§3.7结构自振周期的计算 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应,除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外,其余均需计算自振周期。 计算方法:矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 YN(t) t时刻的位移为 {y()}={X}sn(+E1) y2(t) 速度为 1() L(t)=xo cos(a t+E)
一、能量法计算基本周期 §3.7 结构自振周期的计算 ( ) sin( ) i i i y t = X t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为 ( ) cos( ) i i i i y t = X t + 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。 计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 t时刻的位移为
、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 yN(t) 时刻的位移为 {y()}={X}sn(+E1) y2(t) 速度为{(}={Xla,cos(m,+5)my( 动能为 T;(1)=m11(t)+m2j2(t)+ (t) 2 2(o)yn() LrImkxho? cos(o,t+ 势能为 U, (r=XLkKX sin2(@, t+E)
一、能量法计算基本周期 ( ) sin( ) i i i y t = X t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为 ( ) cos( ) i i i i y t = X t + t时刻的位移为 动能为 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 1 T t m y t m y t m y t i N N = + + ( ) ( ) 2 1 y t m y t T = cos ( ) 2 1 2 2 i i i i T i = X m X t + 势能为 sin ( ) 2 1 ( ) 2 i i i T i i U t = X k X t +
、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 yN(t) 时刻的位移为 {y(t)}={X}sn(+E1) y2(t) 速度为{(}={Xla,cos(m,+5)my( 动能为T(t)={X[m]xo,2cos2(ot+s;) 势能为U()=1(xy/[k]{x}sm(o,+6) 最大动能为Tm={xy[mx)o2 最大势能为Um=xy[k]{x 由能量守恒,有 I max I max 通常将重力作为荷载所 LrYkKXI 引起的位移代入上式求基本 LxrImkry 频率的近似值
一、能量法计算基本周期 ( ) sin( ) i i i y t = X t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为 ( ) cos( ) i i i i y t = X t + t时刻的位移为 动能为 cos ( ) 2 1 ( ) 2 2 i i i i T i i T t = X m X t + 势能为 sin ( ) 2 1 ( ) 2 i i i T i i U t = X k X t + 最大动能为 2 max 2 1 i i T Ti = X i m X i T Ui X i k X 2 1 最大势能为 max = 由能量守恒，有 Timax =Uimax i T i i T i i X m X X k X = 2 通常将重力作为荷载所 引起的位移代入上式求基本 频率的近似值
max 2 max 2i (onui max max nn. Or ∑m Gu T1=2x/1g=9.8ms2
m1 mN G1 u1 G2 Gn un u2 = = = = n i i i i n i i m u g U G u 1 1 max 2 2 1 = = n i T mi ui 1 2 max 1 ( ) 2 1 Tmax =Umax = = = n i i n i i i i m u g m u 1 2 2 1 1 1 1 T = 2 / m/s 2 g = 9.8 = = = n i i n i i i i G u G u T 1 1 2 1 2
能量法是根据体系在振动过程的能量守恒 原理导出的,适用用求结构的基本频率(第 振型的频率)。 本方法常用于求解以剪切型为主的框架结 构。由于框架结构可以用D值法直接求得层间变 形,所以这一方法应用十分方便
能量法是根据体系在振动过程的能量守恒 原理导出的，适用用求结构的基本频率（第一 振型的频率）。 本方法常用于求解以剪切型为主的框架结 构。由于框架结构可以用D值法直接求得层间变 形，所以这一方法应用十分方便
例.已知:G1=400kN,G2=300kN G L k1=14280kN/m,k2=10720kN/m 求结构的基本周期。 解:(1)计算各层层间剪力 k I1=400+300=700kN =300kN (2)计算各楼层处的水平位移 l1=11/k1=700/14280=0.0491 l2=1/k1+l2/k2=0.049+300/10720=0.077m (3)计算基本周期 400×0.0492+300×0.077 0.508s 400×0.049+300×0.077
解: 例.已知： 14280kN/m, 10720kN/m 400kN, 300kN 1 2 1 2 = = = = k k G G 求结构的基本周期。 2 k G2 1 k G1 G1 G2 u2 u1 （1）计算各层层间剪力 V1 = 400+300 = 700kN V2 = 300kN （2）计算各楼层处的水平位移 u1 =V1 / k1 = 700/14280 = 0.049m u2 =V1 / k1 +V2 / k2 = 0.049+300/10720 = 0.077m （3）计算基本周期 = = = n i i n i i i i G u G u T 1 1 2 1 2 0.508s 400 0.049 300 0.077 400 0.049 300 0.077 2 2 2 = + + =
例3.2图3.15为3层框架结构,假定其横梁刚度为无限大。各层质量为: m1=256lt,m2=2545t,m3=559t。各层刚度分别为k1=543×103KN/m, k2=903×103KN/m,k3=8.23×103KNm。试用能量法计算该结构的 基本频率及振型。 △x3 k △x2 2 k 2 △x1 k (a) (b) 解:结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图(b)
基本频率及振型。 ， 。试用能量法计算该结构的 ， ， 。各层刚度分别为 ， 例 图 为 层框架结构，假定其横梁刚度为无限大。各层质量为： 9.03 10 KN/m 8.23 10 KN/m 2561t 2545t 559t 5.43 10 KN/m 3.2 3.15 3 5 3 5 2 5 1 2 3 1 = = = = = = k k m m m k 解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（b） （a） （b）
结构的层间相对位移为: △X g559 g=6.792g×10-m k28.23×10 △X2 (m3+m2)g(559+2545)g =3437g×10m k 9.03×10 AF,V+m2+m.1_(559+2545+25612=104.339×10-4 k 5.43×10 各层位移为: A1=△X 1=104.3×10-4m X2=X1+△2=(10431+3437)g×10-m=13870g×10m X3=X2+△X3=(13870+6792)g×10-m=14549g×10-m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X (138.70 6.792) 10 m 145.49 10 m X 104.33 34.37 10 m 138.70 10 m 104.33 10 m 104.33 10 m 5.43 10 559 2545 2561 34.37 10 m 9.03 10 559 2545 6.792 10 m 8.23 10 559 4 4 3 2 3 4 4 2 1 2 4 1 1 4 5 1 3 2 1 1 4 5 2 3 2 2 4 5 3 3 3 − − − − − − − − = + = + = = + = + = = = = + + = + + = = + = + = = = = X X g g X X g g X X g g g k m m m g X g g k m m g X g g k m g X 各层位移为： 结构的层间相对位移为：
则体系的基本频率为: ∑ g(2561×104.33+2545×13870+559×14549×104 ∑mx2 261×10433+2545×138702+59×145492)g×104) 8. 89rad /s X 104.33 0.717 相应的基本振型为 12 13870}g×104=0953 14549 1000
( ) ( )( ) = = = + + + + = = − − − = = 1.000 0.953 0.717 g 10 145.49 138.70 104.33 8.89rad /s 2561 104.33 2545 138.70 559 145.49 g 10 2561 104.33 2545 138.70 559 145.49 g 10 4 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 2 1 X X X g m X g m X n i i i n i i i 相应的基本振型为： 则体系的基本频率为：
、等效质量法(折算质量法) M 将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为 I max ∑ m, olx 单质点体系的最大动能为 2 max aM(om) 2 -体系按第一振型振动时,相应于折算质点处的最大位移 l max M s 11n i=1 T1=2x√Mo δ--单位水平力作用下顶点位移
二、等效质量法（折算质量法） m1 mN x1 n x Meq m x 将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为 = = n i T mi xi 1 2 1max 1 ( ) 2 1 单质点体系的最大动能为 2 2max 1 ( ) 2 1 T = Meq xm T1max = T2max m x ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移； 2 1 2 m n i i eq x m x M i = = Meq 1 1 = T1 = 2 Meq ---单位水平力作用下顶点位移
