第七章氣体一雍高速脆动 第一节微弱扰动波的传播 第二节气体一维定常等熵流动 ◆第三节气体一维定常等熵变截面管流 ◆第四节正激波
第七章 气体一维高速流动 ◆ 第一节 微弱扰动波的传播 ◆ 第二节 气体一维定常等熵流动 ◆ 第三节 气体一维定常等熵变截面管流 ◆ 第四节 正激波
前几章讨论的是不可压缩流体的流动,例如对于液体, 即使在较高的压强下密度的变化也很微小,所以在一般情况 下,可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说,可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度(即声速)时,密度的变化也很小 例如空气的速度等于50ms,这数值比常温20°C下空气中的 声速343m/s要小得多,这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见,通常也可忽略密度的变化,将密度近 似地看作是常数,即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时,如果气体受到扰动,必然会引起很大的压强变化, 以致密度和温度也会发生显著的变化,气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化,这时就必须考虑压缩性的影响 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知认
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识
第一节微弱扰动波的传播 微弱扰动波的一维传播 如图7-1所示,在一个截面积为A、足够长的直圆管中充满 了静止的气体,将圆管左端的活塞以微小速度d向右轻微地 推动一下,使活塞右侧的气体压强升高一个微小增量d,d 所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧贴活塞的 那一层气体,这层气体受压后,又传及下一层气体,这样依次 层一层地传下去,就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强 突跃,就是压缩波mn,它以速度向右推进。压缩波面mn是 受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止 气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强 为P、密度为卩、温度为T,波后已被扰动过的气体以与 活塞的微小运动同样的微小速度d向右运动,其压强增高 到P+,密度和温度也相应增加到p+dp和T+dT
第一节 微弱扰动波的传播 一. 微弱扰动波的一维传播 如图7-1所示，在一个截面积为A、足够长的直圆管中充满 了静止的气体，将圆管左端的活塞以微小速度 向右轻微地 推动一下，使活塞右侧的气体压强升高一个微小增量 ， 所产生的微弱压强扰动向右传播。活塞将首先压缩紧贴活塞的 那一层气体，这层气体受压后，又传及下一层气体，这样依次 一层一层地传下去，就在圆管中形成一个不连续的微弱的压强 突跃，就是压缩波mn，它以速度 向右推进。压缩波面mn是 受活塞微小推移的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止 气体的分界面。设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强 为 、密度为 、温度为 ，波后已被扰动过的气体以与 活塞的微小运动同样的微小速度 向右运动，其压强增高 到 ，密度和温度也相应增加到 和 。 dV dp dp p T dV p + dp +d T + dT
静止波面m控制面 In d c-dv (b) 图7-1微弱扰动波的一维传播
图7-1 微弱扰动波的一维传播
显然,这是不定常流动。为了得到定常流动,可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动,经过波面速度由c降为 c-dv,而压强申p升高到p+d,密度和温度由p、T增 加到p+dp、T+dT。如图7-1(所示,取包围压缩波的 控制面,根据连续性条件,在dt时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等,即 cpAdt=(c-dv(e+dp)adt 化简后,得 cdp 尸+d (7-1) 由于压缩波很薄,作用在该波上的摩擦力可以忽略不计 于是对于控制面,根据动量定理,沿气体流动的方向,质 量为c4的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力 之和,即 q4(c-d1)-(-c) [(p+dp)-p 或 d (7-2
显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为 c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由 、 增 加到 、 。如图7-1(b)所示，取包围压缩波的 控制面，根据连续性条件，在 时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等，即 化简后，得 （7-1） 由于压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可以忽略不计。 于是对于控制面，根据动量定理，沿气体流动的方向，质 量为 的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力 之和，即 或 （7-2） T +d T + dT dt cAdt = (c −dV)( + d)Adt d d d + = c V cA p p p A t c V c c A t [( d ) ] d [ ( d ) ( )] d = + − − − − − p c V d 1 d =
由式(7-1)和式(72)得 dod 1+ 由于是微弱扰动,远小于D,即乡 <1,所以 (7-3) 式(7-3)与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度 (即声速)的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰 动波的传播速度就是声速。 在式(7-3)的推导过程中,并未对介质提出特殊要求,故 该式既适用于气体,也适用于液体,乃至适用于一切弹性 连续介质。不同介质的压缩性不同,压缩性小的扰动波传 播速度高,压缩性大的扰动波传播速度低,因此声速值反 映了流体可压缩性的大小。 式(7-3)是声速的通用表达式,要计算某柑沇体中具有的声 速值,尚需确定和d的关系,以求出d的值
由式（7-1）和式（7-2）得 由于是微弱扰动， 远小于 ，即 ，所以 （7-3） 式（7-3）与物理学中计算声音在弹性介质中传播速度 （即声速）的拉普拉斯公式完全相同。可见气体中微弱扰 动波的传播速度就是声速。 在式（7-3）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故 该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性 连续介质。不同介质的压缩性不同，压缩性小的扰动波传 播速度高，压缩性大的扰动波传播速度低，因此声速值反 映了流体可压缩性的大小。 式(7-3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中具有的声 速值，尚需确定 和 的关系，以求出 的值。 d d d 1 2 p c = + d 1 d d dp c = dp d d dp
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速,与外界来 不及进行热交换,而且其中的压强、密度和温度变化极为 微小,所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝 热过程,即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体, 则根据等熵过程关系式P/=常数和完全气体状态方 程p=pRT,可得 P= yrt d 代入式(7-3),得 为热力学绝对温度,K (7-4) 为绝热指数 为气体常数,J/(kg·K 对于空气,y=1.4,R=287J/(kgK
由于微弱扰动波的传播过程进行得很迅速，与外界来 不及进行热交换，而且其中的压强、密度和温度变化极为 微小，所以这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝 热过程，即等熵过程。假定气体是热力学中的完全气体， 则根据等熵过程关系式 =常数和完全气体状态方 程 ，可得 代入式（7-3），得 （7-4） p p = RT RT p p = = d d RT p c = = 为绝热指数 为气体常数，J/(kg·K) 为热力学绝对温度，K 对于空气， =1.4 , R= 287 J/(kg·K)
由式(74)可知,气体中的声速随气体的状态参数 的变化而变化。于是在同一流场中,各点的状态参数若 不同,则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中某 点在某一瞬时的声速,称为当地声速 在实际计算中,通常用气体速度巧与当地声速c的比值M 来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准,即 Ma= (7-5) M称为马赫数,是一个无量纲数,也是气体动力学中 个重要参数。 我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流Mκ1, 跨声速流M≈1,超声速流1M3和高超声速流M3等 几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著的差别,我 们将在以后各节中逐一介绍
由式（7-4）可知，气体中的声速随气体的状态参数 的变化而变化。于是在同一流场中，各点的状态参数若 不同，则各点的声速也不同。所以声速指的是流场中某 一点在某一瞬时的声速，称为当地声速。 在实际计算中，通常用气体速度 与当地声速 的比值 来作为判断气体压缩性对流动影响的一个标准，即 （7-5） 称为马赫数，是一个无量纲数，也是气体动力学中一 个重要参数。 我们常根据马赫数的大小,把气流分为亚声速流 3等 几类。亚声速流动和超声速流动有许多显著的差别，我 们将在以后各节中逐一介绍。 V c Ma Ma Ma Ma Ma Ma c V Ma =
二微弱扰动波的空间传播 前面讨论了微弱扰动波的一维传播,下面进一步讨论 微弱扰动波在空间流场中的传播 为了便于分析问题,假设流场中某点有一固定的扰动源, 每隔1s发生一次微弱扰动,现在分析前3s产生的微弱扰动 波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的, 是亚声速的还是超声速的,都将对微弱扰动波在空间的传 播情况产生影响,所以下面分四种情况来讨论。 1.静止流场(V=0) 在静止流场中,扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周 传播,形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波,微弱 扰动波在3s末的传播情况如图7-2(a所示。如果不考虑微弱 扰动波在传播过程中的损失,随着时间的延续,扰动必将 传遍整个流场。也就是说,微弱扰动波在静止气体中的传 播是无界的
二 微弱扰动波的空间传播 前面讨论了微弱扰动波的一维传播，下面进一步讨论 微弱扰动波在空间流场中的传播。 为了便于分析问题，假设流场中某点有一固定的扰动源， 每隔1s发生一次微弱扰动，现在分析前3s产生的微弱扰动 波在空间的传播情况。由于不论流场是静止的还是运动的， 是亚声速的还是超声速的，都将对微弱扰动波在空间的传 播情况产生影响，所以下面分四种情况来讨论。 1．静止流场(V=0) 在静止流场中，扰动源产生的微弱扰动波以声速c向四周 传播，形成以扰动源所在位置为中心的同心球面波，微弱 扰动波在3s末的传播情况如图7-2(a)所示。如果不考虑微弱 扰动波在传播过程中的损失，随着时间的延续，扰动必将 传遍整个流场。也就是说，微弱扰动波在静止气体中的传 播是无界的
2.亚声速流场(V<c) 在亚声速流场中,扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b所示。由于扰动源本身以 速度运动,故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c,而是这两个速度的矢量 和。这样,球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于∨<c,所以微弱扰动波仍能 逆流传播,相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失,随着时间的延续,扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说,微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的
2．亚声速流场(V<c) 在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的