数字通信原理 第二章预备基础知识 本章要点 矩形波频谱及信号频带的定义 随机信号的统计特性和相关性 消息、信号、信息及其度量 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 第二章 预备基础知识 本章要点： ▪ 矩形波频谱及信号频带的定义 ▪ 随机信号的统计特性和相关性 ▪ 消息、信号、信息及其度量
数字通信原理 第一节信号分析的基础知识 傅立叶级数 任何一个周期信号∫(),只要满足狄里赫利条件,都 可以表示为傅立叶级数。 狄里赫利条件: ①在一周期内只有有限个间断点; ②在一周期内只有有限个极值点; to+T ③绝对可积: f(t)<∞ 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 第一节 信号分析的基础知识 一、傅立叶级数 任何一个周期信号 ，只要满足狄里赫利条件，都 可以表示为傅立叶级数。 狄里赫利条件： ①在一周期内只有有限个间断点； ②在一周期内只有有限个极值点； ③绝对可积： f (t) + t T t f (t )dt 0 0
数字通信原理 傅立叶级数的三种表示形式 1、傅立叶级数的三角形式: 2Tn 2In ∫(1)=“+∑/anc(t)+ bn sin(=t 2πi 式中an=r 7-7/2f(t)cos(t)dt, n=0, 1, 2, bn=rif(t)sin("t)dt, n=1,2,3 叫做傅立叶糸数。a0/2是∫(t)的平均值,即直流量。 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 傅立叶级数的三种表示形式 1、傅立叶级数的三角形式： 式中 叫做傅立叶系数。 是 的平均值，即直流量。 t )] T 2 n t ) b sin( T 2 n [a cos( 2 a f (t ) n n 1 n 0 + = + = t )dt,n 0,1,2,... T 2 n f (t )cos( T 2 a T / 2 T / 2 n = = − t )dt,n , , ,... T n f (t )sin( T b T / T / n 1 2 3 2 2 2 2 = = − a0 / 2 f (t)
数字通信原理 2、傅立叶级数的另一种三角表示形式 2 T f(t)=+∑ dn cos(-+φ) 式中dn=√an+bn,咖=-arcn(bmn/am) 3、傅立叶级数的指数形式为 f(t)=∑c n 式中c=7」 7/2(te 0 2 J n< 2 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 2、傅立叶级数的另一种三角表示形式： 式中 ， 3、傅立叶级数的指数形式为： 式中 ) t 2 n d cos( 2 a f (t ) n n 1 n 0 + = + = a b d n n n 2 2 = + n = −arctan(bn / an ) = =− n t T j 2 n f (t ) cne − − = 2 2 2 1 T / T / t T j n n f (t )e T c + = − = , 0 2 , 0 2 , 0 2 0 n a jb n a n a b c n n n n n
数字通信原理 二、傅立叶变换 非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究,可把它看作周期信 号周期趋于无穷的一种极限情况。 在指数形式的傅式级教畏开中令T→>∞可得: )=2xCFo)bF(O)=」)e-m 通常把F(ω)叫做∫(1)的频谱密度,或简称频谱。 傅立叶变换提供了信号在频堿和肘间域之间的相互变换关糸。 由∫(It)到F(ω)的变换叫傅氏正变换,而相反的变换称为傅氏反变换 般来说,如果∫()在每个有限区间内满足狄里赫利条件,且满足 ∫"|f(t)t<∞ 傅氏变换存在,这是充分条件。 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 二、傅立叶变换 非周期信号不能直接用傅立叶级数去研究，可把它看作周期信 号周期趋于无穷的一种极限情况。 在指数形式的傅式级数展开中令 可得： 通常把 叫做 的频谱密度，或简称频谱。 傅立叶变换提供了信号在频域和时间域之间的相互变换关系。 由 到 的变换叫傅氏正变换，而相反的变换称为傅氏反变换。 一般来说，如果 在每个有限区间内满足狄里赫利条件，且满足 傅氏变换存在，这是充分条件。 T → = − F( )e d 2 1 f ( t ) j t − − F( ) = f (t )e dt jt F() f (t ) f (t ) F() f (t ) − | f (t )|dt
数字通信原理 三、功率谱密度和能量谱密度 对于信号电压或电流f(t),耗散在单位电阻上的瞬功率可表 示为/F()12,而慈能量为E=[()ho 当信号的总能量为有限值肘,称为能量信号,否则,总能量为无 穷大肘,称为功率信号。 对于功率信号:定义信号f(在单位电阻上所消耗的平均功率 为:P=mn)(单位时间的能量) 而对于能量信号,则定义信号f()在单位电阻上所散耗的能量为: E=()2d 可以看到能量信号的平均功率为,故研究其功率无实际价值, 而功率信号的能量为无穷大,因此也同样没有研究的价值。 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 三、功率谱密度和能量谱密度 对于信号电压或电流f(t)，耗散在单位电阻上的瞬时功率可表 示为|f(t)|2 ，而总能量为 。 当信号的总能量为有限值时，称为能量信号，否则，总能量为无 穷大时，称为功率信号。 对于功率信号：定义信号f(t)在单位电阻上所消耗的平均功率 为： （单位时间的能量） 而对于能量信号，则定义信号f(t)在单位电阻上所散耗的能量为： 可以看到能量信号的平均功率为零，故研究其功率无实际价值， 而功率信号的能量为无穷大，因此也同样没有研究的价值。 − E = f t dt 2 ( ) → − = 2 2 2 ( ) 1 lim T T T f t dt T P − E = f t dt 2 ( )
数字通信原理 帕斯瓦尔( Parseval)定理 对于能量信号f()→F(0)有: E Flo do 丌 对于功率信号有: P=limI()=_l Fr(o-d ∞T→∞ 其中F()为截短的有限时间信号f( f(t)1 的傅式变换。 0 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 帕斯瓦尔(Parseval)定理 对于能量信号 有： 对于功率信号有： 其中 为截短的有限时间信号 的傅式变换。 f (t) → F() − − = = E f (t ) dt F( ) d 2 2 2 1 → − − → = = d T F f t dt T P T T T T T 2 2 2 2 ( ) lim 2 1 ( ) 1 lim () FT = 0 2 ( ) ( ) T f t t f t T
数字通信原理 对于周期信号有:(特殊的功率信号) rrIO d=E/,/ 以上几个式子反映的是信号在肘域的总能量(或功率 )等于信号在频域内的总能量(或功率),各式中等 号左端反腆的是信号能量或功率在肘域的分布情况, 右端为在频域的分布情况。 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 对于周期信号有：（特殊的功率信号） 以上几个式子反映的是信号在时域的总能量（或功率 ）等于信号在频域内的总能量（或功率），各式中等 号左端反映的是信号能量或功率在时域的分布情况， 右端为在频域的分布情况。 =− − = = n n T T f t dt c T P 2 2 2 2 ( ) 1
数字通信原理 为了用统一的形式来表示信号能量或功率在频域 的分布规律,可分别定义能量谱密度ξ()和功率谱密 度S(ω),则从频域计算信号的能量或功率的表达式可 统一写为: E lodo P S(odo 2丌 显然,对于能量信号有:5(O0)=F(O 而对于功率信号有: F7( S(o)=lim T→∞ T 对于周期信号来说,同样可以推导出: (o)=2z∑|cno(0-nO 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 为了用统一的形式来表示信号能量或功率在频域 的分布规律，可分别定义能量谱密度 和功率谱密 度 ，则从频域计算信号的能量或功率的表达式可 统一写为： 显然，对于能量信号有： 而对于功率信号有： 对于周期信号来说，同样可以推导出： ( ) S( ) − = E ( )d 2 1 − = P S( )d 2 1 2 ( ) = F( ) T F S T T 2 ( ) ( ) lim → = =− = − n n T S( ) 2 c ( n ) 2
数字通信原理 由于|cn|为HO1分量的平均功率,所以可表示为: 2=ln S(@-nor )do ∑kn=∑c n=-00 「∑n"b(o-m,do 2丌 2z∑kn|6(0-no n=-00 可见,S(o)=2n2cn(0-non) n=-00 电信学院通信教研室 2021年2月22日
电信学院通信教研室 2021年2月22日 数 字 通 信 原 理 由于 为 分量的平均功率，所以可表示为： 可见， 2 cn T n − cn = cn ( − nT )d 2 2 =− − =− = = − n n T n n P c c ( n )d 2 2 − =− = − n n T c ( n )d 2 2 2 1 =− = − n n T S( ) 2 c ( n ) 2 − =− = − n n T c ( n )d 2