/BCO.(25分)解法二：设点A(a,0)，B(b,0)，a>0，b1）当1/BCO.c当c>2时，tanPCO3-(-c2 +2c+3)1又tan/BCO=由PCO=ZBCO得tanZPCO=tanZBCOc1即（20分）3-(-c2 +2c+3)3解得c=5.当x=5时，J=-12，此时点P的坐标为(5-12)故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得ZPCO=/BCO（25分）五、（本大题满分25分）13、证明：（1）过P作PH平行于AC交直线BC于点H，连结PH，BH。则ZPHB=/ACB=/ABC=ZPBH

则 a3b，且 ab2(m1)，ab(m3)， 解得 m0． 函数解析式为 yx 22x3． ·······················································（15 分） 所以 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)。 由∠PCO∠BCO 可知 BC 与 PC 关于直线 OC 对称。 作 B 关于 OC 的对称点 B′，则 B′(1，0)， 设直线 PC 是一次函数 ykxb 的图象，则 3 0 , 0 1 k b k b          ，解得 3, 3 k b       。 即 PC 是一次函数 y3x3 的图象。 把 y3x3 代入 yx 22x3， 得3x3x 22x3，·································································（20 分） 解得 x，x， 当 x时，y，此时点 P 与点 C 重合，不合题意，舍去； 当 x时，y12，此时点 P 的坐标为(5,12)． 故抛物线对称轴右边图象上有一点 P(5,12)，使得∠PCO∠BCO． ··························································································（25 分） 解法二：设点 A(a,0)，B(b,0)，a＞0，b＜0， 则 a3b，且 ab2(m1)，ab(m3)， 解得 m0． 函数解析式为 yx 22x3． ·······················································（15 分） 所以 A(3,0)，B(1,0)，C(0,3)。 设 P 点的坐标为(c,c 22c3)（c＞1）． 当 1＜c≤2 时，∠PCO≥90°＞∠BCO． 当 c＞2 时， tan∠PCO 2 3 ( 2 3) c     c c ， 又 tan∠BCO 1 3 ，由∠PCO∠BCO 得 tan∠PCOtan∠BCO． 即 2 3 ( 2 3) c     c c  1 3 ，····························································（分） 解得 c5． 当 x时，y12，此时点 P 的坐标为(5,12)． 故抛物线对称轴右边图象上有一点 P(5，12)，使得∠PCO∠BCO． ··························································································（25 分） 五、（本大题满分 25 分） 13、证明： （1）过 P 作 PH 平行于 AC 交直线 BC 于点 H，连结 PH，BH。 则∠PHB∠ACB∠ABC∠PBH， O y x C B A P

(5分）所以HP=BP=CQ。又ZHLP=ZCLQ，ZPHL=ZQCL,所以△HLP△CLO.（10分）所以PL=LO.法二：过O作OXI/BC交AB于点X，所以ZAOX=ACB=LABC=LAXQ,所以AX=AQ。故BX=CQ=BP。(5分）又因为QXI// LB,所以PL=LQ.（10分）（2）设直线QR交直线DE于点S，交直线BC于点T，则DR_DSCO_CTBTQE"ESRB由DR=CQ，RB=QE,所以DS_CTDS_BT即BTESCT"ES'BTXDSDMBNENESCMCT所以DMBN因此DM+CMBN+ENCMENENCM._BE即CDCMEN由CD=BE得CM=EN.(20分）取DB，EB中点F，G，连结FG，分别交BE、CD、QR于U、V、K，因为FR=GQ，由（1）的结论知RK=QK。设BE与CD交于点O，则△OUV为等腰三角形。由CM=EN得NU=MV

H K L N M R Q P E B C A D 所以 HPBPCQ。············································（5 分） 又∠HLP∠CLQ，∠PHL∠QCL， 所以△HLP≌△CLQ． 所以 PLLQ．··········································································（10 分） 法二：过 Q 作 QX∥BC 交 AB 于点 X， X L N M R Q P E B C A D 所以∠AQX∠ACB∠ABC∠AXQ， 所以 AXAQ。 故 BXCQBP。·······································································（5 分） 又因为 QX∥LB， 所以 PLLQ．··········································································（10 分） （2）设直线 QR 交直线 DE 于点 S，交直线 BC 于点 T， 则 DR RB  DS BT ， CQ QE  CT ES ， 由 DRCQ，RBQE， 所以 DS BT  CT ES ，即 DS CT  BT ES ， 又 DS CT  DM CM ， BT ES  BN EN ， 所以 DM CM  BN EN ，因此 DM CM CM   BN EN EN  ， 即 CD CM  BE EN 。 由 CDBE 得 CMEN．······························································（20 分） 取 DB，EB 中点 F，G，连结 FG，分别交 BE、CD、QR 于 U、V、K， 因为 FRGQ，由（1）的结论知 RKQK。 设 BE 与 CD 交于点 O，则△OUV 为等腰三角形。 由 CMEN 得 NUMV． O V U K F G S L T N M R Q P E B C A D

由（1）的结论知NK=MK。所以MO=NR。（25分）

由（1）的结论知 NKMK。 所以 MQNR。·········································································（25 分）