第二章流体静力学 §1-1流体静压强极其特性 §1-2流体平衡微分方程 §1-3重力作用下的流体平衡 §1-4流体静力学基本方程的应用 §1-5平面上的静水总压力 §1-6曲面上的静水总压力 §1-7浮体与潜体的稳定性 2021/2124
2021/2/24 1 第二章 流体静力学 • §1–1 流体静压强极其特性 • §1–2 流体平衡微分方程 • §1–3 重力作用下的流体平衡 • §1–4 流体静力学基本方程的应用 • §1–5 平面上的静水总压力 • §1–6 曲面上的静水总压力 • §1–7 浮体与潜体的稳定性
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系,当流体相对于惯性坐标系静止时, 称流体处于绝对静止状态;当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时,称流体处于相对静止状态 流体处于静止或相对静止状态,两者都表现不出黏性 作用,即切向应力都等于零。所以,流体静力学中所得的 结论,无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 2021/2/24 2
2021/2/24 2 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态 的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地 球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时， 称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标 系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性 作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的 结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的
第一节流体静压强及其特性 在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时,流 体的压强称为流体静压强,用符号表示,单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性。 (1)流体静压强的方向与作用面相垂直,并指向作用 面的内法线方向 这一特性可由反证法给予证明: 假设在静止流体中,流体静压强方向不与作用面相垂 直,而与作用面的切线方向成a角,如图2-1所示。 2021/2/24
2021/2/24 3 第一节 流体静压强及其特性 在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流 体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性。 （1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。 这一特性可由反证法给予证明： 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂 直，而与作用面的切线方向成α角，如图2-1所示
p 静压强 法向压强 p 切向压强 图2-1 2021/2/24
2021/2/24 4 α pn pt p 切向压强 静压强 图2-1
那么静压强p以分解成两个分力即切向压强尸和法向压 强pn。由于切向压强是一个剪切力,由第一章可知,流体 具有流动性,受任何微小剪切力作用都将连续变形,也就 是说流体要流动,这与我们假设是静止流体相矛盾。流体 要保持静止状态,不能有剪切力存在,唯一的作用力便是 沿作用面内法线方向的压强。 (2)静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的 方向无关,即任一点上各方向的流体静压强都相同 为了证明这一特性,我们在静止流体中围绕任意一点 A取一微元四面体的流体微团ABCD,设直角坐标原点与A 重合。微元四面体正交的三个边长分别为d,d和d,如 图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态,所以作用在 2021/2/24
2021/2/24 5 那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压 强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体 具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就 是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体 要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是 沿作用面内法线方向的压强。 （2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的 方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任意一点 A取一微元四面体的流体微团ABCD，设直角坐标原点与A 重合。微元四面体正交的三个边长分别为dx，dy和dz，如 图2-2所示。因为微元四面体处于静止状态，所以作用在
其上的力是平衡的 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关 系。由于静止流体中没有切应力,所以作用在微元四面体 四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所 取微元四面体的各三角形面积都是无限小的,所以可以认 为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、 ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为、p、 p和pn,pn与x、y、z轴的夹角分别为a、β、y,则作用在 各面上流体的总压力分别为: dxd yy2 2021/2/24
2021/2/24 6 其上的力是平衡的 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关 系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体 四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所 取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认 为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、 ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、 pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在 各面上流体的总压力分别为： y z x p x P d d 2 1 = x z y p y P d d 2 1 =
作用在ABC 面 作用在ACD面上 的流体静压强 的流体静压强 dy 作用在BCD面 Pn上的静压强 A dr 作用在ABD和 上的静压 强 图2-2微元四面体受力分析 2021/2/24
2021/2/24 7 py px pz pn 作用在ACD面上 的流体静压强 作用在BCD面 上的静压强 作用在ABD和 上的静压 强 图2－2 微元四面体受力分析
dxd Pndn(dln为BCD的面积) 除压强外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量 力,该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为p,而微元四面体的体积为dH=dd1d6,则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρddd/⑥。假定作用在流 流体上的单位质量力为厂,它在各坐标轴上的分量分别 为f、f、f,则作用在微元四面体上的总质量力为: w=-pdxdydzf 6 2021/2/24 8
2021/2/24 8 （dAn为BCD的面积） 除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量 力，该质量力分布在流体微团全部体积中。设流体微团的 平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则微 元四面体流体微团的质量为dm=ρdxdydz/6。假定作用在流 流体上的单位质量力为 ，它在各坐标轴上的分量分别 为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为： x y z p z P d d 2 1 = An n p n P = d f W x y zf d d d 6 1 =
它在三个坐标轴上的分量为:1 dxdvd pdxdydsf pdxdydsf 由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系, 则∑=0∑P=0∑P2=0 在轴方向上力的平衡方程为: P-P cosa+w=0 把n,Dn和W的各式代入得 Pr-dydz-pndan cos a+-pdxdydif =0 2021/2/24 9
2021/2/24 9 它在三个坐标轴上的分量为： 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上 的一切力在任意轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系， 则 、 、 。 在轴方向上力的平衡方程为： 把px ， pn 和Wx的各式代入得： y y W dxdydzf 6 1 = z z W dxdydzf 6 1 = x x W dxdydzf 6 1 = Px = 0 Py = 0 Pz = 0 Px − Pn cos +Wx = 0 d d d 0 6 1 d d d cos 2 1 px y z − pn An + x y zf x =
因为 dA cos a=-dvdz 则上式变成 dydz-p dydz+-pdxdydafx=0 或 3分 dx=o 由于等式左侧第三项为无穷小,可以略去,故得: 同理可得 所以 Px= pypz=p (2-1) 2021/2/24 10
2021/2/24 10 因为 则上式变成 或 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得： 同理可得 所以 （2-1） A y z n d d 2 1 d cos = d d d 0 6 1 d d 2 1 d d 2 1 px y z − pn y z + x y zf x = d 0 3 1 px − pn + f x x = px = pn py = pn pz = pn px = py = pz = pn