晶体结构类计算题的解法 410600湖南长沙宁乡一中张矫睦 晶体结构类习题最常见的题型就是已知晶胞的结构而求晶体的化学式。 解答这类习题首先要明确一个概念：由晶胞构成的晶体，其化学式不是 表示一个分子中含有多少个原子，而是表示每个晶胞中平均含有各类原子的个 数，即各类原子的最简个数比。 解答这类习题，通常采用分推法。 在一个晶胞结构中出现的多个原子，这些原子并不是只为这个晶胞所独 立占有，而是为多个晶胞所共有，那么，在一个晶胞结构中出现的每个原子，这 个晶胞能分摊到多少比例呢。这就是分摊法。分摊法的根本目的就是算出一个晶 胞单独占有的各类原子的个数。 分摊法的根本原则是：晶胞任意位置上的一个原子如果是被x个晶胞所 共有，那么，每个晶胞对这个原子分得的份额就是1/x。 下面对立方晶胞进行详细分析。下图1就表示一个立方晶胞。在图中， 原子可以位于它的项点，也可以位于它的棱上，还可以在它的面上（不含棱），当 然，它的体内也可以有原子：图2是这种晶胞进行堆积的情况，图3是图2的单 图。从这些图可以看出： (1)每个顶点被8个品胞共有，所以品胞对自己顶点上的每个原子只占1/8份额： (2)每条棱被4个晶胞共有，所以晶胞对自己棱上的每个原子只占1/4份额： (3③)每个面被2个晶胞共有，所以品胞对自己面上（不含棱）的每个原子只占1/2 份额： (4)晶胞体内的原子不与其它品胞分享： 透过以某个顶点为中心的三维坐标系后可以清楚的看到： (⑤)每个顶点是被8个品胞的6条棱共享，6条棱包括X轴上的二条、Y轴上的二 条和Z轴上的二条：
晶体结构类计算题的解法 410600 湖南长沙宁乡一中张矫睦 晶体结构类习题最常见的题型就是已知晶胞的结构而求晶体的化学式。 解答这类习题首先要明确一个概念：由晶胞构成的晶体，其化学式不是 表示一个分子中含有多少个原子，而是表示每个晶胞中平均含有各类原子的个 数，即各类原子的最简个数比。 解答这类习题，通常采用分摊法。 在一个晶胞结构中出现的多个原子，这些原子并不是只为这个晶胞所独 立占有，而是为多个晶胞所共有，那么，在一个晶胞结构中出现的每个原子，这 个晶胞能分摊到多少比例呢。这就是分摊法。分摊法的根本目的就是算出一个晶 胞单独占有的各类原子的个数。 分摊法的根本原则是：晶胞任意位置上的一个原子如果是被 x 个晶胞所 共有，那么，每个晶胞对这个原子分得的份额就是 1/x。 下面对立方晶胞进行详细分析。下图 1 就表示一个立方晶胞。在图中， 原子可以位于它的顶点，也可以位于它的棱上，还可以在它的面上(不含棱)，当 然，它的体内也可以有原子；图 2 是这种晶胞进行堆积的情况，图 3 是图 2 的单 图。从这些图可以看出： (1)每个顶点被 8 个晶胞共有，所以晶胞对自己顶点上的每个原子只占 1/8 份额； (2)每条棱被 4 个晶胞共有，所以晶胞对自己棱上的每个原子只占 1/4 份额； (3)每个面被 2 个晶胞共有，所以晶胞对自己面上(不含棱)的每个原子只占 1/2 份额； (4)晶胞体内的原子不与其它晶胞分享； 透过以某个顶点为中心的三维坐标系后可以清楚的看到： (5)每个顶点是被 8 个晶胞的 6 条棱共享，6 条棱包括 X 轴上的二条、Y 轴上的二 条和 Z 轴上的二条；
6)每个顶点也被这6条棱构成的12个晶胞面共享，这12个面包括XY平面内的 4个面、Y忆平面内的4个面和ZX平面内的4个面： OY(钇) 7 OCu铜) Ba() 0(氧) (图) Y(图2) 图3) 分摊法的本意不只是把原子分摊到晶胞，还可以把原子分摊到棱或面， 例如： 根据上面第（⑤）条，结论：棱对自己每个顶点占的份额是1/6： 根据上面第(6)条，结论：面对自己每个顶点占的份额是1/12： 同样，分摊法也不只是对原子进行分摊，还可以把棱分摊到面或把面分 摊到棱，等等。 例1科学家发现的亿钡铜氧化合物在90K具有超导性，若该化合物晶体 的晶胞结构如图所示，则该化合物的化学式可能是( A YBa:Cu0 B YBa:Cu:O C YBaCu0 D YBaCu.0. 解析：图中三个立方体合在一起才是一个晶胞。从图看出：每个晶胞体 内含有1个纪原子和2个钡原子。下面计算每个晶胞单独占有的铜原子个数和氧 原子个数。 图中共有铜原子16个，其中位于顶点（最上层平面和最下层平面）的共8 个，这个晶胞中只分摊到8×1/8=1个：位于棱线（中间两个平面）的也是8个， 这个晶胞分摊到的份额是8×1/4=2个：所以，每个晶胞单独占有的铜原子数为 3个
(6)每个顶点也被这 6 条棱构成的 12 个晶胞面共享，这 12 个面包括 XY 平面内的 4 个面、YZ 平面内的 4 个面和 ZX 平面内的 4 个面； 分摊法的本意不只是把原子分摊到晶胞，还可以把原子分摊到棱或面， 例如： 根据上面第(5)条，结论：棱对自己每个顶点占的份额是 1/6； 根据上面第(6)条，结论：面对自己每个顶点占的份额是 1/12； 同样，分摊法也不只是对原子进行分摊，还可以把棱分摊到面或把面分 摊到棱，等等。 例 1 科学家发现的钇钡铜氧化合物在 90K 具有超导性，若该化合物晶体 的晶胞结构如图所示，则该化合物的化学式可能是( ) A YBa2Cu3O4 B YBa2Cu2O5 C YBa2Cu3O5 D YBaCu4O4 解析：图中三个立方体合在一起才是一个晶胞。从图看出：每个晶胞体 内含有 1 个钇原子和 2 个钡原子。下面计算每个晶胞单独占有的铜原子个数和氧 原子个数。 图中共有铜原子 16 个，其中位于顶点(最上层平面和最下层平面)的共 8 个，这个晶胞中只分摊到 8×1/8=1 个；位于棱线(中间两个平面)的也是 8 个， 这个晶胞分摊到的份额是 8×1/4=2 个；所以，每个晶胞单独占有的铜原子数为 3 个
图中共含氧原子13个，位于晶胞面上（不含棱）的是7 80 个，位于晶胞棱上的是6个，所以，每个晶胞单独含有的氧原子 8 Ca 数共为7×1/2+6×1/4=5个。 至此可结论，该晶体每个晶胞中平均分摊到（即单独占有 的原子、钡原子、铜原子和氧原子个数分别为1、2、3、5，所以，化学式为 YBazCusO5,答案选C。 例2下图是超导化合物-一钙钛矿晶体中最小重复单元（晶胞）的结构 请回答： (①)该化合物的化学式为 (②)在该化合物晶体中，与某个钛离子距离最近且相等的其他钛离子共 有 个。 (3)设该化合物的式量为M,密度为ag/cm,阿伏加德罗常数为N,则晶体中钙 离子与钛离子之间的最短距离为 解析： (1)这个晶胞对位于顶点上的每个钛原子占有的份额为1/8，所以，它单独占有 的钛原子个数为8×1/8=1个：它对位于棱上的每个氧原子占有的份额为1/4， 所以，它单独占有的氧原子个数为12×1/4=3个：它全部拥有体内的那一个钙原 子，所以，该品胞中单独占有的钛原子、氧原子和钙原子的个数分别为：1、3、 l:所以，该化合物的化学式为CaTi0。 (②)钛位于立方体的顶点上，与一个钛离子距离最近的钛离子是与它共棱的。从 上面立方晶胞进行堆积的图2和图3可以看出，在X轴或Y轴或Z轴上，与它共 棱的离子都是二个，所以，共6个。 (3)这是个综合性较大的习题。设这种立方晶胞的边长是b,那么，钙离子与钛 离子之间 的距离是体对角线的一半，即~力
图中共含氧原子 13 个，位于晶胞面上(不含棱)的是 7 个，位于晶胞棱上的是 6 个，所以，每个晶胞单独含有的氧原子 数共为 7×1/2+6×1/4=5 个。 至此可结论，该晶体每个晶胞中平均分摊到(即单独占有) 的钇原子、钡原子、铜原子和氧原子个数分别为 1、2、3、5，所以，化学式为 YBa2Cu3O5 ，答案选 C。 例 2 下图是超导化合物-钙钛矿晶体中最小重复单元(晶胞)的结构。 请回答： (1)该化合物的化学式为 。 (2)在该化合物晶体中，与某个钛离子距离最近且相等的其他钛离子共 有 个。 (3)设该化合物的式量为 M，密度为 ag/cm3，阿伏加德罗常数为 NA，则晶体中钙 离子与钛离子之间的最短距离为 。 解析： (1)这个晶胞对位于顶点上的每个钛原子占有的份额为 1/8，所以，它单独占有 的钛原子个数为 8×1/8=1 个；它对位于棱上的每个氧原子占有的份额为 1/4， 所以，它单独占有的氧原子个数为 12×1/4=3 个；它全部拥有体内的那一个钙原 子，所以，该晶胞中单独占有的钛原子、氧原子和钙原子的个数分别为：1、3、 1；所以，该化合物的化学式为 CaTiO3。 (2)钛位于立方体的顶点上，与一个钛离子距离最近的钛离子是与它共棱的。从 上面立方晶胞进行堆积的图 2 和图 3 可以看出，在 X 轴或 Y 轴或 Z 轴上，与它共 棱的离子都是二个，所以，共 6 个。 (3)这是个综合性较大的习题。设这种立方晶胞的边长是 b，那么，钙离子与钛 离子之间 的距离是体对角线的一半，即
下面求b。因为每个立方体的体积为b,而N,个这样的立方体堆积到一起就是 lmol晶体，其质量为Mg,其体积为Mg/ag/cm=M/acm。所以，N.b=M/acm, 所以，b=M(a·NA·cm, 所以，愿中所求距离为b=V3Ma网：cm 例3（改自97高考）1996年诺贝尔化学 奖授予对发现Cm有重大贡献的三位科学家。C 分子是形如球状的多面体，如右图，该结构的 建立基于以下考虑：C分子中每个碳原子只跟 相邻的3个碳原子形成化学键：C分子只含有 五边形和六边形：碳与碳之间既有单键又有双 键，每个碳原子仍然满足四个价键饱和：多面 体的顶点数、面数和棱边数的关系，遵循欧拉定理：顶点数+面数-棱边数=2。 请回答： (1)一个Cm分子中有多少个五边形和多少个六边形？ (2)一个Cm分子中有多少个C=C? (③)已知Cm分子的结构模型也遵循Cm的那些规律，请确定Cm分子结构中上述几 项参数。 解析： (I)设C分子中含有x个五边形和y个六边形。 先求欧拉定理中棱边数：每个顶点伸出三条棱，而每条棱又总是由两个顶点共有， 所以，每个顶点单独伸出的棱有3×1/2=L.5条，60个顶点共伸出的棱为 60×1.5=90条。至此，依据欧拉定理可写出：60+x+y-90=2① 为了求出x和y,还要建立一个方程式。因为五边形和六边形构成多面体时是共 用棱边和顶点的，所以，还可以根据棱边数守恒和顶点数守恒写出两个方程式。 棱边数守恒：每条棱是由两个多面体共用的，所以，一个五边形单独占有的棱边 数为5/2=2.5条，一个六边形单独占有的棱边数为6/2=3条，所以，2.5x+3y=90 ③ 至此联立①②可以解得：x=12,y=20
下面求 b。因为每个立方体的体积为 b 3，而 NA个这样的立方体堆积到一起就是 1mol 晶体，其质量为 Mg，其体积为 Mg/ag/cm3 =M/a cm3。所以，NA·b 3 =M/a cm3， 所以， ， 所以，题中所求距离为 。 例 3 (改自 97 高考)1996 年诺贝尔化学 奖授予对发现 C60有重大贡献的三位科学家。C60 分子是形如球状的多面体，如右图，该结构的 建立基于以下考虑：C60分子中每个碳原子只跟 相邻的 3 个碳原子形成化学键；C60分子只含有 五边形和六边形；碳与碳之间既有单键又有双 键，每个碳原子仍然满足四个价键饱和；多面 体的顶点数、面数和棱边数的关系，遵循欧拉定理：顶点数+面数-棱边数=2。 请回答： (1)一个 C60分子中有多少个五边形和多少个六边形？ (2)一个 C60分子中有多少个 C=C？ (3)已知 C70分子的结构模型也遵循 C60的那些规律，请确定 C70分子结构中上述几 项参数。 解析： (1)设 C60分子中含有 x 个五边形和 y 个六边形。 先求欧拉定理中棱边数：每个顶点伸出三条棱，而每条棱又总是由两个顶点共有， 所以，每个顶点单独伸出的棱有 3×1/2=1.5 条，60 个顶点共伸出的棱为 60×1.5=90 条。至此，依据欧拉定理可写出：60+x+y-90=2 ① 为了求出 x 和 y，还要建立一个方程式。因为五边形和六边形构成多面体时是共 用棱边和顶点的，所以，还可以根据棱边数守恒和顶点数守恒写出两个方程式。 棱边数守恒：每条棱是由两个多面体共用的，所以，一个五边形单独占有的棱边 数为 5/2=2.5 条，一个六边形单独占有的棱边数为 6/2=3 条，所以，2.5x+3y=90 ② 至此联立①②可以解得：x=12，y=20
一个顶点三条棱 一个原子四条键线 (顶点数守恒：每个顶点是由三个多面体共有，所以， 一个五边形单独占有的顶点数为5/3个，一个六边形单独占有的顶点数为6/3=2 个，所以，5/3x+2y=60③，联立①③也可以解出x、y,但只联立②③不可以解 出)。 一个c0,分子（②首先要明确一个概念：在图中顶点间形成的棱都以单线标出，但有的是表示 单键，有的是表示双键。从空间结构来说，每个碳原子连接三条棱，而从化学 价键来说，每个碳原子连接四条键线。（一个双键也只是一个键，可以说有两条 键线但不能说是二个键)。如下图。设一个C分子中含的C-C单键数和C-C双键 数分别为a、b,则根据棱边守恒有：a+b=90④ 再利用键线守恒列一个方程式。每个原子连接四条键线而每条健线被两个原子所 共有，所以，每个原子单独占有的键线数为4/2=2，所以，60个碳原子共有键线 120条：a+2b=120⑤ 联立④⑤解得：a=60,b=30。即C中含的双键数为30。 (3)设C分子结构中的五边形和六边形的个数分别为m、,设C-C单键数和C-C 双键数分别为p、q,则：一个Cm分子中的棱边总数为70×1.5=105：依据欧拉 定理有：70+m+n-105=2⑥：依据顶点数守恒有：5/3m+2n=70⑦：联立⑥⑦得： m=12,n=25。 根据棱边守恒又写出：p+q=105⑧：根据键线守恒有：p+2q=70X2=140⑨：联 立⑧⑨得：p=70,q=35。即C0中含的双键数为35。 晶体类习题的注意事项： (1)晶体类习题在涉及中学教材中己经详细介绍过的晶体结构时通常略去了晶胞 结构，这就要求我们对中学教材中已经出现的晶体结构非常熟悉。例如： 问题：在干冰晶体中每个C0,分子周围与之距离相等且最近 的C0分子个数为 解答：干冰晶体结构如右图，它是一种立方面心结构。对于 位于顶点上的一个C0分子来说，与之距离最近的C0分子是位于 它所在的每个面的面心上。而共享这个顶点的面是12个，所以， 答案就是12个
(顶点数守恒：每个顶点是由三个多面体共有，所以， 一个五边形单独占有的顶点数为 5/3 个，一个六边形单独占有的顶点数为 6/3=2 个，所以，5/3x+2y=60 ③，联立①③也可以解出 x、y，但只联立②③不可以解 出)。 (2)首先要明确一个概念：在图中顶点间形成的棱都以单线标出，但有的是表示 单键，有的是表示双键。从空间结构来说，每个碳原子连接三条棱，而从化学 价键来说，每个碳原子连接四条键线。(一个双键也只是一个键，可以说有两条 键线但不能说是二个键)。如下图。设一个 C60分子中含的 C-C 单键数和 C=C 双键 数分别为 a、b，则根据棱边守恒有：a+b=90 ④ 再利用键线守恒列一个方程式。每个原子连接四条键线而每条键线被两个原子所 共有，所以，每个原子单独占有的键线数为 4/2=2，所以，60 个碳原子共有键线 120 条：a+2b=120 ⑤ 联立④⑤解得：a=60，b=30。即 C60中含的双键数为 30。 (3)设 C70分子结构中的五边形和六边形的个数分别为 m、n，设 C-C 单键数和 C=C 双键数分别为 p、q，则：一个 C70分子中的棱边总数为 70×1.5=105；依据欧拉 定理有：70+m+n-105=2 ⑥；依据顶点数守恒有：5/3m+2n=70 ⑦；联立⑥⑦得： m=12,n=25。 根据棱边守恒又写出：p+q=105 ⑧；根据键线守恒有：p+2q=70×2=140 ⑨；联 立⑧⑨得：p=70，q=35。即 C70中含的双键数为 35。 晶体类习题的注意事项： (1)晶体类习题在涉及中学教材中已经详细介绍过的晶体结构时通常略去了晶胞 结构，这就要求我们对中学教材中已经出现的晶体结构非常熟悉。例如： 问题：在干冰晶体中每个 CO2分子周围与之距离相等且最近 的 CO2分子个数为 。 解答：干冰晶体结构如右图，它是一种立方面心结构。对于 位于顶点上的一个 CO2分子来说，与之距离最近的 CO2分子是位于 它所在的每个面的面心上。而共享这个顶点的面是 12 个，所以， 答案就是 12 个
-0-0- (②)不要把晶体的平面示意图与立体结构混淆。例 0如 问题：二氧化硅晶体结构中最小环由多少个原子构 图5平面结构 图6空间结构 。表示硅原子 成？ 解答：教材己经列出二氧化硅晶体的结构示意图， 如右图5，从中可以看出，二氧化硅晶体结构中最小的环是由8个原子构成的。 但是，这个答案是错误的。因为这是根据二氧化硅品体的平面结构推出 的，应该根据它的空间结构进行求解，如图6。如果没有氧原子，那么这就是金 刚石的结构。从图中可以看出，二氧化硅晶体中最小环是由12个原子构成的椅 式环。注意图中∠0-Si-0=109°28
(2)不要把晶体的平面示意图与立体结构混淆。例 如： 问题：二氧化硅晶体结构中最小环由多少个原子构 成？ 解答：教材已经列出二氧化硅晶体的结构示意图， 如右图 5，从中可以看出，二氧化硅晶体结构中最小的环是由 8 个原子构成的。 但是，这个答案是错误的。因为这是根据二氧化硅晶体的平面结构推出 的，应该根据它的空间结构进行求解，如图 6。如果没有氧原子，那么这就是金 刚石的结构。从图中可以看出，二氧化硅晶体中最小环是由 12 个原子构成的椅 式环。注意图中∠O-Si-O=109°28′