《建筑抗震设计》结构非弹性地震反应分析

§3.12结构非弹性地震反应分析 、结构的非弹性性质 滞回曲线:结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹 性变形间的关系曲线。 A 骨架曲线 受弯钢筋凝土构 件的滞回曲线

§3.12 结构非弹性地震反应分析 一、结构的非弹性性质 滞回曲线：结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹 性变形间的关系曲线。 受弯钢筋凝土构 件的滞回曲线

滞回模型:描述结构或 k 构件滞回关系的数学模 型。 P 双线性模型 lko 双线性模型一般适 用于钢结构梁、柱、节 O 点域构件。 钢筋混凝土梁、柱、 墙等一般采用退化三线 3 性模型。 4

滞回模型：描述结构或 构件滞回关系的数学模 型。 双线性模型 双线性模型一般适 用于钢结构梁、柱、节 点域构件。 钢筋混凝土梁、柱、 墙等一般采用退化三线 性模型

3,89 退化三线性模型 k 0 8(113 04 10 26,115

退化三线性模型

、结构非弹性地震反应分析的逐步积分法 线加速度法 运动方程m+cj+k(t)=P(t) P(t) y(t) f/(1)+JD(1)+f(D)=P(D 线性问题:c、k为常数 f fn f ly=k=tga fp/y=c=tgB 非线性间题:c、k为非常数↑f f

线加速度法 运动方程 m  y  + cy  + k y(t) = P(t) f s / y = k = tg P(t) m k c y(t) f (t) f (t) f (t) P(t) I + D + s = 线性问题： c、k为常数 f D / y  = c = tg s f y(t)  D f y (t)  非线性问题： c、k为非常数 s f y(t) D f y (t) 二、结构非弹性地震反应分析的逐步积分法

增量方程 df △y 时刻 f/(1)+fD(D)+f。(t)=P( △y4 A时刻 y(t)y(t+△ f(+△)+fD(t+△)+∫(+A)=P(t+A) △ A1(D)+4D(D)+M,(t)=△P(t) 其中:f()=f(+△)-f() △ mjv(t+△t)-mv(t)=m△(t 4(1)≈k()·A()k(t)=d/d j()j(t+△t) 4yD(t)≈c(t),△j(t)c(t)=可c △P(t)=P(t+△t)-P(t) mA(t)+C(1)△y()+k()Ayv(t)=△P 增量方程

1.增量方程 t时刻 f (t) f (t) f (t) P(t) I + D + s = t +t 时刻 f (t t) f (t t) f (t t) P(t t) I +  + D +  + s +  = +  f (t) f (t) f (t) P(t)  I +  D +  s =  其中： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) my t t my t m y t f t f t t f t I I I =  +  −  =   = +  − f (t) k(t) y(t)  s   s f y(t) y dy dfs  s f y(t) y(t + t) y k t df dy s ( ) = / f (t) c(t) y(t) D    c t df dy s ( ) = / D f y (t) y dy dfD    D f y (t) y (t + t) y  P(t) = P(t + t) − P(t) m y (t) + c(t)y (t) + k(t)y(t) = P(t) ----增量方程

2线加速度法 mA(t)+c(t)△i(t)+k()△yv()=△P() Ay(t)=j(t)4to) 增量方程 2! △()=j()M+(△t)2+ 2! (4) △()=y()△+ △)+ k(t=k( m+c(t) 设y4(1)=0并消去y(1) △() △y()-y()-3j(t) y(t+△t)=y(t)+△y(t) (△t) j(t+△t)=(t)+△v(t) △t Aj(t)=Ay(1)-3(0)-y()j(t+△)=j(1)+△j(1) △t Ay=△P/k 其中AP(t)=AP()+m(t)+3元(t)]+c(1)[3(t)+y()

2.线加速度法     =   +  +  + 2 3 ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t t y t y t y t t y P k ~ / ~  =     =   +  + 2 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t y t y t t  =   +  2 + (4) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t y t y t t 设 ( ) 0 并消去 (4) y t =  y (t) ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) 2 y t y t t y t t y t  −    −   = ( ) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) y t t y t y t t y t     − −   = 其中 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( ) 3 ( )] ( )[3 ( ) 6 ( ) ( ) [ ~ y t t y t y t c t y t t P t P t m      + + +   =  + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t t y t y t y t t y t y t y t t y t y t       +  = +  +  = +  +  = +  m y (t) + c(t)y (t) + k(t)y(t) = P(t) ----增量方程

3.计算步骤 已知t1时刻的状态向量及4y(t1)4Vt-) 求t时刻的状态向量及增量。 (1)求t时刻的状态向量 y(t1)=y(t1)+△y(t1-1) (1)=y(t1)+△j(t1) j(1)=-[P(t1)-fD(t1)-f(t1) (2)求AP(1)k(t1) (3)求△v()、A(1) 积分步长:M≤T/10

3.计算步骤 （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 已知ti-1时刻的状态向量及 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t 求ti时刻的状态向量及增量

例:求位移时程曲线, W=15k 恢复力时程曲线, P(+)y(t)计算步骤 已知t时刻的状态向量及 最大位移,最大恢复力, △y(t1-1)、△j(t 开始时静止。 求t时刻的状态向量及增量 P(t)(kN) (1)求t时刻的状态向量 f (1)=y(t1)+△y(t y(t1)=y(t1-1)+△y(t1-1) y()=P()-f0()-f(c 0.1 0.8t(s) 0.05 (2)求AP(1)k(1) f tan B=C=lkN S/m k(t)=k()+2m+c() △P(t)=△P()+m 4y(t)+3i(D +c(t[3v()+j() 0.05 解:确定步长 (3)求A4)4(4) m=W/g=15×103/981=1.529×103kg 积分步长:M≤T/10 O=√k/m=√60/1.529=62641/s △P()=△P(1)+94.74y(1)+4637( T=2r/=1003s:Mt=0.ls 6 3 △()=30△y()-3j(t)-0.05j(t) k(t)=k(t)+ 01×1.529+1=()+9474kN/m

P(t) W=15kN 例：求位移时程曲线， y(t) 恢复力时程曲线， 最大位移，最大恢复力， 开始时静止。 P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 fD 0.05 y (t)  tan  = c =1kNs/m 解： 确定步长 / 15 10 / 9.81 1.529 10 kg 3 3 m =W g =  =   = k / m = 60/1.529 = 6.264 1/s T = 2 / =1.003s; t = 0.1s 计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  + ( ) 947.4kN/m 0.1 3 1.529 0.1 6 ( ) ( ) ~ 2 k t = k t +  + = k t + ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t)

1.t=0 y)=yO)=0/(0)=6()=06(0)=-(0)=0.P()=0计算步骤 已知t时刻的状态向量及 f(0)+fD(0)+f,(0)=P(0)∴y0)=0 △w(t-1)、△(t1-1) y(O)0)k(O)=60,k(0)=60+947410074 求t时刻的状态向量及增量 j(}=0}△P(O)=2△P()=25 (1)求t时刻的状态向量 (1)=y(t1)+△y(t ()(04y(O)=△P(O)/k(0)=000248 y(t1)=y(t1-1)+△y(t1-1) P(t)(kN) △j(0)=0.0744 y()=P()-f0()-f(c fs (2)求AP(1)、k(1) BkN k(t)=k()+2m+c() △P(t)=△P()+m 4y(t)+3i(D 0.1 0.8t( 0.05 (m) +c(t[3v()+j() 解:确定步长 (3)求A4)4(4) m=W/g=15×103/981=1.529×1b3kg 积分步长:M≤T/10 O=√k/m=√60/1.529=62641/s △P()=△P(1)+94.74y(1)+4637( T=2r/=1003s:Mt=0.ls 6 3 △()=30△y()-3j(t)-0.05j(t) k(t)=k(t)+ 01×1.529+1=()+9474kN/m

P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 解： 确定步长 / 15 10 / 9.81 1.529 10 kg 3 3 m =W g =  =   = k / m = 60/1.529 = 6.264 1/s T = 2 / =1.003s; t = 0.1s ( ) 947.4kN/m 0.1 3 1.529 0.1 6 ( ) ( ) ~ 2 k t = k t +  + = k t + ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t) 1. t=0 y(0) = 0; y(0) = 0; f (0) = k y(0) = 0; f (0) = cy(0) = 0;P(0) = 0 s D   f (0) + f (0) + f (0) = P(0); y(0) = 0 I D s  计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  +           =           0 0 0 (0) (0) (0) y y y   (0) 60 947.4 1007.4 ~ k(0) = 60;k = + = (0) 2.5 ~ P(0) = 2.5;P = (0) 0.00248 ~ (0)/ ~ y(0) = P k = y (0) = 0.0744

1.t=0 0=O)=0.,0)=6(0)=0,5(0)=00=0PO)=0/计算步骤 已知t时刻的状态向量及 f(0)+fD(0)+f(0)=P(O)j(0)=0 △w(t-1)、△(t1-1) y(O)0)k(O)=60,k(0)=60+947410074 求t时刻的状态向量及增量 j(O}={0}△P(O)=2△P()=25 (1)求t时刻的状态向量 (1)=y(t1)+△y(t ()(04y(O)=△P(O)/k(0)=000248 y(t1)=y(t1-1)+△y(t1-1) 2.t=0.1s △j(0)=0.0744 y()=P()-f0()-f(c y(0.1)=y(0)+△yO)=000248y(0.1)=y(0)+△(0)=0.074 (2)求AP(1)k(1) y(0.1)<0.05弹性阶段k(0.1)=60 k(t)=k()+2m+c() f(0.1)=k(0.1)×y(0.1)=0.1488 )=△P(1)+my(1)+3(t) f(0.1)=cxy(0.1)=00744P(0.1)=2.5 f(0.)=P()-f(0.1)-f(0.1)=22768,y(0.1)=14891 c()[3j(t)+xj(t) P(t(kN) (3)求A4)4(4) f 3kN 积分步长:M≤T/10 △P()=△P(1)+9474(t)+4.637y() 0.1 y(m △()=30△y()-3j(t)-0.05j(t)

P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t) 计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  + 1. t=0 y(0) = 0; y(0) = 0; f (0) = k y(0) = 0; f (0) = cy(0) = 0;P(0) = 0 s D   f (0) + f (0) + f (0) = P(0); y(0) = 0 I D s            =           0 0 0 (0) (0) (0) y y y   (0) 60 947.4 1007.4 ~ k(0) = 60;k = + = (0) 2.5 ~ P(0) = 2.5;P = (0) 0.00248 ~ (0)/ ~ y(0) = P k = y (0) = 0.0744 2. t=0.1s y(0.1) = y(0) + y(0) = 0.00248 y(0.1)  0.05 f (0.1) = k(0.1) y(0.1) = 0.1488 s P(0.1) = 2.5 弹性阶段 k(0.1) = 60 f (0.1) = c y(0.1) = 0.0744 D  f (0.1) = P(0.1) − f (0.1) − f (0.1) = 2.2768; y(0.1) =1.4891 I D s  y (0.1) = y (0) + y (0) = 0.0744